Номер 324, страница 133 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

2.8. Графики уравнений, содержащих модули. Глава 2. Квадратичная функция - номер 324, страница 133.

324 a) $y = |x| - 2x$;

б) $y = x^2 + 3|x|$;

В) $y = (5 - |x|)(|x| + 1)$;

Г) $y = (5 - |x|)(x + 1)$;

Д) $y = \frac{1}{|x| - 3}$.

а) $y = |x| - 2x$

Для решения необходимо раскрыть модуль $|x|$, рассмотрев два случая в зависимости от знака $x$.

1. Если $x \geq 0$, то по определению модуля $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x - 2x = -x$.

2. Если $x < 0$, то по определению модуля $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = -x - 2x = -3x$.

Таким образом, функцию можно представить в виде кусочно-заданной функции. График этой функции будет состоять из двух лучей, выходящих из начала координат.

Ответ: $y = \begin{cases} -x, & \text{если } x \geq 0 \\ -3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

б) $y = x^2 + 3|x|$

Заметим, что функция является четной, поскольку $x$ входит в уравнение либо в четной степени ($x^2$), либо под знаком модуля ($|x|$). Это означает, что $y(x) = y(-x)$ для любого $x$ из области определения, и график функции симметричен относительно оси ординат (OY).

Раскроем модуль для неотрицательных значений $x$.

1. Если $x \geq 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 + 3x$.
Это часть параболы с ветвями вверх.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = x^2 + 3(-x) = x^2 - 3x$.
Это также часть параболы с ветвями вверх. Этот результат можно было получить из соображений симметрии, заменив $x$ на $-x$ в выражении для $x \geq 0$.

Итак, функция может быть записана в кусочной форме:

Ответ: $y = \begin{cases} x^2 + 3x, & \text{если } x \geq 0 \\ x^2 - 3x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

в) $y = (5 - |x|)(|x| + 1)$

Эта функция также является четной, так как переменная $x$ входит в ее определение только под знаком модуля. График функции симметричен относительно оси OY.

Раскроем модуль для двух случаев.

1. Если $x \geq 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = (5 - x)(x + 1) = 5x + 5 - x^2 - x = -x^2 + 4x + 5$.
Это часть параболы, ветви которой направлены вниз.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = (5 - (-x))(-x + 1) = (5 + x)(1 - x) = 5 - 5x + x - x^2 = -x^2 - 4x + 5$.
Это также часть параболы с ветвями вниз.

Кусочно-заданная форма функции:

Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 + 4x + 5, & \text{если } x \geq 0 \\ -x^2 - 4x + 5, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

г) $y = (5 - |x|)(x + 1)$

Данная функция не является ни четной, ни нечетной. Раскроем модуль, рассмотрев два случая.

1. Если $x \geq 0$, то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = (5 - x)(x + 1) = -x^2 + 4x + 5$.
На этом интервале график является частью параболы с ветвями вниз.

2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = (5 - (-x))(x + 1) = (5 + x)(x + 1) = x^2 + 6x + 5$.
На этом интервале график является частью параболы с ветвями вверх.

Функция непрерывна в точке $x=0$, так как значение в этой точке для обеих частей совпадает и равно 5.

Ответ: $y = \begin{cases} -x^2 + 4x + 5, & \text{если } x \geq 0 \\ x^2 + 6x + 5, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

д) $y = \frac{1}{|x| - 3}$

Сначала найдем область определения функции. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому:
$|x| - 3 \neq 0 \implies |x| \neq 3$.
Это означает, что $x \neq 3$ и $x \neq -3$. Область определения: $x \in (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; +\infty)$.

Функция является четной, так как $y(-x) = \frac{1}{|-x| - 3} = \frac{1}{|x| - 3} = y(x)$. График симметричен относительно оси OY.

Раскроем модуль.

1. Если $x \geq 0$ (и $x \neq 3$), то $|x| = x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{1}{x - 3}$.
Это гипербола с вертикальной асимптотой $x=3$.

2. Если $x < 0$ (и $x \neq -3$), то $|x| = -x$. Функция принимает вид:
$y = \frac{1}{-x - 3} = -\frac{1}{x + 3}$.
Это гипербола с вертикальной асимптотой $x=-3$.

Горизонтальная асимптота для обоих случаев $y=0$, так как при $x \to \pm\infty$, знаменатель стремится к бесконечности.

Ответ: $y = \begin{cases} \frac{1}{x - 3}, & \text{если } x \geq 0, x \neq 3 \\ \frac{1}{-x - 3}, & \text{если } x < 0, x \neq -3 \end{cases}$. Область определения: $x \neq \pm 3$.