Номер 15, страница 141 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Проверьте себя. Глава 2. Квадратичная функция - номер 15, страница 141.

15 Для каждого неравенства укажите множество его решений.

А) $x^2 - 25 \le 0$

В) $x^2 - 25 \ge 0$

Б) $x^2 + 25 \le 0$

Г) $x^2 + 25 \ge 0$

1) $(-\infty; +\infty)$

2) $[-5; 5]$

3) $(-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$

4) $\emptyset$

А) Рассмотрим неравенство $x^2 - 25 \le 0$. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 25 = 0$. Разложим левую часть на множители по формуле разности квадратов: $(x-5)(x+5) = 0$. Корнями уравнения являются $x_1 = 5$ и $x_2 = -5$. Эти точки делят числовую ось на три интервала. График функции $y = x^2 - 25$ представляет собой параболу, ветви которой направлены вверх. Следовательно, значения функции меньше или равны нулю ($ \le 0 $) на промежутке между корнями, включая сами корни. Таким образом, решением неравенства является отрезок $[-5; 5]$, что соответствует варианту 2.
Ответ: 2

Б) Рассмотрим неравенство $x^2 + 25 \le 0$. Выражение $x^2$ является неотрицательным для любого действительного числа $x$, то есть $x^2 \ge 0$. Следовательно, сумма $x^2 + 25$ всегда будет больше или равна 25 ($x^2 + 25 \ge 25$). Так как 25 больше 0, выражение $x^2 + 25$ никогда не может быть меньше или равно нулю. Таким образом, данное неравенство не имеет решений. Множество решений пустое ($\emptyset$), что соответствует варианту 4.
Ответ: 4

В) Рассмотрим неравенство $x^2 - 25 \ge 0$. Как и в пункте А), корни уравнения $x^2 - 25 = 0$ равны $x = -5$ и $x = 5$. Парабола $y = x^2 - 25$ с ветвями вверх принимает неотрицательные значения ($ \ge 0 $) вне промежутка между корнями, то есть при $x \le -5$ или $x \ge 5$. Множество решений представляет собой объединение двух промежутков: $(-\infty; -5] \cup [5; +\infty)$, что соответствует варианту 3.
Ответ: 3

Г) Рассмотрим неравенство $x^2 + 25 \ge 0$. Как и в пункте Б), выражение $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного $x$. Поэтому сумма $x^2 + 25$ всегда будет больше или равна 25. Так как любое число, которое больше или равно 25, заведомо больше или равно 0, данное неравенство выполняется для всех действительных чисел $x$. Множество решений — вся числовая прямая: $(-\infty; +\infty)$, что соответствует варианту 1.
Ответ: 1