Страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

11 График какой функции целиком расположен ниже оси x?

1) $y = x^2 - 2x + 3$

2) $y = -x^2 + 4x - 2$

3) $y = x^2 - 5x + 3$

4) $y = -x^2 + 2x - 5$

Для того чтобы график квадратичной функции $y = ax^2 + bx + c$ был целиком расположен ниже оси $x$, необходимо выполнение двух условий. Во-первых, ветви параболы должны быть направлены вниз, что означает, что коэффициент при $x^2$, то есть $a$, должен быть отрицательным ($a < 0$). Во-вторых, парабола не должна пересекать или касаться оси $x$, что означает, что у квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ не должно быть действительных корней. Это условие выполняется, когда дискриминант $D = b^2 - 4ac$ отрицателен ($D < 0$).

Рассмотрим каждую из предложенных функций:

1) $y = x^2 - 2x + 3$

Здесь коэффициент $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, график функции не может быть полностью расположен ниже оси $x$.

2) $y = -x^2 + 4x - 2$

Здесь коэффициент $a = -1$, поэтому ветви параболы направлены вниз. Первое условие выполнено. Теперь вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-2) = 16 - 8 = 8$. Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня, и график пересекает ось $x$ в двух точках. Следовательно, он не расположен целиком ниже оси $x$.

3) $y = x^2 - 5x + 3$

Здесь коэффициент $a = 1$. Поскольку $a > 0$, ветви параболы направлены вверх. Следовательно, график функции не может быть полностью расположен ниже оси $x$.

4) $y = -x^2 + 2x - 5$

Здесь коэффициент $a = -1$, поэтому ветви параболы направлены вниз. Первое условие выполнено. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-5) = 4 - 20 = -16$. Поскольку $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней, и график не пересекает ось $x$. Так как ветви параболы направлены вниз и она не пересекает ось $x$, её график целиком расположен ниже оси $x$.

Ответ: 4

12 На рисунке изображён график квадратичной функции $y = f(x)$. Пользуясь графиком, определите, какое из утверждений неверно.

1) $f(-3) = f(5) = -6$

2) при любых значениях $x$ $f(x) \le 2$

3) нули функции – числа $-1$; $1,5$; $3$

4) функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$

Для определения неверного утверждения проанализируем каждое из них на основе представленного графика квадратичной функции $y = f(x)$.

1) $f(-3) = f(5) = -6$

По графику определяем координаты вершины параболы: $(1, 2)$. Осью симметрии параболы является вертикальная прямая $x = 1$. Точки с абсциссами $x = -3$ и $x = 5$ симметричны относительно этой оси, так как они находятся на одинаковом расстоянии от нее: $|-3 - 1| = 4$ и $|5 - 1| = 4$. В силу симметрии параболы, значения функции в этих точках равны: $f(-3) = f(5)$. Найдем это значение по графику. При $x = -3$ соответствующее значение $y$ равно $-6$. Аналогично, при $x = 5$ значение $y$ также равно $-6$. Следовательно, равенство $f(-3) = f(5) = -6$ выполняется.
Ответ: утверждение верное.

2) при любых значениях $x$ $f(x) \le 2$

Из графика видно, что ветви параболы направлены вниз, а ее вершина находится в точке $(1, 2)$. Вершина является точкой максимума для данной функции. Максимальное значение, которое может принимать функция, равно ординате вершины, то есть 2. Таким образом, для любого значения $x$ выполняется неравенство $f(x) \le 2$.
Ответ: утверждение верное.

3) нули функции - числа -1; 1,5; 3

Нули функции — это значения $x$, при которых $f(x) = 0$. Геометрически это абсциссы точек пересечения графика с осью $Ox$. По графику видно, что он пересекает ось $Ox$ в двух точках: $x = -1$ и $x = 3$. Таким образом, нулями функции являются только числа -1 и 3. Квадратичная функция может иметь не более двух нулей. Утверждение, что у функции три нуля (-1, 1.5 и 3), является ложным.
Ответ: утверждение неверное.

4) функция возрастает на промежутке $(-\infty; 1]$

Функция возрастает на том промежутке, где с увеличением $x$ увеличивается и $y$. По графику видно, что значения функции увеличиваются при движении слева направо до вершины параболы. Вершина находится в точке с абсциссой $x=1$. Таким образом, функция возрастает на промежутке от $-\infty$ до 1 включительно.
Ответ: утверждение верное.

В результате анализа установлено, что неверным является утверждение №3.

13 Пользуясь графиком полёта мяча, изображённым на рисунке 2.5 (см. с. 76), определите, какое расстояние пролетел мяч с начала броска до того момента, как он упал на землю.

Для решения данной задачи необходимо обратиться к графику полёта мяча, который упоминается в условии как "рисунок 2.5". Поскольку сам график не предоставлен, невозможно дать точный численный ответ. Однако можно подробно описать методику нахождения ответа по такому графику.

График полёта мяча, как правило, показывает зависимость высоты мяча от пройденного им горизонтального расстояния. На таком графике:

• По горизонтальной оси (оси абсцисс) откладывается расстояние $s$, которое пролетел мяч от точки броска (обычно в метрах).
• По вертикальной оси (оси ординат) откладывается высота $h$, на которой находится мяч в данный момент (обычно в метрах).

Траектория полёта мяча, изображённая на таком графике, имеет форму параболы.

Вопрос задачи — "определите, какое расстояние пролетел мяч с начала броска до того момента, как он упал на землю".

• "Начало броска" соответствует точке на графике с горизонтальной координатой $s=0$.
• "Момент, как он упал на землю" соответствует точке на графике, где высота мяча равна нулю, то есть $h=0$.

Следовательно, чтобы найти общее расстояние, которое пролетел мяч по горизонтали, нужно выполнить следующие действия:

1. Найти на графике горизонтальную ось (ось расстояний $s$).
2. Найти точку, в которой кривая траектории полёта мяча пересекает эту горизонтальную ось. Это и будет точка падения мяча на землю ($h=0$).
3. Определить значение координаты $s$ для этой точки пересечения. Это значение и есть искомое расстояние.

Например, если бы на рисунке 2.5 было показано, что мяч брошен, и его траектория пересекает ось расстояний в точке, где $s=25$ метров, то это и было бы искомое расстояние.

Ответ: Для получения численного ответа на вопрос необходимо изучить график на рисунке 2.5. Искомое расстояние — это значение на горизонтальной оси (оси расстояний), соответствующее точке, в которой график траектории полёта мяча пересекает эту ось (то есть, где высота $h$ становится равной нулю).

14 На рисунке схематически изображён график функции

$y = 2x^2 + 4x - 6.$

Пользуясь рисунком, решите неравенство

$2x^2 + 4x - 6 > 0.$

Для того чтобы решить неравенство $2x^2 + 4x - 6 > 0$ с помощью графика функции $y = 2x^2 + 4x - 6$, необходимо определить, на каких интервалах график этой функции находится выше оси абсцисс ($x$).

1. Найдём точки пересечения графика с осью $x$. В этих точках значение функции равно нулю, то есть $y=0$. Эти точки называются нулями функции. Из предоставленного рисунка видно, что парабола пересекает ось $x$ в точках $x_1 = -3$ и $x_2 = 1$.

2. Проанализируем график. Функция $y = 2x^2 + 4x - 6$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх, так как старший коэффициент $a=2$ положителен. Это означает, что значения функции будут положительными ($y>0$) вне интервала между корнями и отрицательными ($y<0$) между корнями.

3. Определим интервалы, где $y > 0$. Согласно графику, парабола расположена выше оси $x$ на двух промежутках: левее точки $x = -3$ и правее точки $x = 1$.

4. Запишем решение. Поскольку неравенство строгое ($>$), сами точки $x = -3$ и $x = 1$ в решение не входят. Таким образом, решение неравенства — это все значения $x$, которые меньше $-3$ или больше $1$.

В виде объединения интервалов это записывается как: $(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$.

Ответ: $(-\infty; -3) \cup (1; +\infty)$

15 Для каждого неравенства укажите множество его решений.

А) $x^2 - 25 \le 0$

В) $x^2 - 25 \ge 0$

Б) $x^2 + 25 \le 0$

Г) $x^2 + 25 \ge 0$

1) $(-\infty; +\infty)$

2) $[-5; 5]$

3) $(-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$

4) $\emptyset$

А) Рассмотрим неравенство $x^2 - 25 \le 0$. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 25 = 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-5)(x+5) = 0$. Корнями уравнения являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. График функции $y = x^2 - 25$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше или равны нулю ($ \le 0 $) на промежутке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-5; 5]$, что соответствует варианту 2.
Ответ: 2

Б) Рассмотрим неравенство $x^2 + 25 \le 0$. Выражение $x^2$ является неотрицательным для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, сумма $x^2 + 25$ всегда будет больше или равна 25 ($x^2 + 25 \ge 25$). Так как 25 больше 0, выражение $x^2 + 25$ никогда не может быть меньше или равно нулю. Таким образом, данное неравенство не имеет решений. Множество решений пустое ($\emptyset$), что соответствует варианту 4.
Ответ: 4

В) Рассмотрим неравенство $x^2 - 25 \ge 0$. Как и в пункте А), корни уравнения $x^2 - 25 = 0$ равны $x = -5$ и $x = 5$. Парабола $y = x^2 - 25$ с ветвями вверх принимает неотрицательные значения ($ \ge 0 $) вне промежутка между корнями, то есть при $x \le -5$ или $x \ge 5$. Множество решений представляет собой объединение двух промежутков: $(-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$, что соответствует варианту 3.
Ответ: 3

Г) Рассмотрим неравенство $x^2 + 25 \ge 0$. Как и в пункте Б), выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного $x$. Поэтому сумма $x^2 + 25$ всегда будет больше или равна 25. Так как любое число, которое больше или равно 25, заведомо больше или равно 0, данное неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$. Множество решений — вся числовая прямая: $(-\infty; +\infty)$, что соответствует варианту 1.
Ответ: 1