Номер 349, страница 150 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 349, страница 150.

349 Выполните подстановку $a = \frac{xy}{x+y}$, $b = \frac{xy}{x-y}$ в данное выражение

и упростите его:

а) $a + b$;

б) $a - b$;

в) $ab$;

г) $\frac{a}{b}$;

д) $\frac{ab}{a+b}$;

е) $\frac{a-b}{ab}$.

а) $a + b$

Подставим значения $a$ и $b$ в выражение и приведем дроби к общему знаменателю $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$a + b = \frac{xy}{x+y} + \frac{xy}{x-y} = \frac{xy(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{xy(x+y)}{(x+y)(x-y)}$

Сложим числители:

$\frac{xy(x-y) + xy(x+y)}{x^2 - y^2} = \frac{x^2y - xy^2 + x^2y + xy^2}{x^2 - y^2}$

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$\frac{2x^2y}{x^2 - y^2}$

Ответ: $\frac{2x^2y}{x^2 - y^2}$

б) $a - b$

Подставим значения $a$ и $b$ в выражение и приведем дроби к общему знаменателю:

$a - b = \frac{xy}{x+y} - \frac{xy}{x-y} = \frac{xy(x-y) - xy(x+y)}{x^2 - y^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2y - xy^2 - (x^2y + xy^2)}{x^2 - y^2} = \frac{x^2y - xy^2 - x^2y - xy^2}{x^2 - y^2}$

Упростим числитель:

$\frac{-2xy^2}{x^2 - y^2}$

Ответ: $\frac{-2xy^2}{x^2 - y^2}$

в) $ab$

Подставим значения $a$ и $b$ и перемножим их:

$ab = \frac{xy}{x+y} \cdot \frac{xy}{x-y} = \frac{(xy)(xy)}{(x+y)(x-y)}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{x^2y^2}{x^2 - y^2}$

Ответ: $\frac{x^2y^2}{x^2 - y^2}$

г) $\frac{a}{b}$

Подставим значения $a$ и $b$ и выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{a}{b} = \frac{\frac{xy}{x+y}}{\frac{xy}{x-y}} = \frac{xy}{x+y} \cdot \frac{x-y}{xy}$

Сократим общие множители $xy$ в числителе и знаменателе:

$\frac{x-y}{x+y}$

Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$

д) $\frac{ab}{a+b}$

Для упрощения этого выражения удобно сначала преобразовать его, разделив числитель и знаменатель на $ab$:

$\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{\frac{a+b}{ab}} = \frac{1}{\frac{a}{ab} + \frac{b}{ab}} = \frac{1}{\frac{1}{b} + \frac{1}{a}}$

Найдем выражения для $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$:

$\frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{xy}{x+y}} = \frac{x+y}{xy}$

$\frac{1}{b} = \frac{1}{\frac{xy}{x-y}} = \frac{x-y}{xy}$

Подставим их в преобразованное выражение:

$\frac{1}{\frac{x-y}{xy} + \frac{x+y}{xy}} = \frac{1}{\frac{x-y+x+y}{xy}} = \frac{1}{\frac{2x}{xy}}$

Сократим $x$ в знаменателе и упростим:

$\frac{1}{\frac{2}{y}} = \frac{y}{2}$

Ответ: $\frac{y}{2}$

е) $\frac{a-b}{ab}$

Преобразуем выражение, разделив его на две дроби:

$\frac{a-b}{ab} = \frac{a}{ab} - \frac{b}{ab} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$

Используем найденные в предыдущем пункте $\frac{1}{a} = \frac{x+y}{xy}$ и $\frac{1}{b} = \frac{x-y}{xy}$:

$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{x-y}{xy} - \frac{x+y}{xy} = \frac{(x-y) - (x+y)}{xy}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{x-y-x-y}{xy} = \frac{-2y}{xy}$

Сократим общий множитель $y$:

$-\frac{2}{x}$

Ответ: $-\frac{2}{x}$