Номер 356, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 356, страница 151.

356 РАССУЖДАЕМ

1) Докажите, что выражения

$(x + 1)^2(x - 1)^2$, $(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)$,

$(x^2 - 1)^2$ и $x^4 - 2x^2 + 1$

тождественно равны.

2) Какое из выражений

$(x - 3)^2(x + 3)^2$, $(x - 3)^2(x + 3)$,

$(3 + x)(3 - x)^2$, $(x^2 - 9)(x - 3)$

является «лишним»?

1) Чтобы доказать, что данные выражения тождественно равны, необходимо преобразовать каждое из них и показать, что они приводятся к одному и тому же виду. Упростим каждое выражение до многочлена стандартного вида.

Рассмотрим выражение $(x + 1)^2(x - 1)^2$.
Используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n b^n$, мы можем записать:
$(x + 1)^2(x - 1)^2 = ((x + 1)(x - 1))^2$.
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к выражению в скобках:
$((x + 1)(x - 1))^2 = (x^2 - 1^2)^2 = (x^2 - 1)^2$.
Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x^2 - 1)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$.

Рассмотрим выражение $(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)$.
Каждый множитель является полным квадратом:
$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$
Таким образом, произведение равно $(x + 1)^2(x - 1)^2$. Мы уже упростили это выражение и получили $x^4 - 2x^2 + 1$.

Рассмотрим выражение $(x^2 - 1)^2$.
Это в точности то промежуточное выражение, которое мы получили при упрощении первого. Раскрыв скобки по формуле квадрата разности, получим:
$(x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1$.

Последнее выражение $x^4 - 2x^2 + 1$ уже представлено в виде многочлена стандартного вида.

Так как все четыре выражения приводятся к одному и тому же виду $x^4 - 2x^2 + 1$, они тождественно равны.
Ответ: Доказано, что все выражения тождественно равны, так как после упрощения каждое из них принимает вид $x^4 - 2x^2 + 1$.

2) Чтобы определить, какое из выражений является «лишним», нужно упростить каждое из них и найти то, которое отличается от остальных.

Упростим первое выражение: $(x - 3)^2(x + 3)^2$.
$((x - 3)(x + 3))^2 = (x^2 - 3^2)^2 = (x^2 - 9)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 9 + 9^2 = x^4 - 18x^2 + 81$.

Упростим второе выражение: $(x - 3)^2(x + 3)$.
$(x^2 - 6x + 9)(x + 3) = x(x^2 - 6x + 9) + 3(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x + 3x^2 - 18x + 27 = x^3 - 3x^2 - 9x + 27$.

Упростим третье выражение: $(3 + x)(3 - x)^2$.
Так как $(3 + x) = (x + 3)$ и $(3 - x)^2 = (-(x - 3))^2 = (x - 3)^2$, это выражение равно $(x + 3)(x - 3)^2$, что совпадает со вторым выражением. Следовательно, результат упрощения будет тем же: $x^3 - 3x^2 - 9x + 27$.

Упростим четвертое выражение: $(x^2 - 9)(x - 3)$.
Разложим $x^2 - 9$ на множители: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Тогда выражение примет вид: $(x - 3)(x + 3)(x - 3) = (x - 3)^2(x + 3)$. Это снова то же самое выражение, что и второе и третье. Результат: $x^3 - 3x^2 - 9x + 27$.

В результате упрощения мы получили:
1) $x^4 - 18x^2 + 81$
2) $x^3 - 3x^2 - 9x + 27$
3) $x^3 - 3x^2 - 9x + 27$
4) $x^3 - 3x^2 - 9x + 27$
Второе, третье и четвертое выражения тождественно равны. Первое выражение отличается от них.
Ответ: «Лишним» является выражение $(x - 3)^2(x + 3)^2$.