Номер 359, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 359, страница 152.

359 Докажите, что при всех значениях переменных:

а) значение выражения

$(a - b)^2 + (a + b)^2 - (a - b)(a + b)$

является числом неотрицательным;

б) значение выражения

$(x + 2)(x - 2) - (2x - 1)(2x + 1) + 3$

является числом неположительным.

а) Чтобы доказать, что значение выражения является неотрицательным, нужно его упростить. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения:

• Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Разность квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(a - b)^2 + (a + b)^2 - (a - b)(a + b) = (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - b^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + b^2 = (a^2 + a^2 - a^2) + (-2ab + 2ab) + (b^2 + b^2 + b^2) = a^2 + 3b^2$

Проанализируем полученное выражение $a^2 + 3b^2$.

При любом значении $a$, $a^2 \ge 0$.

При любом значении $b$, $b^2 \ge 0$, а значит и $3b^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел ($a^2$ и $3b^2$) также является неотрицательным числом. Следовательно, $a^2 + 3b^2 \ge 0$ при любых значениях переменных $a$ и $b$.

Ответ: Выражение равно $a^2 + 3b^2$, что всегда больше или равно нулю, следовательно, оно является неотрицательным.

б) Чтобы доказать, что значение выражения является неположительным, нужно его упростить. Воспользуемся формулой разности квадратов: $(c - d)(c + d) = c^2 - d^2$.

Применим эту формулу к двум парам скобок в выражении:

$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$

$(2x - 1)(2x + 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(x + 2)(x - 2) - (2x - 1)(2x + 1) + 3 = (x^2 - 4) - (4x^2 - 1) + 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4 - 4x^2 + 1 + 3 = (x^2 - 4x^2) + (-4 + 1 + 3) = -3x^2 + 0 = -3x^2$

Проанализируем полученное выражение $-3x^2$.

При любом значении $x$, $x^2 \ge 0$.

При умножении неотрицательного числа ($x^2$) на отрицательное число ($-3$), результат всегда будет меньше или равен нулю. Следовательно, $-3x^2 \le 0$ при любом значении переменной $x$.

Ответ: Выражение равно $-3x^2$, что всегда меньше или равно нулю, следовательно, оно является неположительным.