Номер 348, страница 149 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 348, страница 149.

348 Какая из дробей равна данному выражению?

а) $\frac{c}{c-d} + \frac{c}{c+d}$

1) $\frac{2c^2}{c^2-d^2}$

2) $\frac{2}{1-d^2}$

3) $\frac{2c}{c^2-d^2};$

б) $\frac{a+1}{a^2-a} - \frac{a-1}{a^2+a}$

1) $-\frac{1}{a}$

2) $\frac{4}{a^2-1}$

3) $\frac{2}{a^3-a};$

в) $\frac{m^2-16}{m^2-2m} : \frac{m-2}{m^2+4m}$

1) $-\frac{3}{m}$

2) $\frac{1}{m+2}$

3) $\frac{m-4}{m^2};$

г) $\frac{(a-b)^2}{ab+b^2} : \frac{a^2-b^2}{b}$

1) $\frac{1}{(a+b)^2}$

2) $\frac{(a-b)^3}{b^2}$

3) $\frac{a-b}{(a+b)^2}.$

а) Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{c}{c-d}$ и $\frac{c}{c+d}$ это $(c-d)(c+d) = c^2 - d^2$.

$\frac{c}{c-d} + \frac{c}{c+d} = \frac{c(c+d)}{(c-d)(c+d)} + \frac{c(c-d)}{(c-d)(c+d)} = \frac{c(c+d) + c(c-d)}{c^2 - d^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{c^2 + cd + c^2 - cd}{c^2 - d^2} = \frac{2c^2}{c^2 - d^2}$

Данное выражение соответствует варианту 1).
Ответ: 1)

б) Чтобы найти разность дробей $\frac{a+1}{a^2 - a} - \frac{a-1}{a^2 + a}$, разложим их знаменатели на множители:

$a^2 - a = a(a-1)$

$a^2 + a = a(a+1)$

Общий знаменатель: $a(a-1)(a+1)$. Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{(a+1)(a+1)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{(a-1)(a-1)}{a(a+1)(a-1)} = \frac{(a+1)^2 - (a-1)^2}{a(a-1)(a+1)}$

В числителе используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a+1)^2 - (a-1)^2 = ((a+1) - (a-1))((a+1) + (a-1)) = (2)(2a) = 4a$

Получаем дробь: $\frac{4a}{a(a-1)(a+1)}$. Сокращаем на $a$ (при $a \neq 0$):

$\frac{4}{(a-1)(a+1)} = \frac{4}{a^2 - 1}$

Данное выражение соответствует варианту 2).
Ответ: 2)

в) Выполним умножение дробей $\frac{m^2 - 16}{m^2 - 2m} \cdot \frac{m-2}{m^2 + 4m}$. Для этого разложим числители и знаменатели на множители:

$\frac{(m-4)(m+4)}{m(m-2)} \cdot \frac{m-2}{m(m+4)}$

Сократим общие множители $(m+4)$ и $(m-2)$ в числителях и знаменателях:

$\frac{m-4}{m} \cdot \frac{1}{m} = \frac{m-4}{m^2}$

Данное выражение соответствует варианту 3).
Ответ: 3)

г) Выполним деление дробей $\frac{(a-b)^2}{ab + b^2} : \frac{a^2 - b^2}{b}$. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{(a-b)^2}{ab + b^2} \cdot \frac{b}{a^2 - b^2}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби и знаменатель второй дроби:

$\frac{(a-b)^2}{b(a+b)} \cdot \frac{b}{(a-b)(a+b)}$

Сократим общие множители $b$ и $(a-b)$:

$\frac{a-b}{a+b} \cdot \frac{1}{a+b} = \frac{a-b}{(a+b)^2}$

Данное выражение соответствует варианту 3).
Ответ: 3)