Страница 137 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

1 Какую функцию называют квадратичной? Из данных функций выберите те, которые являются квадратичными, и укажите, чему равны в каждом случае коэффициенты $a$, $b$ и $c$:

$y = 2x^2 - 3x + 1;$

$y = \frac{1}{x^2};$

$y = x^2 - 3;$

$y = 2x + 4;$

$y = 3x^2 + 2x;$

$y = 5x^2.$

Квадратичной функцией называют функцию, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причём коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Проанализируем каждую из данных функций, чтобы определить, является ли она квадратичной, и найти ее коэффициенты.

$y = 2x^2 - 3x + 1$
Эта функция является квадратичной, так как она записана в стандартном виде $y = ax^2 + bx + c$.
Сравнивая с общей формулой, находим коэффициенты:
- Коэффициент при $x^2$ это $a$, следовательно, $a = 2$.
- Коэффициент при $x$ это $b$, следовательно, $b = -3$.
- Свободный член это $c$, следовательно, $c = 1$.
Ответ: $a = 2, b = -3, c = 1$.

$y = \frac{1}{x^2}$
Эта функция не является квадратичной. Данная функция является дробно-рациональной, поскольку переменная $x$ находится в знаменателе. Её нельзя представить в виде многочлена $ax^2 + bx + c$.

$y = x^2 - 3$
Эта функция является квадратичной. Чтобы найти коэффициенты, представим ее в полном виде $y = ax^2 + bx + c$. В данном случае член с $x$ отсутствует, что означает, что его коэффициент $b$ равен нулю: $y = 1 \cdot x^2 + 0 \cdot x - 3$.
Коэффициенты:
- $a = 1$
- $b = 0$
- $c = -3$
Ответ: $a = 1, b = 0, c = -3$.

$y = 2x + 4$
Эта функция не является квадратичной. Это линейная функция, так как наивысшая степень переменной $x$ равна 1. В данном случае коэффициент при $x^2$ равен $a=0$, что противоречит определению квадратичной функции.

$y = 3x^2 + 2x$
Эта функция является квадратичной. В данном случае отсутствует свободный член, что означает, что коэффициент $c$ равен нулю: $y = 3x^2 + 2x + 0$.
Коэффициенты:
- $a = 3$
- $b = 2$
- $c = 0$
Ответ: $a = 3, b = 2, c = 0$.

$y = 5x^2$
Эта функция является квадратичной. Это частный случай, где коэффициенты $b$ и $c$ равны нулю: $y = 5x^2 + 0 \cdot x + 0$.
Коэффициенты:
- $a = 5$
- $b = 0$
- $c = 0$
Ответ: $a = 5, b = 0, c = 0$.

2 Какая линия является графиком квадратичной функции?

Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулой вида $y = ax^2 + bx + c$, где $x$ — независимая переменная, а $a$, $b$ и $c$ — некоторые числа (коэффициенты), причём коэффициент $a$ не должен быть равен нулю ($a \neq 0$).

Линия, которая является графиком квадратичной функции, называется параболой. Это симметричная кривая, имеющая U-образную форму.

Ключевые характеристики параболы определяются коэффициентами в уравнении. Например, знак коэффициента $a$ определяет направление "ветвей" параболы: если $a > 0$, ветви направлены вверх, а если $a < 0$ — вниз. У параболы также есть особая точка — вершина, которая является точкой минимума (если ветви вверх) или максимума (если ветви вниз) функции.

Ответ: парабола.

3 Охарактеризуйте параболу с номером 4, изображённую на рисунке 2.2 (см. с. 75):

а) Парабола является графиком функции $y = ...$.

б) Осью симметрии параболы является прямая ... .

в) Вершина параболы имеет координаты $x = ...$, $y = ...$.

г) Функция $y = ...$ принимает наибольшее значение при $x = ...$, наибольшее значение функции равно ... .

д) Парабола пересекает ось $x$ в точках ... .

е) Парабола пересекает ось $y$ в точке ... .

Поскольку изображение графика параболы №4 отсутствует, мы решим задачу, предположив её наиболее вероятные характеристики, исходя из поставленных вопросов. Вопросы подразумевают, что парабола имеет наибольшее значение, а значит её ветви направлены вниз. Выберем для примера конкретную функцию, удовлетворяющую этому условию, и на её основе дадим ответы на все пункты.

Пусть вершина параболы находится в точке $(2, 4)$, а старший коэффициент равен $-1$. Тогда уравнение параболы в вершинной форме будет $y = -(x-2)^2 + 4$. Приведём его к стандартному виду $y = ax^2 + bx + c$:

$y = -(x^2 - 4x + 4) + 4 = -x^2 + 4x - 4 + 4 = -x^2 + 4x$.

Теперь охарактеризуем эту параболу $y = -x^2 + 4x$ по пунктам.

а) Парабола является графиком функции y = ...

Как мы определили выше, для нашего примера парабола является графиком квадратичной функции $y = -x^2 + 4x$.
Ответ: $y = -x^2 + 4x$.

б) Осью симметрии параболы является прямая ...

Ось симметрии параболы проходит вертикально через её вершину. Абсцисса вершины параболы $y = ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_в = - \frac{b}{2a}$. Для функции $y = -x^2 + 4x$ имеем $a=-1, b=4$.

$x_в = - \frac{4}{2(-1)} = - \frac{4}{-2} = 2$.

Следовательно, осью симметрии является прямая $x=2$.
Ответ: $x = 2$.

в) Вершина параболы имеет координаты x = ..., y = ...

Мы уже нашли абсциссу вершины $x_в = 2$. Теперь найдем ординату, подставив это значение в уравнение функции:

$y_в = -(2)^2 + 4(2) = -4 + 8 = 4$.

Таким образом, вершина параболы имеет координаты $(2, 4)$.
Ответ: $x = 2, y = 4$.

г) Функция y = ... принимает наибольшее значение при x = ..., наибольшее значение функции равно ...

Так как ветви параболы направлены вниз (коэффициент $a = -1 < 0$), своего наибольшего значения функция достигает в вершине. Из предыдущего пункта мы знаем, что вершина имеет координаты $(2, 4)$.

Это означает, что наибольшее значение функции равно $4$ и достигается оно при $x=2$.
Ответ: Функция $y = -x^2 + 4x$ принимает наибольшее значение при $x = 2$, наибольшее значение функции равно $4$.

д) Парабола пересекает ось x в точках ...

Точки пересечения с осью $x$ (осью абсцисс) имеют ординату $y=0$. Чтобы их найти, решим уравнение:

$-x^2 + 4x = 0$

$x(-x + 4) = 0$

Это уравнение имеет два корня: $x_1 = 0$ и $x_2 = 4$.

Следовательно, парабола пересекает ось $x$ в точках $(0, 0)$ и $(4, 0)$.
Ответ: $(0, 0)$ и $(4, 0)$.

е) Парабола пересекает ось y в точке ...

Точка пересечения с осью $y$ (осью ординат) имеет абсциссу $x=0$. Найдем её ординату:

$y = -(0)^2 + 4(0) = 0$.

Следовательно, парабола пересекает ось $y$ в точке $(0, 0)$.
Ответ: $(0, 0)$.

4 Как расположена в координатной плоскости парабола $y = ax^2$ при $a > 0?$ при $a < 0?$

при $a > 0$
Парабола, заданная уравнением $y = ax^2$, является графиком квадратичной функции. Рассмотрим ее свойства при положительном коэффициенте $a$.
1. Вершина параболы. Координаты вершины параболы находятся в точке, где функция принимает свое минимальное или максимальное значение. Для функции $y = ax^2$, если подставить $x=0$, мы получим $y = a \cdot 0^2 = 0$. Таким образом, вершина параболы всегда находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
2. Направление ветвей. Выражение $x^2$ всегда является неотрицательным для любого действительного значения $x$ (то есть, $x^2 \ge 0$). Поскольку по условию коэффициент $a$ является положительным числом ($a > 0$), то произведение $a \cdot x^2$ также будет неотрицательным: $y = ax^2 \ge 0$. Это означает, что все точки параболы, за исключением вершины, находятся выше или на оси абсцисс (Ox). Следовательно, ветви параболы направлены вверх.
3. Расположение в координатной плоскости. Так как вершина параболы находится в начале координат $(0, 0)$, а ее ветви направлены вверх, то весь график (кроме точки вершины) лежит в верхней полуплоскости. Функция является четной ($y(-x) = a(-x)^2 = ax^2 = y(x)$), поэтому парабола симметрична относительно оси ординат (Oy). Она располагается в I и II координатных четвертях.

Ответ: при $a > 0$ вершина параболы $y=ax^2$ находится в начале координат, ее ветви направлены вверх, и график расположен в I и II координатных четвертях.

при $a < 0$
Теперь рассмотрим случай, когда коэффициент $a$ является отрицательным.
1. Вершина параболы. Как и в предыдущем случае, при $x=0$ значение функции $y = a \cdot 0^2 = 0$. Вершина параболы по-прежнему находится в начале координат, в точке $(0, 0)$.
2. Направление ветвей. Квадрат любого числа $x$ неотрицателен ($x^2 \ge 0$). По условию коэффициент $a$ является отрицательным числом ($a < 0$). При умножении неотрицательного значения ($x^2$) на отрицательное ($a$), результат всегда будет неположительным: $y = ax^2 \le 0$. Это означает, что все точки параболы, кроме вершины, находятся ниже или на оси абсцисс (Ox). Следовательно, ветви параболы направлены вниз.
3. Расположение в координатной плоскости. Вершина параболы находится в точке $(0, 0)$, а ее ветви направлены вниз. Это значит, что весь график (кроме точки вершины) лежит в нижней полуплоскости. Функция также остается четной и симметричной относительно оси ординат (Oy). Парабола располагается в III и IV координатных четвертях.

Ответ: при $a < 0$ вершина параболы $y=ax^2$ находится в начале координат, ее ветви направлены вниз, и график расположен в III и IV координатных четвертях.

5 Постройте график функции $y = ax^2$:

а) при $a = -\frac{1}{2}$;

б) при $a = -2$.

Опишите в каждом случае свойства функции.

а) при $a=\frac{1}{2}$

При $a=\frac{1}{2}$ функция имеет вид $y = \frac{1}{2}x^2$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Вершина параболы находится в начале координат, в точке $(0, 0)$. Так как коэффициент $a = \frac{1}{2}$ положителен ($a > 0$), ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих параболе. Составим таблицу значений:

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой, чтобы получить график параболы.

Свойства функции $y = \frac{1}{2}x^2$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$, то есть $x$ может быть любым действительным числом.
• Область значений: $E(y) = [0; +\infty)$, так как $x^2 \ge 0$.
• Четность: функция является четной, поскольку $y(-x) = \frac{1}{2}(-x)^2 = \frac{1}{2}x^2 = y(x)$. Ее график симметричен относительно оси ординат ($Oy$).
• Нули функции: $y = 0$ только при $x = 0$. График пересекает оси координат в единственной точке $(0, 0)$.
• Промежутки знакопостоянства: функция принимает положительные значения ($y > 0$) при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$ и возрастает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего минимума, $y_{min} = 0$. Максимального значения не существует.

Ответ: Графиком функции $y = \frac{1}{2}x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вверх. Свойства функции перечислены выше.

б) при $a = -2$

При $a=-2$ функция имеет вид $y = -2x^2$.

Это также квадратичная функция, ее график — парабола с вершиной в точке $(0, 0)$. Так как коэффициент $a = -2$ отрицателен ($a < 0$), ветви параболы направлены вниз.

Составим таблицу значений для построения графика:

Отмечаем эти точки на координатной плоскости и соединяем их плавной кривой.

Свойства функции $y = -2x^2$:

• Область определения: $D(y) = (-\infty; +\infty)$.
• Область значений: $E(y) = (-\infty; 0]$.
• Четность: функция является четной, так как $y(-x) = -2(-x)^2 = -2x^2 = y(x)$. График симметричен относительно оси $Oy$.
• Нули функции: $y = 0$ при $x = 0$. График проходит через начало координат.
• Промежутки знакопостоянства: функция принимает отрицательные значения ($y < 0$) при всех $x \neq 0$, то есть на интервалах $(-\infty; 0)$ и $(0; +\infty)$.
• Промежутки монотонности: функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.
• Экстремумы: в точке $x=0$ функция достигает своего максимума, $y_{max} = 0$. Минимального значения не существует.

Ответ: Графиком функции $y = -2x^2$ является парабола с вершиной в точке $(0, 0)$, ветви которой направлены вниз. Свойства функции перечислены выше.

6 Как из параболы $y = ax^2$ получить параболу $y = ax^2 + q$?

Проиллюстрируйте свой ответ схематическими рисунками.

Чтобы получить график функции (параболу) $y = ax^2 + q$ из графика функции $y = ax^2$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) параболы $y = ax^2$ вдоль оси ординат $OY$.

Это преобразование означает, что для каждого значения $x$ соответствующее значение $y$ на новом графике будет на $q$ больше, чем на исходном. Вершина параболы, которая у графика $y = ax^2$ находится в точке $(0, 0)$, смещается в точку $(0, q)$. Форма параболы и направление ее ветвей при этом не изменяются.

Рассмотрим два случая в зависимости от знака числа $q$.

1. Если $q > 0$:
Происходит сдвиг графика параболы $y = ax^2$ вверх на $q$ единиц. Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходной параболы переходит в точку $(x_0, y_0 + q)$.

2. Если $q < 0$:
Происходит сдвиг графика параболы $y = ax^2$ вниз на $|q|$ единиц (то есть на величину $q$, но в отрицательном направлении). Каждая точка $(x_0, y_0)$ исходной параболы переходит в точку $(x_0, y_0 + q)$.

Ответ: Чтобы из параболы $y = ax^2$ получить параболу $y = ax^2 + q$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика параболы $y = ax^2$ вдоль оси ординат $OY$ на $q$ единиц. Если $q > 0$, сдвиг выполняется вверх, а если $q < 0$ — вниз на $|q|$ единиц.

7 Как из параболы $y = ax^2$ получить параболу $y = a(x + p)^2$?

Проиллюстрируйте свой ответ схематическими рисунками.

Чтобы из параболы $y = ax^2$ получить параболу $y = a(x + p)^2$, необходимо выполнить параллельный перенос (сдвиг) графика исходной параболы вдоль оси абсцисс (оси Ox). Направление и величина сдвига зависят от знака и значения параметра $p$.

Вершина параболы $y = ax^2$ находится в точке $(0, 0)$. Вершина параболы $y = a(x + p)^2$ будет находиться в точке $(-p, 0)$.

Рассмотрим два случая:

Если $p$ — положительное число, то для получения графика функции $y = a(x + p)^2$ нужно сдвинуть график функции $y = ax^2$ влево вдоль оси Ox на $p$ единиц. Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(-p, 0)$.

Ответ: При $p > 0$ параболу $y = ax^2$ нужно сдвинуть влево вдоль оси Ox на $p$ единиц.

Если $p$ — отрицательное число, то для получения графика функции $y = a(x + p)^2$ нужно сдвинуть график функции $y = ax^2$ вправо вдоль оси Ox на $|p|$ единиц (то есть на расстояние, равное модулю $p$). Вершина параболы переместится из точки $(0, 0)$ в точку $(-p, 0)$, где $-p$ будет положительным числом.

Ответ: При $p < 0$ параболу $y = ax^2$ нужно сдвинуть вправо вдоль оси Ox на $|p|$ единиц.