Номер 357, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 357, страница 151.

357 Какие из равенств не являются тождествами:

1) $a^{-3} \cdot a^2 = a^{-6}$;

2) $x^{10} \cdot x^{-5} = x^5$;

3) $(m - n)^2 = m^2 - n^2$;

4) $a(a + b) = a^2 + b$;

5) $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + 2xy + y^2} = \frac{x - y}{x + y}$;

6) $-\frac{a - b}{a + b} = \frac{b - a}{a + b}$;

7) $p + p^{-1} = \frac{p^2 + 1}{p}$;

8) $p^{-1} + q^{-1} = \frac{1}{p + q}$?

1) Рассмотрим равенство $a^{-3} \cdot a^2 = a^{-6}$.

Чтобы проверить, является ли оно тождеством, преобразуем его левую часть, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$a^{-3} \cdot a^2 = a^{-3+2} = a^{-1}$.

Теперь сравним полученный результат с правой частью равенства: $a^{-1} \neq a^{-6}$. Равенство выполняется не для всех значений $a$.

Следовательно, данное равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

2) Рассмотрим равенство $x^{10} \cdot x^{-5} = x^5$.

Преобразуем левую часть, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$x^{10} \cdot x^{-5} = x^{10+(-5)} = x^{10-5} = x^5$.

Сравним результат с правой частью: $x^5 = x^5$.

Левая и правая части равны для любых допустимых значений $x$. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

3) Рассмотрим равенство $(m - n)^2 = m^2 - n^2$.

Преобразуем левую часть, используя формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.

Сравним результат с правой частью: $m^2 - 2mn + n^2 \neq m^2 - n^2$. Равенство верно только в частных случаях (например, если $m=0$ или $n=0$), но не для всех значений переменных.

Следовательно, данное равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

4) Рассмотрим равенство $a(a + b) = a^2 + b$.

Преобразуем левую часть, раскрыв скобки по распределительному закону умножения:

$a(a + b) = a \cdot a + a \cdot b = a^2 + ab$.

Сравним результат с правой частью: $a^2 + ab \neq a^2 + b$. Равенство верно только в частных случаях (например, если $a=1$ или $b=0$), но не для всех значений переменных.

Следовательно, данное равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

5) Рассмотрим равенство $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + 2xy + y^2} = \frac{x-y}{x+y}$.

Преобразуем левую часть. Числитель дроби является разностью квадратов ($a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$), а знаменатель — квадратом суммы ($a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$).

$\frac{x^2 - y^2}{x^2 + 2xy + y^2} = \frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^2}$.

Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$ (при условии $x+y \neq 0$):

$\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{ (x+y)^{\cancel{2}} } = \frac{x-y}{x+y}$.

Левая часть после преобразований равна правой. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

6) Рассмотрим равенство $-\frac{a-b}{a+b} = \frac{b-a}{a+b}$.

Преобразуем левую часть. Внесем знак "минус" перед дробью в числитель:

$-\frac{a-b}{a+b} = \frac{-(a-b)}{a+b} = \frac{-a+b}{a+b} = \frac{b-a}{a+b}$.

Левая часть равна правой части. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

7) Рассмотрим равенство $p + p^{-1} = \frac{p^2 + 1}{p}$.

Преобразуем левую часть, используя определение степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):

$p + p^{-1} = p + \frac{1}{p}$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю $p$:

$p + \frac{1}{p} = \frac{p \cdot p}{p} + \frac{1}{p} = \frac{p^2 + 1}{p}$.

Левая часть равна правой. Следовательно, данное равенство является тождеством (при $p \neq 0$).

Ответ: является тождеством.

8) Рассмотрим равенство $p^{-1} + q^{-1} = \frac{1}{p+q}$.

Преобразуем левую часть, используя определение степени с отрицательным показателем:

$p^{-1} + q^{-1} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $pq$:

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{q}{pq} + \frac{p}{pq} = \frac{p+q}{pq}$.

Сравним результат с правой частью: $\frac{p+q}{pq} \neq \frac{1}{p+q}$. Это легко проверить, подставив числовые значения. Например, для $p=1, q=1$, левая часть равна $\frac{1+1}{1 \cdot 1}=2$, а правая $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$.

Следовательно, данное равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.