Номер 10, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Это надо уметь. Глава 2. Квадратичная функция - номер 10, страница 139.

10 Решите неравенство:

a) $x^2 + 3x - 28 < 0;$

б) $-2x^2 + 10x - 12 \le 0;$

в) $2x^2 + 2 > 0;$

г) $x^2 + 2x + 3 \le 0;$

д) $x^2 \ge \frac{1}{4};$

е) $3x > x^2.$

а) Решим неравенство $x^2 + 3x - 28 < 0$.

Для решения этого квадратного неравенства сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 3x - 28 = 0$.

Вычислим дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-28) = 9 + 112 = 121 = 11^2$.

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 11}{2 \cdot 1} = \frac{-14}{2} = -7$.

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 11}{2 \cdot 1} = \frac{8}{2} = 4$.

Графиком функции $y = x^2 + 3x - 28$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($a=1>0$). Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -7$ и $x = 4$.

Неравенство $x^2 + 3x - 28 < 0$ выполняется на том интервале, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Следовательно, решением неравенства является интервал $(-7; 4)$.

Ответ: $x \in (-7; 4)$.

б) Решим неравенство $-2x^2 + 10x - 12 \le 0$.

Для удобства разделим все части неравенства на -2. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x^2 - 5x + 6 \ge 0$.

Теперь найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$.

По теореме Виета, сумма корней равна 5, а их произведение равно 6. Легко подобрать корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 5x + 6$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$). Она пересекает ось Ox в точках $x = 2$ и $x = 3$.

Неравенство $x^2 - 5x + 6 \ge 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox или на самой оси. Это происходит на двух промежутках: левее меньшего корня и правее большего корня, включая сами корни.

Следовательно, решением являются промежутки $(-\infty; 2]$ и $[3; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; 2] \cup [3; +\infty)$.

в) Решим неравенство $2x^2 + 2 > 0$.

Рассмотрим левую часть неравенства. Выражение $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$, то есть $x^2 \ge 0$.

Тогда $2x^2 \ge 0$, и $2x^2 + 2 \ge 2$.

Поскольку $2x^2 + 2$ всегда больше или равно 2, то оно всегда больше 0. Таким образом, неравенство выполняется при любых значениях $x$.

Другой способ: найти корни уравнения $2x^2 + 2 = 0$.

$2x^2 = -2 \implies x^2 = -1$.

Это уравнение не имеет действительных корней. Графиком функции $y = 2x^2 + 2$ является парабола с ветвями вверх, которая не пересекает ось Ox и полностью расположена в верхней полуплоскости. Значит, значения функции всегда положительны.

Ответ: $x \in (-\infty; +\infty)$.

г) Решим неравенство $x^2 + 2x + 3 \le 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 + 2x + 3 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8$.

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Графиком функции $y = x^2 + 2x + 3$ является парабола, ветви которой направлены вверх ($a=1>0$). Поскольку у нее нет точек пересечения с осью Ox, она полностью находится выше оси Ox.

Это означает, что выражение $x^2 + 2x + 3$ всегда положительно. Неравенство $x^2 + 2x + 3 \le 0$ не выполняется ни при каких значениях $x$.

Ответ: решений нет (или $x \in \emptyset$).

д) Решим неравенство $x^2 \ge \frac{1}{4}$.

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - \frac{1}{4} \ge 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - \frac{1}{4} = 0$.

$x^2 = \frac{1}{4} \implies x = \pm\sqrt{\frac{1}{4}}$.

$x_1 = -\frac{1}{2}$ и $x_2 = \frac{1}{2}$.

Графиком функции $y = x^2 - \frac{1}{4}$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$), пересекающая ось Ox в точках $x = -1/2$ и $x = 1/2$.

Неравенство $x^2 - \frac{1}{4} \ge 0$ выполняется там, где парабола находится выше оси Ox или на ней. Это происходит левее меньшего корня и правее большего, включая сами корни.

Ответ: $x \in (-\infty; -1/2] \cup [1/2; +\infty)$.

е) Решим неравенство $3x > x^2$.

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить стандартное квадратное неравенство:

$x^2 - 3x < 0$.

Найдем корни уравнения $x^2 - 3x = 0$.

Вынесем $x$ за скобки: $x(x - 3) = 0$.

Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = 3$.

Графиком функции $y = x^2 - 3x$ является парабола с ветвями вверх ($a=1>0$), пересекающая ось Ox в точках $x = 0$ и $x = 3$.

Неравенство $x^2 - 3x < 0$ выполняется на том интервале, где парабола находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Следовательно, решением является интервал $(0; 3)$.

Ответ: $x \in (0; 3)$.