Номер 10, страница 140 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 2. Квадратичная функция - номер 10, страница 140.

9 Укажите координаты вершины параболы

$y = -3(x + 5)^2 - 1$

10 График какой функции изображён на рисунке?

1) $y = 2x^2 - 7x + 3$

2) $y = x^2 + 2x - 3$

3) $y = x^2 - 4x + 3$

4) $y = 2x^2 - 5x - 3$

9

Уравнение параболы, вершина которой находится в точке $(h; k)$, имеет вид $y = a(x - h)^2 + k$. Нам дано уравнение $y = -3(x + 5)^2 - 1$.

Чтобы привести данное уравнение к стандартному вершинному виду, мы можем переписать его следующим образом: $y = -3(x - (-5))^2 + (-1)$.

Теперь, сравнивая это уравнение с общей формулой $y = a(x - h)^2 + k$, мы можем легко определить координаты вершины:

• $h = -5$
• $k = -1$

Следовательно, координаты вершины параболы: $(-5; -1)$.

Ответ: $(-5; -1)$

10

Чтобы определить, какая из предложенных функций соответствует графику, проанализируем ключевые точки на изображенной параболе и проверим, удовлетворяют ли им предложенные уравнения.

1. Проверка по точке пересечения с осью OY. Из графика видно, что парабола пересекает ось ординат (OY) в точке $(0; -3)$. Это означает, что при $x=0$ значение функции должно быть $y=-3$. Проверим это для каждого из вариантов:

• 1) $y = 2x^2 - 7x + 3 \implies y(0) = 2(0)^2 - 7(0) + 3 = 3$. Не подходит.
• 2) $y = x^2 + 2x - 3 \implies y(0) = (0)^2 + 2(0) - 3 = -3$. Подходит.
• 3) $y = x^2 - 4x + 3 \implies y(0) = (0)^2 - 4(0) + 3 = 3$. Не подходит.
• 4) $y = 2x^2 - 5x - 3 \implies y(0) = 2(0)^2 - 5(0) - 3 = -3$. Подходит.

После первой проверки у нас остались варианты 2 и 4.

2. Проверка по точкам пересечения с осью OX. График пересекает ось абсцисс (OX) в точках $x=1$ и $x=-3$. Это корни уравнения, то есть при этих значениях $x$ функция должна быть равна нулю ($y=0$). Проверим оставшиеся варианты, подставив, например, $x=1$.

• 2) $y = x^2 + 2x - 3 \implies y(1) = 1^2 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0$. Подходит.
• 4) $y = 2x^2 - 5x - 3 \implies y(1) = 2(1)^2 - 5(1) - 3 = 2 - 5 - 3 = -6$. Не подходит.

Таким образом, единственная функция, график которой проходит через все указанные точки, это $y = x^2 + 2x - 3$.

3. Дополнительная проверка по вершине параболы. Из графика видно, что вершина параболы находится в точке $(-1; -4)$. Найдем координаты вершины для функции $y = x^2 + 2x - 3$ по формуле $x_v = -b/(2a)$. $x_v = -2 / (2 \cdot 1) = -1$. $y_v = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$. Координаты вершины $(-1; -4)$ совпали с графиком, что подтверждает правильность выбора.

Ответ: 2