Номер 3, страница 139 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 2. Квадратичная функция - номер 3, страница 139.

3 Функция задана формулой $y = -25x^2$. Какие из следующих утверждений являются верными? Выпишите их номера.

1) вершина параболы, которая является графиком данной функции, находится в начале координат

2) ветви параболы направлены вниз

3) область значений функции — промежуток $[0; +\infty)$

4) функция убывает на промежутке $(-\infty; 0]$

5) функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$

6) противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции

1) вершина параболы, которая является графиком данной функции, находится в начале координат

Данная функция является квадратичной функцией вида $y = ax^2 + bx + c$, где $a = -25$, $b = 0$ и $c = 0$. Координаты вершины параболы $(x_в, y_в)$ находятся по формулам: $x_в = -b / (2a)$ и $y_в = y(x_в)$. В нашем случае, $x_в = -0 / (2 \cdot (-25)) = 0$. Подставим $x_в = 0$ в уравнение функции, чтобы найти $y_в$: $y_в = -25 \cdot (0)^2 = 0$. Таким образом, вершина параболы находится в точке с координатами $(0, 0)$, что является началом координат. Утверждение верно.

Ответ: верно.

2) ветви параболы направлены вниз

Направление ветвей параболы $y = ax^2 + bx + c$ определяется знаком коэффициента $a$. Если $a > 0$, ветви направлены вверх. Если $a < 0$, ветви направлены вниз. В функции $y = -25x^2$ коэффициент $a = -25$. Так как $a = -25 < 0$, ветви параболы направлены вниз. Утверждение верно.

Ответ: верно.

3) область значений функции — промежуток [0; +∞)

Область значений функции — это множество всех возможных значений, которые может принимать $y$. Так как ветви параболы направлены вниз, ее вершина является точкой максимума. Максимальное значение функции достигается в вершине и равно $y_в = 0$. Все остальные значения функции меньше нуля. Следовательно, область значений функции — это промежуток $(-\infty; 0]$. Утверждение, что область значений — $[0; +\infty)$, неверно.

Ответ: неверно.

4) функция убывает на промежутке (–∞; 0]

Монотонность квадратичной функции меняется в ее вершине. Поскольку ветви параболы направлены вниз (из п. 2), функция возрастает на промежутке до вершины и убывает на промежутке после вершины. Вершина находится в точке $x_в = 0$. Значит, функция возрастает на промежутке $(-\infty; 0]$ и убывает на промежутке $[0; +\infty)$. Утверждение, что функция убывает на $(-\infty; 0]$, неверно.

Ответ: неверно.

5) функция убывает на промежутке [0; +∞)

Как было установлено в предыдущем пункте, так как ветви параболы направлены вниз и вершина находится в $x=0$, функция убывает на промежутке от вершины до плюс бесконечности. То есть, функция убывает на промежутке $[0; +\infty)$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

6) противоположным значениям аргумента соответствуют противоположные значения функции

Это свойство описывает нечетную функцию, для которой выполняется равенство $f(-x) = -f(x)$. Проверим это для нашей функции $f(x) = -25x^2$. Найдем $f(-x)$: $f(-x) = -25(-x)^2 = -25x^2$. Сравним $f(-x)$ и $f(x)$. Мы видим, что $f(-x) = f(x)$. Это означает, что функция является четной, а не нечетной. Для четной функции противоположным значениям аргумента соответствуют равные значения функции. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

Верными являются утверждения под номерами 1, 2, 5.

Ответ: 125