Номер 327, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 2. Функции и графики. Глава 2. Квадратичная функция - номер 327, страница 134.

327 Постройте график функции, укажите область определения и область значений этой функции:

а) $y = \frac{x^2 + 3x - 4}{x - 1}$;

б) $y = \frac{12 - 4x}{x^2 - 3x}$.

а) $y = \frac{x^2 + 3x - 4}{x - 1}$

Область определения функции

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Данная функция является дробно-рациональной, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Построение графика функции

Для построения графика сначала упростим выражение функции. Разложим числитель $x^2 + 3x - 4$ на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно -4. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

Тогда $x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)$.

Подставим полученное разложение в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 1)(x + 4)}{x - 1}$.

Так как из области определения мы знаем, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на множитель $(x - 1)$:

$y = x + 4$.

Таким образом, график исходной функции — это прямая $y = x + 4$, за исключением точки, в которой $x=1$. В этой точке на графике будет разрыв, который изображается "выколотой" точкой.

Найдем координаты этой выколотой точки. Подставим значение $x=1$ в упрощенное уравнение функции:

$y = 1 + 4 = 5$.

Координаты выколотой точки — $(1; 5)$.

Для построения прямой $y = x + 4$ найдем координаты двух любых точек, принадлежащих ей. Например: при $x=0, y=4$ (точка $(0; 4)$); при $x=-4, y=0$ (точка $(-4; 0)$).

Графиком является прямая, проходящая через точки $(0; 4)$ и $(-4; 0)$, с выколотой точкой $(1; 5)$.

Область значений функции

Область значений — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Поскольку график функции — это прямая линия, из которой удалена одна точка $(1; 5)$, функция может принимать любое действительное значение, кроме ординаты этой выколотой точки.

Следовательно, область значений: $E(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: График функции — прямая $y = x + 4$ с выколотой точкой $(1; 5)$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

б) $y = \frac{12 - 4x}{x^2 - 3x}$

Область определения функции

Знаменатель дроби не должен обращаться в нуль:

$x^2 - 3x \neq 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 3) \neq 0$.

Это условие выполняется, когда $x \neq 0$ и $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

Построение графика функции

Упростим выражение функции, разложив на множители числитель и знаменатель:

$y = \frac{12 - 4x}{x^2 - 3x} = \frac{4(3 - x)}{x(x - 3)} = \frac{-4(x - 3)}{x(x - 3)}$.

Так как из области определения $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x - 3)$:

$y = -\frac{4}{x}$.

График этой функции — гипербола. График исходной функции совпадает с графиком гиперболы $y = -4/x$ во всех точках, кроме тех, что были исключены из области определения. Точка $x=0$ является вертикальной асимптотой для гиперболы $y = -4/x$, что соответствует ОДЗ. Точка $x=3$ не принадлежит области определения, следовательно, на графике в этой точке будет разрыв (выколотая точка).

Найдем координаты выколотой точки, подставив $x=3$ в упрощенное уравнение:

$y = -\frac{4}{3}$.

Координаты выколотой точки — $(3; -4/3)$.

График функции $y = -4/x$ — это гипербола с ветвями во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат: $x=0$ (вертикальная) и $y=0$ (горизонтальная).

Для построения графика найдем несколько точек. При $x=1, y=-4$; при $x=2, y=-2$; при $x=4, y=-1$; при $x=-1, y=4$; при $x=-2, y=2$; при $x=-4, y=1$.

Графиком является гипербола $y = -4/x$ с выколотой точкой $(3; -4/3)$.

Область значений функции

Область значений для функции $y = -k/x$ — это все действительные числа, кроме $0$ (горизонтальная асимптота). В нашем случае, из-за выколотой точки $(3; -4/3)$, значение $y = -4/3$ также должно быть исключено из области значений.

Следовательно, область значений: $E(y) = (-\infty; -4/3) \cup (-4/3; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: График функции — гипербола $y = -4/x$ с выколотой точкой $(3; -4/3)$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$. Область значений: $E(y) = (-\infty; -4/3) \cup (-4/3; 0) \cup (0; +\infty)$.