Страница 134 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

325 а) $y = \left| \left|x\right| - 3 \right|$;

б) $y = \left| \left| \left|x\right| - 3 \right| - 3 \right|$.

Указание. В качестве образца воспользуйтесь примером 3.

Для построения графика функции $y = ||x| - 3|$ выполним последовательные преобразования, начиная с простейшего графика.

1. Строим график основной функции $y = |x|$. Это график, состоящий из двух лучей, выходящих из начала координат: $y = x$ при $x \ge 0$ и $y = -x$ при $x < 0$. График представляет собой "галочку" с вершиной в точке $(0, 0)$.

2. Далее строим график функции $y = |x| - 3$. Для этого сдвигаем график $y = |x|$ на 3 единицы вниз вдоль оси ординат (Oy). Вершина графика перемещается в точку $(0, -3)$. График пересекает ось абсцисс (Ox) в точках, где $y=0$, то есть $|x| - 3 = 0$, откуда $|x|=3$. Таким образом, точки пересечения с осью Ox — это $(-3, 0)$ и $(3, 0)$.

3. Наконец, строим искомый график $y = ||x| - 3|$. Этот график получается из графика $y = |x| - 3$ следующим преобразованием: часть графика, расположенная ниже оси Ox (где значения $y$ отрицательны), отражается симметрично относительно оси Ox, а часть графика, расположенная выше или на оси Ox, остается без изменений. Конкретно, часть графика $y = |x| - 3$ на интервале $(-3, 3)$ находится ниже оси Ox и будет отражена вверх. При этом точка минимума $(0, -3)$ переходит в точку локального максимума $(0, 3)$, а точки пересечения с осью Ox, $(-3, 0)$ и $(3, 0)$, становятся точками локального минимума. В результате получается график, похожий на букву "W".

Ответ: График функции $y = ||x| - 3|$ строится путем последовательных преобразований: 1) строится график $y = |x|$; 2) график сдвигается на 3 единицы вниз, получая $y = |x| - 3$; 3) часть графика $y = |x| - 3$, лежащая под осью Ox, отражается симметрично относительно этой оси. Итоговый график имеет форму буквы "W" с вершинами в точках $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

Для построения графика этой функции воспользуемся графиком, полученным в пункте а). Обозначим $g(x) = ||x| - 3|$. Тогда наша функция имеет вид $y = |g(x) - 3|$. Построение также выполним по шагам.

1. Начинаем с графика функции $y = ||x| - 3|$, который был построен в пункте а). Это W-образный график с вершинами в точках $(-3, 0)$, $(0, 3)$ и $(3, 0)$.

2. Далее строим график функции $y = ||x| - 3| - 3$. Для этого сдвигаем весь график $y = ||x| - 3|$ на 3 единицы вниз вдоль оси Oy. Точка $(0, 3)$ перемещается в $(0, 0)$. Точки $(-3, 0)$ и $(3, 0)$ перемещаются в $(-3, -3)$ и $(3, -3)$. Новые точки пересечения с осью Ox находятся из уравнения $||x| - 3| - 3 = 0$, или $||x| - 3| = 3$. Это уравнение распадается на два: $|x| - 3 = 3$ (что дает $|x| = 6$, т.е. $x = \pm 6$) и $|x| - 3 = -3$ (что дает $|x| = 0$, т.е. $x = 0$). Таким образом, график пересекает ось Ox в точках $(-6, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

3. Теперь строим искомый график $y = |||x| - 3| - 3|$. Для этого часть графика $y = ||x| - 3| - 3$, которая находится ниже оси Ox, отражаем симметрично относительно оси Ox. Части графика, соответствующие интервалам $(-6, -3)$ и $(3, 6)$, находятся ниже оси Ox и отражаются вверх. При этом точки локальных минимумов $(-3, -3)$ и $(3, -3)$ переходят в точки локальных максимумов $(-3, 3)$. Точки пересечения с осью Ox, $(-6, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$, становятся точками локальных минимумов итогового графика. Итоговый график имеет более сложную форму, с двумя "пиками" на высоте 3 и тремя точками касания (или излома) на оси Ox.

Ответ: График функции $y = |||x| - 3| - 3|$ строится на основе графика из пункта а). 1) График $y = ||x| - 3|$ сдвигается на 3 единицы вниз. 2) Части полученного графика, лежащие под осью Ox, отражаются симметрично относительно этой оси. Итоговый график имеет локальные максимумы в точках $(-3, 3)$ и $(3, 3)$ и локальные минимумы в точках $(-6, 0)$, $(0, 0)$ и $(6, 0)$.

326 a) $|y| = |x|;$

б) $|y| \cdot |x| = 1;$

В) $|y| + |x| = 1;$

Г) $|y| - |x| = 1.$

Указание. Рассмотрите уравнение отдельно для каждой координатной четверти.

а)

Рассмотрим уравнение $|y| = |x|$. Для построения графика этого уравнения раскроем модули в каждой из четырёх координатных четвертей, как предложено в указании.

1. Первая четверть: $x \ge 0, y \ge 0$. Уравнение принимает вид $y = x$. Это луч, являющийся биссектрисой первого координатного угла.

2. Вторая четверть: $x < 0, y \ge 0$. Уравнение принимает вид $y = -x$. Это луч, являющийся биссектрисой второго координатного угла.

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $-y = -x$, что равносильно $y = x$. Это луч в третьей четверти, продолжающий луч из первой четверти.

4. Четвёртая четверть: $x \ge 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $-y = x$, что равносильно $y = -x$. Это луч в четвёртой четверти, продолжающий луч из второй четверти.

Объединяя все четыре случая, мы получаем график, состоящий из двух прямых, пересекающихся в начале координат: $y = x$ и $y = -x$.

Ответ: Графиком уравнения является пара пересекающихся прямых $y = x$ и $y = -x$, которые являются биссектрисами координатных углов.

б)

Рассмотрим уравнение $|y| \cdot |x| = 1$, которое можно записать как $|xy| = 1$. Это означает, что произведение $xy$ может быть равно $1$ или $-1$. Раскроем модули в каждой четверти.

1. Первая четверть: $x > 0, y > 0$. Уравнение принимает вид $xy = 1$, или $y = 1/x$. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой четверти.

2. Вторая четверть: $x < 0, y > 0$. Уравнение принимает вид $y(-x) = 1$, или $y = -1/x$. Это ветвь гиперболы во второй четверти.

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $(-y)(-x) = 1$, или $xy = 1$, что равносильно $y = 1/x$. Это ветвь гиперболы в третьей четверти.

4. Четвёртая четверть: $x > 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $(-y)x = 1$, или $y = -1/x$. Это ветвь гиперболы в четвёртой четверти.

В результате получаем график, состоящий из двух гипербол: $y = 1/x$ (ветви в I и III четвертях) и $y = -1/x$ (ветви в II и IV четвертях).

Ответ: Графиком уравнения является объединение двух гипербол: $y = 1/x$ и $y = -1/x$.

в)

Рассмотрим уравнение $|y| + |x| = 1$. Раскроем модули в каждой координатной четверти.

1. Первая четверть: $x \ge 0, y \ge 0$. Уравнение принимает вид $y + x = 1$, или $y = 1 - x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(1, 0)$ и $(0, 1)$.

2. Вторая четверть: $x < 0, y \ge 0$. Уравнение принимает вид $y - x = 1$, или $y = 1 + x$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, 1)$ и $(-1, 0)$.

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $-y - x = 1$, или $y = -x - 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

4. Четвёртая четверть: $x \ge 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $-y + x = 1$, или $y = x - 1$. Это отрезок прямой, соединяющий точки $(0, -1)$ и $(1, 0)$.

Объединяя все четыре отрезка, получаем замкнутую фигуру — квадрат с вершинами в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

Ответ: Графиком уравнения является квадрат с вершинами в точках $(1, 0)$, $(0, 1)$, $(-1, 0)$ и $(0, -1)$.

г)

Рассмотрим уравнение $|y| - |x| = 1$, которое можно записать как $|y| = |x| + 1$. Раскроем модули в каждой координатной четверти.

1. Первая четверть: $x \ge 0, y \ge 0$. Уравнение принимает вид $y - x = 1$, или $y = x + 1$. Так как при $x \ge 0$ значение $y = x + 1 \ge 1$, все точки этого луча лежат в первой четверти. Это луч, выходящий из точки $(0, 1)$ вправо-вверх.

2. Вторая четверть: $x < 0, y \ge 0$. Уравнение принимает вид $y - (-x) = 1$, или $y = -x + 1$. Так как при $x < 0$ значение $y = -x + 1 > 1$, все точки этого луча лежат во второй четверти. Это луч, выходящий из точки $(0, 1)$ влево-вверх. Вместе с лучом из первого случая они образуют "уголок" с вершиной в $(0,1)$, открытый вверх.

3. Третья четверть: $x < 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $-y - (-x) = 1$, или $y = x - 1$. Так как при $x < 0$ значение $y = x - 1 < -1$, все точки этого луча лежат в третьей четверти. Это луч, являющийся частью прямой $y=x-1$ при $x<0$.

4. Четвёртая четверть: $x \ge 0, y < 0$. Уравнение принимает вид $-y - x = 1$, или $y = -x - 1$. Так как при $x \ge 0$ значение $y = -x - 1 \le -1$, все точки этого луча лежат в четвертой четверти. Это луч, являющийся частью прямой $y=-x-1$ при $x \ge 0$.

Лучи из третьего и четвертого случаев образуют "уголок" с вершиной в точке $(0, -1)$, открытый вниз.

Ответ: График состоит из двух "уголков": один с вершиной в точке $(0, 1)$, ветви которого ($y = |x|+1$) направлены вверх, и второй с вершиной в точке $(0, -1)$, ветви которого ($y = -|x|-1$) направлены вниз.

327 Постройте график функции, укажите область определения и область значений этой функции:

а) $y = \frac{x^2 + 3x - 4}{x - 1}$;

б) $y = \frac{12 - 4x}{x^2 - 3x}$.

а) $y = \frac{x^2 + 3x - 4}{x - 1}$

Область определения функции

Область определения функции — это множество всех допустимых значений аргумента $x$. Данная функция является дробно-рациональной, поэтому ее знаменатель не может быть равен нулю.

$x - 1 \neq 0 \implies x \neq 1$.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$.

Построение графика функции

Для построения графика сначала упростим выражение функции. Разложим числитель $x^2 + 3x - 4$ на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а произведение равно -4. Корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.

Тогда $x^2 + 3x - 4 = (x - 1)(x + 4)$.

Подставим полученное разложение в исходную функцию:

$y = \frac{(x - 1)(x + 4)}{x - 1}$.

Так как из области определения мы знаем, что $x \neq 1$, мы можем сократить дробь на множитель $(x - 1)$:

$y = x + 4$.

Таким образом, график исходной функции — это прямая $y = x + 4$, за исключением точки, в которой $x=1$. В этой точке на графике будет разрыв, который изображается "выколотой" точкой.

Найдем координаты этой выколотой точки. Подставим значение $x=1$ в упрощенное уравнение функции:

$y = 1 + 4 = 5$.

Координаты выколотой точки — $(1; 5)$.

Для построения прямой $y = x + 4$ найдем координаты двух любых точек, принадлежащих ей. Например: при $x=0, y=4$ (точка $(0; 4)$); при $x=-4, y=0$ (точка $(-4; 0)$).

Графиком является прямая, проходящая через точки $(0; 4)$ и $(-4; 0)$, с выколотой точкой $(1; 5)$.

Область значений функции

Область значений — это множество всех значений, которые может принимать $y$. Поскольку график функции — это прямая линия, из которой удалена одна точка $(1; 5)$, функция может принимать любое действительное значение, кроме ординаты этой выколотой точки.

Следовательно, область значений: $E(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

Ответ: График функции — прямая $y = x + 4$ с выколотой точкой $(1; 5)$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 1) \cup (1; +\infty)$. Область значений: $E(y) = (-\infty; 5) \cup (5; +\infty)$.

б) $y = \frac{12 - 4x}{x^2 - 3x}$

Область определения функции

Знаменатель дроби не должен обращаться в нуль:

$x^2 - 3x \neq 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 3) \neq 0$.

Это условие выполняется, когда $x \neq 0$ и $x - 3 \neq 0$, то есть $x \neq 3$.

Следовательно, область определения функции: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$.

Построение графика функции

Упростим выражение функции, разложив на множители числитель и знаменатель:

$y = \frac{12 - 4x}{x^2 - 3x} = \frac{4(3 - x)}{x(x - 3)} = \frac{-4(x - 3)}{x(x - 3)}$.

Так как из области определения $x \neq 3$, мы можем сократить дробь на $(x - 3)$:

$y = -\frac{4}{x}$.

График этой функции — гипербола. График исходной функции совпадает с графиком гиперболы $y = -4/x$ во всех точках, кроме тех, что были исключены из области определения. Точка $x=0$ является вертикальной асимптотой для гиперболы $y = -4/x$, что соответствует ОДЗ. Точка $x=3$ не принадлежит области определения, следовательно, на графике в этой точке будет разрыв (выколотая точка).

Найдем координаты выколотой точки, подставив $x=3$ в упрощенное уравнение:

$y = -\frac{4}{3}$.

Координаты выколотой точки — $(3; -4/3)$.

График функции $y = -4/x$ — это гипербола с ветвями во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптоты графика — оси координат: $x=0$ (вертикальная) и $y=0$ (горизонтальная).

Для построения графика найдем несколько точек. При $x=1, y=-4$; при $x=2, y=-2$; при $x=4, y=-1$; при $x=-1, y=4$; при $x=-2, y=2$; при $x=-4, y=1$.

Графиком является гипербола $y = -4/x$ с выколотой точкой $(3; -4/3)$.

Область значений функции

Область значений для функции $y = -k/x$ — это все действительные числа, кроме $0$ (горизонтальная асимптота). В нашем случае, из-за выколотой точки $(3; -4/3)$, значение $y = -4/3$ также должно быть исключено из области значений.

Следовательно, область значений: $E(y) = (-\infty; -4/3) \cup (-4/3; 0) \cup (0; +\infty)$.

Ответ: График функции — гипербола $y = -4/x$ с выколотой точкой $(3; -4/3)$. Область определения: $D(y) = (-\infty; 0) \cup (0; 3) \cup (3; +\infty)$. Область значений: $E(y) = (-\infty; -4/3) \cup (-4/3; 0) \cup (0; +\infty)$.

328 a) Постройте график функции $y = \frac{4x - x^3}{2x + 4}$. Определите множество значений $x$, при которых значения функции отрицательны.

б) Постройте график функции $y = \frac{x^3 - x^2 - 2x}{x - 2}$. Определите множество значений $x$, при которых значения функции положительны.

а) Построим график функции $y = \frac{4x - x^3}{2x + 4}$ и определим, при каких $x$ значения функции отрицательны.

1. Упрощение функции.

Сначала найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:

$2x + 4 \neq 0 \implies 2x \neq -4 \implies x \neq -2$.

Теперь разложим числитель и знаменатель на множители:

Числитель: $4x - x^3 = x(4 - x^2) = x(2 - x)(2 + x)$.

Знаменатель: $2x + 4 = 2(x + 2)$.

Подставим множители в исходную функцию:

$y = \frac{x(2 - x)(2 + x)}{2(x + 2)}$

При условии $x \neq -2$, мы можем сократить дробь на $(x+2)$:

$y = \frac{x(2 - x)}{2} = \frac{2x - x^2}{2} = x - \frac{1}{2}x^2$

Таким образом, мы получили функцию $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$, график которой совпадает с графиком исходной функции при всех $x$, кроме $x = -2$.

2. Построение графика.

Функция $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$ — это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ отрицательный ($a = -\frac{1}{2} < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы ($x_v, y_v$):

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = 1$.

$y_v = -\frac{1}{2}(1)^2 + 1 = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$.

Вершина параболы находится в точке $(1; 0.5)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY: при $x=0$, $y = -\frac{1}{2}(0)^2 + 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

С осью OX: при $y=0$, $-\frac{1}{2}x^2 + x = 0 \implies x(-\frac{1}{2}x + 1) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = 2$. Точки $(0, 0)$ и $(2, 0)$.

График исходной функции — это парабола $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$ с "выколотой" точкой при $x = -2$. Найдем ординату этой точки:

$y(-2) = -\frac{1}{2}(-2)^2 + (-2) = -\frac{1}{2} \cdot 4 - 2 = -2 - 2 = -4$.

Итак, график — парабола с вершиной в $(1; 0.5)$, пересекающая ось OX в точках $0$ и $2$, с выколотой точкой $(-2, -4)$.

3. Определение множества значений $x$, при которых $y < 0$.

Нам нужно решить неравенство $y < 0$. Из графика параболы с ветвями вниз видно, что функция отрицательна, когда $x$ находится вне отрезка между корнями $[0, 2]$. То есть, при $x < 0$ или $x > 2$.

Запишем это в виде интервалов: $(-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

Также мы должны учесть ОДЗ, то есть $x \neq -2$. Точка $x = -2$ попадает в интервал $(-\infty, 0)$, поэтому ее нужно исключить.

Итоговое множество значений $x$: $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \cup (2, \infty)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = -\frac{1}{2}x^2 + x$ с выколотой точкой $(-2, -4)$. Значения функции отрицательны при $x \in (-\infty, -2) \cup (-2, 0) \cup (2, \infty)$.

б) Построим график функции $y = \frac{x^3 - x^2 - 2x}{x - 2}$ и определим, при каких $x$ значения функции положительны.

1. Упрощение функции.

Найдем область определения функции (ОДЗ). Знаменатель не может быть равен нулю:

$x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2$.

Разложим числитель на множители:

$x^3 - x^2 - 2x = x(x^2 - x - 2)$.

Для разложения квадратного трехчлена $x^2 - x - 2$ найдем его корни. По теореме Виета, корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$.

Значит, $x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1)$.

Числитель: $x(x - 2)(x + 1)$.

Подставим в исходную функцию:

$y = \frac{x(x - 2)(x + 1)}{x - 2}$

При условии $x \neq 2$, мы можем сократить дробь на $(x - 2)$:

$y = x(x + 1) = x^2 + x$.

Таким образом, мы получили функцию $y = x^2 + x$, график которой совпадает с графиком исходной функции при всех $x$, кроме $x = 2$.

2. Построение графика.

Функция $y = x^2 + x$ — это квадратичная функция, ее график — парабола. Так как коэффициент при $x^2$ положительный ($a = 1 > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы ($x_v, y_v$):

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$.

$y_v = (-\frac{1}{2})^2 + (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$.

Вершина параболы находится в точке $(-0.5; -0.25)$.

Найдем точки пересечения с осями координат:

С осью OY: при $x=0$, $y = 0^2 + 0 = 0$. Точка $(0, 0)$.

С осью OX: при $y=0$, $x^2 + x = 0 \implies x(x + 1) = 0$. Отсюда $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$. Точки $(0, 0)$ и $(-1, 0)$.

График исходной функции — это парабола $y = x^2 + x$ с "выколотой" точкой при $x = 2$. Найдем ординату этой точки:

$y(2) = 2^2 + 2 = 4 + 2 = 6$.

Итак, график — парабола с вершиной в $(-0.5; -0.25)$, пересекающая ось OX в точках $-1$ и $0$, с выколотой точкой $(2, 6)$.

3. Определение множества значений $x$, при которых $y > 0$.

Нам нужно решить неравенство $y > 0$. Из графика параболы с ветвями вверх видно, что функция положительна, когда $x$ находится вне отрезка между корнями $[-1, 0]$. То есть, при $x < -1$ или $x > 0$.

Запишем это в виде интервалов: $(-\infty, -1) \cup (0, \infty)$.

Также мы должны учесть ОДЗ, то есть $x \neq 2$. Точка $x = 2$ попадает в интервал $(0, \infty)$, поэтому ее нужно исключить.

Итоговое множество значений $x$: $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + x$ с выколотой точкой $(2, 6)$. Значения функции положительны при $x \in (-\infty, -1) \cup (0, 2) \cup (2, \infty)$.

329 a) Постройте график функции $y = 2x^2 - 12x + 11$. По графику определите, какие значения принимает функция, если $0 \le x \le 4$.

б) Постройте график функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$. По графику определите, какие значения принимает функция, если $-2 \le x \le 4$.

a)

1. Построим график функции $y = 2x^2 - 12x + 11$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $2$, он положительный, значит, ветви параболы направлены вверх.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-12}{2 \cdot 2} = \frac{12}{4} = 3$.

$y_v = y(x_v) = 2(3)^2 - 12(3) + 11 = 2 \cdot 9 - 36 + 11 = 18 - 36 + 11 = -7$.

Вершина параболы находится в точке $(3, -7)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=3$.

Для построения графика найдем еще несколько точек. Возьмем значения $x$ симметрично относительно оси симметрии $x=3$.

• При $x = 2$: $y(2) = 2(2)^2 - 12(2) + 11 = 8 - 24 + 11 = -5$. Точка $(2, -5)$.
• При $x = 4$ (симметрично $x=2$): $y(4) = 2(4)^2 - 12(4) + 11 = 32 - 48 + 11 = -5$. Точка $(4, -5)$.
• При $x = 1$: $y(1) = 2(1)^2 - 12(1) + 11 = 2 - 12 + 11 = 1$. Точка $(1, 1)$.
• При $x = 0$ (пересечение с осью OY): $y(0) = 2(0)^2 - 12(0) + 11 = 11$. Точка $(0, 11)$.

Отметив на координатной плоскости вершину $(3, -7)$ и найденные точки, соединяем их плавной линией и получаем параболу.

2. Определим по графику, какие значения принимает функция, если $0 \le x \le 4$.

Рассмотрим часть графика, которая соответствует отрезку $[0, 4]$ по оси абсцисс. Вершина параболы с координатой $x_v = 3$ находится внутри этого отрезка. Так как ветви параболы направлены вверх, наименьшее значение функции на этом отрезке достигается в вершине.

$y_{min} = y(3) = -7$.

Наибольшее значение ищем на концах отрезка. Найдем значения функции при $x=0$ и $x=4$:

$y(0) = 11$.

$y(4) = -5$.

Сравнивая эти значения ($11$ и $-5$), видим, что наибольшее значение равно $11$.

Таким образом, на отрезке $0 \le x \le 4$ функция принимает все значения от $-7$ до $11$ включительно.

Ответ: $y \in [-7, 11]$.

б)

1. Построим график функции $y = -\frac{1}{2}x^2 + 2x + 1$.

Это квадратичная функция, ее график — парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{2}$, он отрицательный, значит, ветви параболы направлены вниз.

Найдем координаты вершины параболы $(x_v, y_v)$ по формулам:

$x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{2})} = -\frac{2}{-1} = 2$.

$y_v = y(x_v) = -\frac{1}{2}(2)^2 + 2(2) + 1 = -\frac{1}{2} \cdot 4 + 4 + 1 = -2 + 4 + 1 = 3$.

Вершина параболы находится в точке $(2, 3)$. Ось симметрии параболы — прямая $x=2$.

Для построения графика найдем еще несколько точек. Возьмем значения $x$ симметрично относительно оси симметрии $x=2$.

• При $x = 0$ (пересечение с осью OY): $y(0) = -\frac{1}{2}(0)^2 + 2(0) + 1 = 1$. Точка $(0, 1)$.
• При $x = 4$ (симметрично $x=0$): $y(4) = -\frac{1}{2}(4)^2 + 2(4) + 1 = -8 + 8 + 1 = 1$. Точка $(4, 1)$.
• При $x = -2$: $y(-2) = -\frac{1}{2}(-2)^2 + 2(-2) + 1 = -2 - 4 + 1 = -5$. Точка $(-2, -5)$.

Отметив на координатной плоскости вершину $(2, 3)$ и найденные точки, соединяем их плавной линией и получаем параболу.

2. Определим по графику, какие значения принимает функция, если $-2 \le x \le 4$.

Рассмотрим часть графика, которая соответствует отрезку $[-2, 4]$ по оси абсцисс. Вершина параболы с координатой $x_v = 2$ находится внутри этого отрезка. Так как ветви параболы направлены вниз, наибольшее значение функции на этом отрезке достигается в вершине.

$y_{max} = y(2) = 3$.

Наименьшее значение ищем на концах отрезка. Найдем значения функции при $x=-2$ и $x=4$:

$y(-2) = -5$.

$y(4) = 1$.

Сравнивая эти значения ($-5$ и $1$), видим, что наименьшее значение равно $-5$.

Таким образом, на отрезке $-2 \le x \le 4$ функция принимает все значения от $-5$ до $3$ включительно.

Ответ: $y \in [-5, 3]$.

330 Постройте график функции и укажите промежутки возрастания и убывания функции:

а) $y = \begin{cases} \frac{4}{x}, \text{ если } x \ge 2 \\ \frac{1}{2}x^2, \text{ если } x < 2; \end{cases}$

б) $y = \begin{cases} -x^2+1, \text{ если } x \ge -2 \\ \frac{6}{x}, \text{ если } x < -2. \end{cases}$

а) $y = \begin{cases} \frac{4}{x}, & \text{если } x \ge 2 \\ \frac{1}{2}x^2, & \text{если } x < 2 \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции необходимо рассмотреть её на двух промежутках.

1. На промежутке $x < 2$ функция задана формулой $y = \frac{1}{2}x^2$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, а вершина находится в точке $(0, 0)$. Для построения этой части графика найдем несколько точек:

   • Вершина: $(0, 0)$.
   • При $x = -2$, $y = \frac{1}{2}(-2)^2 = 2$. Точка $(-2, 2)$.
   • На границе промежутка, в точке $x=2$, найдем предел слева: $y = \frac{1}{2}(2)^2 = 2$. Точка $(2, 2)$ не принадлежит этой части графика, поэтому на графике она будет отмечена как "выколотая".

   На этом участке функция убывает при $x \in (-\infty, 0]$ и возрастает при $x \in [0, 2)$.

2. На промежутке $x \ge 2$ функция задана формулой $y = \frac{4}{x}$. Графиком этой функции является ветвь гиперболы, расположенная в первой координатной четверти. Найдем несколько точек:

   • На границе промежутка, в точке $x=2$, значение функции равно $y = \frac{4}{2} = 2$. Точка $(2, 2)$ принадлежит графику.
   • При $x = 4$, $y = \frac{4}{4} = 1$. Точка $(4, 1)$.

   Функция $y=\frac{k}{x}$ при $k > 0$ убывает на всей области определения. Следовательно, на промежутке $[2, +\infty)$ данная функция убывает.

Объединим обе части на одном графике. Поскольку в точке $x=2$ левый предел ($y=2$) равен значению функции ($y=2$), функция является непрерывной. Точка $(2, 2)$ является точкой локального максимума.

Итоговые промежутки возрастания и убывания:

• Функция убывает на промежутке $(-\infty, 0]$.
• Функция возрастает на промежутке $[0, 2]$.
• Функция убывает на промежутке $[2, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[0, 2]$, убывает на промежутках $(-\infty, 0]$ и $[2, +\infty)$.

б) $y = \begin{cases} -x^2+1, & \text{если } x \ge -2 \\ \frac{6}{x}, & \text{если } x < -2 \end{cases}$

Для построения графика данной кусочно-заданной функции необходимо рассмотреть её на двух промежутках.

1. На промежутке $x < -2$ функция задана формулой $y = \frac{6}{x}$. Графиком этой функции является ветвь гиперболы, расположенная в третьей координатной четверти. Найдем несколько точек:

   • На границе промежутка, в точке $x=-2$, найдем предел слева: $y = \frac{6}{-2} = -3$. Точка $(-2, -3)$ будет "выколотой".
   • При $x = -3$, $y = \frac{6}{-3} = -2$. Точка $(-3, -2)$.
   • При $x = -6$, $y = \frac{6}{-6} = -1$. Точка $(-6, -1)$.

   На всем этом промежутке $(-\infty, -2)$ функция убывает.

2. На промежутке $x \ge -2$ функция задана формулой $y = -x^2+1$. Графиком является парабола, ветви которой направлены вниз, а вершина находится в точке $(0, 1)$. Найдем несколько точек:

   • На границе промежутка, в точке $x=-2$, значение функции равно $y = -(-2)^2+1 = -4+1 = -3$. Точка $(-2, -3)$ принадлежит графику.
   • Вершина параболы: $(0, 1)$.
   • Пересечение с осью Ox ($y=0$): $-x^2+1=0 \implies x=\pm1$. Обе точки принадлежат рассматриваемому промежутку.

   На этом участке функция возрастает до вершины при $x \in [-2, 0]$ и убывает после вершины при $x \in [0, +\infty)$.

Объединим обе части на одном графике. В точке $x=-2$ левый предел ($y=-3$) равен значению функции ($y=-3$), следовательно, функция непрерывна. Точка $(-2, -3)$ является точкой локального минимума, а точка $(0, 1)$ — точкой локального максимума.

Итоговые промежутки возрастания и убывания:

• Функция убывает на промежутке $(-\infty, -2]$.
• Функция возрастает на промежутке $[-2, 0]$.
• Функция убывает на промежутке $[0, +\infty)$.

Ответ: функция возрастает на промежутке $[-2, 0]$, убывает на промежутках $(-\infty, -2]$ и $[0, +\infty)$.