Номер 328, страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Дополнительные задания 2. Функции и графики. Глава 2. Квадратичная функция - номер 328, страница 134.

328 a) Постройте график функции $y = \frac{4x - x^3}{2x + 4}$. Определите множество значений $x$, при которых значения функции отрицательны.

б) Постройте график функции $y = \frac{x^3 - x^2 - 2x}{x - 2}$. Определите множество значений $x$, при которых значения функции положительны.

а) Построим график функции $y = \frac{4x - x^3}{2x + 4}$ и определим, при каких $x$ значения функции отрицательны.

1. Упрощение функции.

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:

$2x + 4 \neq 0 \implies 2x \neq -4 \implies x \neq -2$.

Теперь разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $4x - x^3 = x(4 - x^2) = x(2 - x)(2 + x)$.

Знаменатель: $2x + 4 = 2(x + 2)$.

Подставим множители в исходную функцию:

$y = \frac{x(2 - x)(2 + x)}{2(x + 2)}$

При условии $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$:

$y = \frac{x(2 - x)}{2} = \frac{2x - x^2}{2} = x - \frac{1}{2}x^2$

Таким образом, мы получили функцию $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$, график которой совпадает с графиком исходной функции при всех $x$, кроме $x = -2$.

2. Построение графика.

Функция $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$ — это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -\frac{1}{2} < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы ($x_v, y_v$):

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 1$.

$y_v = -\frac{1}{2}(1)^2 + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Вершина параболы находится в точке $(1; 0.5)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY: при $x=0$, $y = -\frac{1}{2}(0)^2 + 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

С осью OX: при $y=0$, $-\frac{1}{2}x^2 + x = 0 \implies x(-\frac{1}{2}x + 1) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

График исходной функции — это парабола $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$ с "выколотой" точкой при $x = -2$. Найдем ординату этой точки:

$y(-2) = -\frac{1}{2}(-2)^2 + (-2) = -\frac{1}{2} \cdot 4 - 2 = -2 - 2 = -4$.

Итак, график — парабола с вершиной в $(1; 0.5)$, пересекающая ось OX в точках $0$ и $2$, с выколотой точкой $(-2, -4)$.

3. Определение множества значений $x$, при которых $y < 0$.

Нам нужно решить неравенство $y < 0$. Из графика параболы с ветвями вниз видно, что функция отрицательна, когда $x$ находится вне отрезка между корнями $[0, 2]$. То есть, при $x < 0$ или $x > 2$.

Запишем это в виде интервалов: $(-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

Также мы должны учесть ОДЗ, то есть $x \neq -2$. Точка $x = -2$ попадает в интервал $(-\infty, 0)$, поэтому ее нужно исключить.

Итоговое множество значений $x$: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \cup (2, \infty)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$ с выколотой точкой $(-2, -4)$. Значения функции отрицательны при $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \cup (2, \infty)$.

б) Построим график функции $y = \frac{x^3 - x^2 - 2x}{x - 2}$ и определим, при каких $x$ значения функции положительны.

1. Упрощение функции.

Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Разложим числитель на множители:

$x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2)$.

Для разложения квадратного трехчлена $x^2 - x - 2$ найдем его корни. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Значит, $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.

Числитель: $x(x - 2)(x + 1)$.

Подставим в исходную функцию:

$y = \frac{x(x - 2)(x + 1)}{x - 2}$

При условии $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:

$y = x(x + 1) = x^2 + x$.

Таким образом, мы получили функцию $y = x^2 + x$, график которой совпадает с графиком исходной функции при всех $x$, кроме $x = 2$.

2. Построение графика.

Функция $y = x^2 + x$ — это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы ($x_v, y_v$):

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$.

$y_v = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

Вершина параболы находится в точке $(-0.5; -0.25)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY: при $x=0$, $y = 0^2 + 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

С осью OX: при $y=0$, $x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Точки $(0, 0)$ и $(-1, 0)$.

График исходной функции — это парабола $y = x^2 + x$ с "выколотой" точкой при $x = 2$. Найдем ординату этой точки:

$y(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$.

Итак, график — парабола с вершиной в $(-0.5; -0.25)$, пересекающая ось OX в точках $-1$ и $0$, с выколотой точкой $(2, 6)$.

3. Определение множества значений $x$, при которых $y > 0$.

Нам нужно решить неравенство $y > 0$. Из графика параболы с ветвями вверх видно, что функция положительна, когда $x$ находится вне отрезка между корнями $[-1, 0]$. То есть, при $x < -1$ или $x > 0$.

Запишем это в виде интервалов: $(-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Также мы должны учесть ОДЗ, то есть $x \neq 2$. Точка $x = 2$ попадает в интервал $(0, \infty)$, поэтому ее нужно исключить.

Итоговое множество значений $x$: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + x$ с выколотой точкой $(2, 6)$. Значения функции положительны при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$.