Страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

7 Постройте график функции:

а) $y = x^2 - 4$;

б) $y = 1 - x^2$.

В каждом случае укажите:

1) наибольшее (наименьшее) значение функции;

2) промежуток, на котором функция возрастает; убывает.

а) $y = x^2 - 4$

Построение графика:
Графиком функции $y = x^2 - 4$ является парабола. Это стандартная парабола $y = x^2$, смещенная на 4 единицы вниз по оси Oy.
1. Коэффициент при $x^2$ равен 1 ($a=1$), что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot 1} = 0$
$y_0 = (0)^2 - 4 = -4$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0; -4)$.
3. Найдем несколько точек для более точного построения. Поскольку парабола симметрична относительно оси Oy, достаточно найти значения для $x > 0$:

• при $x = 1$, $y = 1^2 - 4 = -3$. Точка $(1; -3)$ и симметричная ей $(-1; -3)$.
• при $x = 2$, $y = 2^2 - 4 = 0$. Точка $(2; 0)$ и симметричная ей $(-2; 0)$. Это точки пересечения с осью Ox.
• при $x = 3$, $y = 3^2 - 4 = 5$. Точка $(3; 5)$ и симметричная ей $(-3; 5)$.

Соединив эти точки плавной линией, получаем график функции.

1) наибольшее (наименьшее) значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение в своей вершине и не имеет наибольшего значения (стремится к $+\infty$).
Наименьшее значение функции: $y_{наим} = y_0 = -4$.

2) промежуток, на котором функция возрастает; убывает

Функция убывает слева от вершины и возрастает справа от вершины. Абсцисса вершины $x_0 = 0$.
Функция возрастает на промежутке $x \in [0; +\infty)$.
Функция убывает на промежутке $x \in (-\infty; 0]$.

Ответ: 1) наименьшее значение функции равно -4; 2) функция возрастает на промежутке $[0; +\infty)$ и убывает на промежутке $(-\infty; 0]$.

б) $y = 1 - x^2$

Построение графика:
Графиком функции $y = 1 - x^2$ (или $y = -x^2 + 1$) является парабола. Это парабола $y = -x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси Oy.
1. Коэффициент при $x^2$ равен -1 ($a=-1$), что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз.
2. Найдем координаты вершины параболы $(x_0, y_0)$:
$x_0 = -\frac{b}{2a} = -\frac{0}{2 \cdot (-1)} = 0$
$y_0 = 1 - (0)^2 = 1$
Таким образом, вершина параболы находится в точке $(0; 1)$.
3. Найдем несколько точек для построения. Парабола симметрична относительно оси Oy.

• при $x = 1$, $y = 1 - 1^2 = 0$. Точка $(1; 0)$ и симметричная ей $(-1; 0)$. Это точки пересечения с осью Ox.
• при $x = 2$, $y = 1 - 2^2 = -3$. Точка $(2; -3)$ и симметричная ей $(-2; -3)$.

Соединив вершину $(0; 1)$ и найденные точки плавной линией, получаем график функции.

1) наибольшее (наименьшее) значение функции

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение в своей вершине и не имеет наименьшего значения (стремится к $-\infty$).
Наибольшее значение функции: $y_{наиб} = y_0 = 1$.

2) промежуток, на котором функция возрастает; убывает

Функция возрастает слева от вершины и убывает справа от вершины. Абсцисса вершины $x_0 = 0$.
Функция возрастает на промежутке $x \in (-\infty; 0]$.
Функция убывает на промежутке $x \in [0; +\infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение функции равно 1; 2) функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$.

8 Постройте график функции: а) $y = x^2 - 4x - 5$; б) $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x$.

В каждом случае укажите:

1) нули функции;

2) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

а) $y = x^2 - 4x - 5$

Графиком данной функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен 1, что больше нуля, поэтому ветви параболы направлены вверх.

Для построения графика найдем ключевые точки:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находятся по формулам $x_v = -\frac{b}{2a}$ и $y_v = y(x_v)$.
   $x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2$.
   $y_v = (2)^2 - 4(2) - 5 = 4 - 8 - 5 = -9$.
   Вершина находится в точке $(2, -9)$.
2. Точки пересечения с осями координат.
   При пересечении с осью OY, $x=0$:
   $y = 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5$. Точка $(0, -5)$.
   При пересечении с осью OX, $y=0$ (нули функции):
   $x^2 - 4x - 5 = 0$.
   Используем теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 = 6^2$.
   $x_1 = \frac{4 - 6}{2} = -1$.
   $x_2 = \frac{4 + 6}{2} = 5$.
   Точки пересечения с осью OX: $(-1, 0)$ и $(5, 0)$.
3. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости вершину $(2, -9)$, точки пересечения с осями $(-1, 0)$, $(5, 0)$ и $(0, -5)$. Также можно найти симметричную точке $(0, -5)$ относительно оси симметрии $x=2$ точку $(4, -5)$. Соединяем точки плавной линией, получая параболу.

1) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Для их нахождения решаем уравнение $x^2 - 4x - 5 = 0$.
Корни этого уравнения $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.

Ответ: нули функции: $x=-1$, $x=5$.

2) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

Анализируя график параболы с ветвями вверх, пересекающей ось OX в точках -1 и 5, мы можем определить знаки функции:

• Функция принимает положительные значения ($y>0$), когда ее график находится выше оси OX. Это происходит на интервалах, где $x$ меньше меньшего корня или больше большего корня.
• Функция принимает отрицательные значения ($y<0$), когда ее график находится ниже оси OX. Это происходит на интервале между корнями.

Следовательно, $y>0$ при $x \in (-\infty, -1) \cup (5, \infty)$, и $y<0$ при $x \in (-1, 5)$.

Ответ: функция положительна при $x < -1$ или $x > 5$; функция отрицательна при $-1 < x < 5$.

б) $y = -\frac{1}{3}x^2 + 2x$

Графиком данной функции является парабола. Коэффициент при $x^2$ равен $-\frac{1}{3}$, что меньше нуля, поэтому ветви параболы направлены вниз.

Для построения графика найдем ключевые точки:

1. Вершина параболы. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находятся по формулам $x_v = -\frac{b}{2a}$ и $y_v = y(x_v)$.
   $x_v = -\frac{2}{2 \cdot (-\frac{1}{3})} = -\frac{2}{-\frac{2}{3}} = 3$.
   $y_v = -\frac{1}{3}(3)^2 + 2(3) = -\frac{1}{3} \cdot 9 + 6 = -3 + 6 = 3$.
   Вершина находится в точке $(3, 3)$.
2. Точки пересечения с осями координат.
   При пересечении с осью OY, $x=0$:
   $y = -\frac{1}{3}(0)^2 + 2(0) = 0$. Точка $(0, 0)$.
   При пересечении с осью OX, $y=0$ (нули функции):
   $-\frac{1}{3}x^2 + 2x = 0$.
   Вынесем $x$ за скобки: $x(-\frac{1}{3}x + 2) = 0$.
   $x_1 = 0$ или $-\frac{1}{3}x + 2 = 0 \implies \frac{1}{3}x=2 \implies x_2=6$.
   Точки пересечения с осью OX: $(0, 0)$ и $(6, 0)$.
3. Построение графика. Отмечаем на координатной плоскости вершину $(3, 3)$ и точки пересечения с осями $(0, 0)$ и $(6, 0)$. Соединяем точки плавной линией, получая параболу, направленную ветвями вниз.

1) нули функции;

Нули функции — это значения аргумента $x$, при которых значение функции $y$ равно нулю. Для их нахождения решаем уравнение $-\frac{1}{3}x^2 + 2x = 0$.
Корни этого уравнения $x_1 = 0$ и $x_2 = 6$.

Ответ: нули функции: $x=0$, $x=6$.

2) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения; отрицательные значения.

Анализируя график параболы с ветвями вниз, пересекающей ось OX в точках 0 и 6, мы можем определить знаки функции:

• Функция принимает положительные значения ($y>0$), когда ее график находится выше оси OX. Это происходит на интервале между корнями.
• Функция принимает отрицательные значения ($y<0$), когда ее график находится ниже оси OX. Это происходит на интервалах, где $x$ меньше меньшего корня или больше большего корня.

Следовательно, $y>0$ при $x \in (0, 6)$, и $y<0$ при $x \in (-\infty, 0) \cup (6, \infty)$.

Ответ: функция положительна при $0 < x < 6$; функция отрицательна при $x < 0$ или $x > 6$.

9 Постройте график функции: а) $y = x^2 - 2x + 3$; б) $y = -x^2 + 2x - 1$.

В каждом случае укажите:

1) при каком значении $x$ функция принимает наименьшее (наибольшее) значение;

2) промежутки возрастания и убывания функции.

а) Дана функция $y = x^2 - 2x + 3$.

Это квадратичная функция, графиком которой является парабола. Для её построения и анализа выполним следующие действия:

1. Определение направления ветвей. Старший коэффициент $a=1$. Так как $a > 0$, ветви параболы направлены вверх.
2. Нахождение координат вершины. Координаты вершины $(x_v, y_v)$ находим по формулам:
   $x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1$
   $y_v = y(x_v) = (1)^2 - 2(1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2$
   Вершина параболы находится в точке $(1, 2)$. Прямая $x=1$ является осью симметрии параболы.
3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
   При $x=0$, $y = 0^2 - 2(0) + 3 = 3$. Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, 3)$.
   При $y=0$, $x^2 - 2x + 3 = 0$. Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$. Так как $D < 0$, у уравнения нет действительных корней, следовательно, график не пересекает ось $Ox$.
4. Построение графика. Используем вершину $(1, 2)$, точку $(0, 3)$ и симметричную ей точку $(2, 3)$ относительно оси $x=1$. Для большей точности можно найти еще пару точек, например, при $x=3$, $y = 3^2 - 2(3) + 3 = 6$. Точка $(3, 6)$ и симметричная ей $(-1, 6)$. По этим точкам строим параболу.

Теперь ответим на вопросы задачи, используя свойства полученной параболы.

1) при каком значении $x$ функция принимает наименьшее (наибольшее) значение;

Поскольку ветви параболы направлены вверх, функция имеет наименьшее значение. Оно достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины $x_v = 1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции.

Функция убывает слева от вершины и возрастает справа от неё. Вершина имеет абсциссу $x=1$.
Следовательно, функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$.
Функция возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

Ответ: 1) наименьшее значение функция принимает при $x = 1$; 2) функция убывает на промежутке $(-\infty, 1]$ и возрастает на промежутке $[1, \infty)$.

б) Дана функция $y = -x^2 + 2x - 1$.

Это также квадратичная функция, и её график — парабола. Выполним анализ:

1. Определение направления ветвей. Старший коэффициент $a=-1$. Так как $a < 0$, ветви параболы направлены вниз.
2. Нахождение координат вершины. Упростим выражение, выделив полный квадрат:
   $y = -(x^2 - 2x + 1) = -(x-1)^2$
   Из этого вида $y=a(x-h)^2+k$ видно, что вершина параболы находится в точке $(h, k) = (1, 0)$.
   Ось симметрии параболы — прямая $x=1$.
3. Нахождение точек пересечения с осями координат.
   При $x=0$, $y = -(0-1)^2 = -1$. Точка пересечения с осью $Oy$ — $(0, -1)$.
   При $y=0$, $-(x-1)^2 = 0$, откуда $x-1=0$, то есть $x=1$. График касается оси $Ox$ в своей вершине, в точке $(1, 0)$.
4. Построение графика. Используем вершину $(1, 0)$, точку $(0, -1)$ и симметричную ей точку $(2, -1)$. Для большей точности найдем еще пару точек, например, при $x=3$, $y = -(3-1)^2 = -4$. Точка $(3, -4)$ и симметричная ей $(-1, -4)$. По этим точкам строим параболу.

Теперь ответим на вопросы задачи, используя свойства полученной параболы.

1) при каком значении $x$ функция принимает наименьшее (наибольшее) значение;

Поскольку ветви параболы направлены вниз, функция имеет наибольшее значение. Оно достигается в вершине параболы. Абсцисса вершины $x_v = 1$.

2) промежутки возрастания и убывания функции.

Функция возрастает слева от вершины и убывает справа от неё. Вершина имеет абсциссу $x=1$.
Следовательно, функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$.
Функция убывает на промежутке $[1, \infty)$.

Ответ: 1) наибольшее значение функция принимает при $x = 1$; 2) функция возрастает на промежутке $(-\infty, 1]$ и убывает на промежутке $[1, \infty)$.

10 Решите неравенство:

a) $x^2 + 3x - 28 < 0;$

б) $-2x^2 + 10x - 12 \le 0;$

в) $2x^2 + 2 > 0;$

г) $x^2 + 2x + 3 \le 0;$

д) $x^2 \ge \frac{1}{4};$

е) $3x > x^2.$

а) Решим неравенство $x^2 + 3x - 28 < 0$.

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 3x - 28 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.

Графиком функции $y = x^2 + 3x - 28$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -7$ и $x = 4$.

Неравенство $x^2 + 3x - 28 < 0$ выполняется на том интервале, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-7; 4)$.

Ответ: $x \in (-7; 4)$.

б) Решим неравенство $-2x^2 + 10x - 12 \le 0$.

Для удобства разделим все части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 5x + 6 \ge 0$.

Теперь найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$). Она пересекает ось Ox в точках $x = 2$ и $x = 3$.

Неравенство $x^2 - 5x + 6 \ge 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox или на самой оси. Это происходит на двух промежутках: левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Следовательно, решением являются промежутки $(-\infty; 2]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$.

в) Решим неравенство $2x^2 + 2 > 0$.

Рассмотрим левую часть неравенства. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$, то есть $x^2 \ge 0$.

Тогда $2x^2 \ge 0$, и $2x^2 + 2 \ge 2$.

Поскольку $2x^2 + 2$ всегда больше или равно 2, то оно всегда больше 0. Таким образом, неравенство выполняется при любых значениях $x$.

Другой способ: найти корни уравнения $2x^2 + 2 = 0$.

$2x^2 = -2 \implies x^2 = -1$.

Это уравнение не имеет действительных корней. Графиком функции $y = 2x^2 + 2$ является парабола с ветвями вверх, которая не пересекает ось Ox и полностью расположена в верхней полуплоскости. Значит, значения функции всегда положительны.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Решим неравенство $x^2 + 2x + 3 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Графиком функции $y = x^2 + 2x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$). Поскольку у нее нет точек пересечения с осью Ox, она полностью находится выше оси Ox.

Это означает, что выражение $x^2 + 2x + 3$ всегда положительно. Неравенство $x^2 + 2x + 3 \le 0$ не выполняется ни при каких значениях $x$.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

д) Решим неравенство $x^2 \ge \frac{1}{4}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - \frac{1}{4} \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - \frac{1}{4} = 0$.

$x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$.

$x_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1}{2}$.

Графиком функции $y = x^2 - \frac{1}{4}$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$), пересекающая ось Ox в точках $x = -1/2$ и $x = 1/2$.

Неравенство $x^2 - \frac{1}{4} \ge 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox или на ней. Это происходит левее меньшего корня и правее большего, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/2] \cup [1/2; +\infty)$.

е) Решим неравенство $3x > x^2$.

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$x^2 - 3x < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 3) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$), пересекающая ось Ox в точках $x = 0$ и $x = 3$.

Неравенство $x^2 - 3x < 0$ выполняется на том интервале, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Следовательно, решением является интервал $(0; 3)$.

Ответ: $x \in (0; 3)$.

1. Дана функция $y = f(x)$, где $f(x) = 2x^2 - 3x + 8$. Найдите $f(-4)$.

Чтобы найти значение функции $f(x)$ в точке $x = -4$, необходимо подставить число $-4$ вместо переменной $x$ в формулу функции.

Исходная функция задана формулой:
$f(x) = 2x^2 - 3x + 8$

Подставляем $x = -4$:
$f(-4) = 2 \cdot (-4)^2 - 3 \cdot (-4) + 8$

Выполним вычисления по порядку действий:
1. Сначала возводим в степень: $(-4)^2 = 16$.
2. Затем выполняем умножение: $2 \cdot 16 = 32$ и $-3 \cdot (-4) = 12$.
3. Наконец, выполняем сложение: $32 + 12 + 8$.

$f(-4) = 32 + 12 + 8 = 44 + 8 = 52$

Ответ: 52

2 Для каждой функции, заданной формулой, укажите координаты точки, в которой график этой функции пересекает ось y.

А) $y = 2x^2 - 4x - 3$ Б) $y = x^2 + 5x + 3$ В) $y = -3x^2 + x + 2$

1) $(0; -3)$ 2) $(0; 1)$ 3) $(0; 2)$ 4) $(0; 3)$

Для того чтобы найти координаты точки, в которой график функции пересекает ось $y$ (ось ординат), необходимо в уравнение функции подставить значение $x=0$. Это связано с тем, что у любой точки, лежащей на оси $y$, абсцисса (координата $x$) равна нулю. Найденное значение $y$ и будет ординатой точки пересечения. Координаты этой точки будут $(0; y)$.

А) $y = 2x^2 - 4x - 3$

Подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = 2 \cdot (0)^2 - 4 \cdot (0) - 3$

$y = 2 \cdot 0 - 0 - 3$

$y = 0 - 0 - 3 = -3$

Таким образом, график функции пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0; -3)$. Этот результат соответствует варианту ответа 1).

Ответ: $(0; -3)$

Б) $y = x^2 + 5x + 3$

Подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = (0)^2 + 5 \cdot (0) + 3$

$y = 0 + 0 + 3 = 3$

Таким образом, график функции пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0; 3)$. Этот результат соответствует варианту ответа 4).

Ответ: $(0; 3)$

В) $y = -3x^2 + x + 2$

Подставим $x=0$ в уравнение функции:

$y = -3 \cdot (0)^2 + 0 + 2$

$y = -3 \cdot 0 + 0 + 2$

$y = 0 + 0 + 2 = 2$

Таким образом, график функции пересекает ось $y$ в точке с координатами $(0; 2)$. Этот результат соответствует варианту ответа 3).

Ответ: $(0; 2)$

3 Функция задана формулой $y = -25x^2$. Какие из следующих утверждений являются верными? Выпишите их номера.

1) вершина параболы, которая является графиком данной функции, находится в начале координат

2) ветви параболы направлены вниз

3) область значений функции — промежуток $[0; +\infty)$

4) функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$

5) функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$

6) противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции

1) вершина параболы, которая является графиком данной функции, находится в начале координат

Данная функция является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -25$, $b = 0$ и $c = 0$. Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ находятся по формулам: $x_в = -b / (2a)$ и $y_в = y(x_в)$. В нашем случае, $x_в = -0 / (2 \cdot (-25)) = 0$. Подставим $x_в = 0$ в уравнение функции, чтобы найти $y_в$: $y_в = -25 \cdot (0)^2 = 0$. Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(0, 0)$, что является началом координат. Утверждение верно.

Ответ: верно.

2) ветви параболы направлены вниз

Направление ветвей параболы $y = ax^2 + bx + c$ определяется знаком коэффициента $a$. Если $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз. В функции $y = -25x^2$ коэффициент $a = -25$. Так как $a = -25 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Утверждение верно.

Ответ: верно.

3) область значений функции — промежуток [0; +∞)

Область значений функции — это множество всех возможных значений, которые может принимать $y$. Так как ветви параболы направлены вниз, ее вершина является точкой максимума. Максимальное значение функции достигается в вершине и равно $y_в = 0$. Все остальные значения функции меньше нуля. Следовательно, область значений функции — это промежуток $(-\infty; 0]$. Утверждение, что область значений — $[0; +\infty)$, неверно.

Ответ: неверно.

4) функция убывает на промежутке (–∞; 0]

Монотонность квадратичной функции меняется в ее вершине. Поскольку ветви параболы направлены вниз (из п. 2), функция возрастает на промежутке до вершины и убывает на промежутке после вершины. Вершина находится в точке $x_в = 0$. Значит, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$. Утверждение, что функция убывает на $(-\infty; 0]$, неверно.

Ответ: неверно.

5) функция убывает на промежутке [0; +∞)

Как было установлено в предыдущем пункте, так как ветви параболы направлены вниз и вершина находится в $x=0$, функция убывает на промежутке от вершины до плюс бесконечности. То есть, функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

6) противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции

Это свойство описывает нечетную функцию, для которой выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Проверим это для нашей функции $f(x) = -25x^2$. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = -25(-x)^2 = -25x^2$. Сравним $f(-x)$ и $f(x)$. Мы видим, что $f(-x) = f(x)$. Это означает, что функция является четной, а не нечетной. Для четной функции противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

Верными являются утверждения под номерами 1, 2, 5.

Ответ: 125

4 Какая из данных точек принадлежит графику функции $y = -4x^2$.

A(4; 64);

B(5; -80);

C(-5; -100);

D(-6; 144)?

Чтобы определить, какая из данных точек принадлежит графику функции $y = -4x^2$, необходимо подставить координаты каждой точки (x и y) в уравнение функции. Если получится верное числовое равенство, то точка принадлежит графику.

A(4; 64)

Подставим координаты точки A, где $x = 4$ и $y = 64$, в уравнение функции:

$y = -4x^2$

$64 = -4 \cdot (4)^2$

$64 = -4 \cdot 16$

$64 = -64$

Равенство неверное. Следовательно, точка A не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

B(5; –80)

Подставим координаты точки B, где $x = 5$ и $y = -80$, в уравнение функции:

$y = -4x^2$

$-80 = -4 \cdot (5)^2$

$-80 = -4 \cdot 25$

$-80 = -100$

Равенство неверное. Следовательно, точка B не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.

C(–5; –100)

Подставим координаты точки C, где $x = -5$ и $y = -100$, в уравнение функции:

$y = -4x^2$

$-100 = -4 \cdot (-5)^2$

$-100 = -4 \cdot 25$

$-100 = -100$

Равенство верное. Следовательно, точка C принадлежит графику функции.

Ответ: принадлежит.

D(–6; 144)

Подставим координаты точки D, где $x = -6$ и $y = 144$, в уравнение функции:

$y = -4x^2$

$144 = -4 \cdot (-6)^2$

$144 = -4 \cdot 36$

$144 = -144$

Равенство неверное. Следовательно, точка D не принадлежит графику функции.

Ответ: не принадлежит.