Страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Докажите тождество (354–355).

354 a) $(x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y)(x + y) = 4y^2;$

б) $2(x + y)(x - y) + (x + y)^2 + (x - y)^2 = 4x^2.$

a) $(x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y)(x + y) = 4y^2$

Для доказательства этого тождества преобразуем его левую часть. Выражение в левой части можно распознать как формулу сокращенного умножения, а именно квадрат разности: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.

Если мы примем $a = (x + y)$ и $b = (x - y)$, то исходное выражение $(x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y)(x + y)$ можно переписать как $b^2 + a^2 - 2ab$, что эквивалентно $(a - b)^2$.

В качестве другого, более прямолинейного подхода, можно заметить, что левая часть имеет вид $A^2 + B^2 - 2AB$, где $A = (x-y)$ и $B = (x+y)$. Это формула для $(A-B)^2$.

Сделаем подстановку, используя эту формулу:

$(x - y)^2 + (x + y)^2 - 2(x - y)(x + y) = ((x - y) - (x + y))^2$

Теперь упростим выражение, получившееся в скобках, раскрыв внутренние скобки:

$((x - y) - (x + y))^2 = (x - y - x - y)^2$

Приведем подобные члены внутри скобок:

$(x - x - y - y)^2 = (-2y)^2$

Возведем в квадрат:

$(-2y)^2 = 4y^2$

Мы получили, что левая часть тождества равна $4y^2$, что в точности совпадает с правой частью. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) $2(x + y)(x - y) + (x + y)^2 + (x - y)^2 = 4x^2$

Преобразуем левую часть тождества. Для наглядности переставим слагаемые:

$(x + y)^2 + (x - y)^2 + 2(x + y)(x - y)$

Это выражение соответствует формуле квадрата суммы: $a^2 + b^2 + 2ab = (a + b)^2$. В данном случае в качестве $a$ выступает выражение $(x + y)$, а в качестве $b$ — выражение $(x - y)$.

Применим эту формулу:

$((x + y) + (x - y))^2$

Упростим выражение в скобках, раскрыв их:

$(x + y + x - y)^2$

Приведем подобные члены внутри скобок:

$(x + x + y - y)^2 = (2x)^2$

Возведем в квадрат:

$(2x)^2 = 4x^2$

Левая часть тождества равна $4x^2$, что совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

355 а) $(\frac{1}{m-n} - \frac{1}{m+n}) : (\frac{1}{m-n} + \frac{1}{m+n}) = \frac{n}{m};$

б) $(\frac{a+b}{a} - \frac{a+b}{b}) : (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = b-a;$

в) $(1 - \frac{1}{c-1}) \cdot (1 + \frac{1}{c-2}) = 1;$

г) $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x})^2 - (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})^2 = -4.$

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть выражения. Выполним действия в скобках, а затем деление.

1. Первые скобки (вычитание). Приводим дроби к общему знаменателю $(m-n)(m+n) = m^2-n^2$.

$\frac{1}{m-n} - \frac{1}{m+n} = \frac{1 \cdot (m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{1 \cdot (m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{m+n-(m-n)}{m^2-n^2} = \frac{m+n-m+n}{m^2-n^2} = \frac{2n}{m^2-n^2}$

2. Вторые скобки (сложение). Общий знаменатель тот же: $m^2-n^2$.

$\frac{1}{m-n} + \frac{1}{m+n} = \frac{1 \cdot (m+n)}{(m-n)(m+n)} + \frac{1 \cdot (m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{m+n+m-n}{m^2-n^2} = \frac{2m}{m^2-n^2}$

3. Выполняем деление полученных выражений.

$(\frac{2n}{m^2-n^2}) \div (\frac{2m}{m^2-n^2}) = \frac{2n}{m^2-n^2} \cdot \frac{m^2-n^2}{2m} = \frac{2n \cdot (m^2-n^2)}{(m^2-n^2) \cdot 2m} = \frac{2n}{2m} = \frac{n}{m}$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть, следовательно, тождество доказано.

Ответ: $\frac{n}{m} = \frac{n}{m}$, тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть выражения для доказательства тождества.

1. Упростим выражение в первых скобках. Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки.

$\frac{a+b}{a} - \frac{a+b}{b} = (a+b) \cdot (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) = (a+b) \cdot (\frac{b-a}{ab}) = \frac{(a+b)(b-a)}{ab}$

2. Упростим выражение во вторых скобках, приведя к общему знаменателю $ab$.

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b+a}{ab}$

3. Выполним деление.

$\frac{(a+b)(b-a)}{ab} \div \frac{a+b}{ab} = \frac{(a+b)(b-a)}{ab} \cdot \frac{ab}{a+b}$

Сокращаем общие множители $(a+b)$ и $ab$ (при условии, что $a \neq -b$, $a \neq 0$, $b \neq 0$).

$\frac{\cancel{(a+b)}(b-a)}{\cancel{ab}} \cdot \frac{\cancel{ab}}{\cancel{a+b}} = b-a$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $b-a = b-a$, тождество доказано.

в) Преобразуем левую часть выражения, чтобы доказать тождество.

1. Упростим выражение в первой скобке. Приведем к общему знаменателю $c-1$.

$1 - \frac{1}{c-1} = \frac{c-1}{c-1} - \frac{1}{c-1} = \frac{c-1-1}{c-1} = \frac{c-2}{c-1}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Приведем к общему знаменателю $c-2$.

$1 + \frac{1}{c-2} = \frac{c-2}{c-2} + \frac{1}{c-2} = \frac{c-2+1}{c-2} = \frac{c-1}{c-2}$

3. Выполним умножение полученных выражений (при условии, что $c \neq 1$ и $c \neq 2$).

$\frac{c-2}{c-1} \cdot \frac{c-1}{c-2} = \frac{\cancel{c-2}}{\cancel{c-1}} \cdot \frac{\cancel{c-1}}{\cancel{c-2}} = 1$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $1=1$, тождество доказано.

г) Для доказательства тождества применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

Пусть $A = \frac{x}{y} - \frac{y}{x}$ и $B = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$.

1. Найдем разность $(A-B)$.

$A-B = (\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) - (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) = \frac{x}{y} - \frac{y}{x} - \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = -2\frac{y}{x}$

2. Найдем сумму $(A+B)$.

$A+B = (\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) + (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) = \frac{x}{y} - \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{x}{y}$

3. Перемножим полученные выражения.

$(A-B)(A+B) = (-2\frac{y}{x}) \cdot (2\frac{x}{y}) = -4 \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Сокращаем $x$ и $y$ (при условии, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$), получаем:

$-4 \cdot 1 = -4$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $-4=-4$, тождество доказано.

356 РАССУЖДАЕМ

1) Докажите, что выражения

$(x + 1)^2(x - 1)^2$, $(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)$,

$(x^2 - 1)^2$ и $x^4 - 2x^2 + 1$

тождественно равны.

2) Какое из выражений

$(x - 3)^2(x + 3)^2$, $(x - 3)^2(x + 3)$,

$(3 + x)(3 - x)^2$, $(x^2 - 9)(x - 3)$

является «лишним»?

1) Чтобы доказать, что данные выражения тождественно равны, необходимо преобразовать каждое из них и показать, что они приводятся к одному и тому же виду. Упростим каждое выражение до многочлена стандартного вида.

Рассмотрим выражение $(x + 1)^2(x - 1)^2$.
Используя свойство степени произведения $(a \cdot b)^n = a^n b^n$, мы можем записать:
$(x + 1)^2(x - 1)^2 = ((x + 1)(x - 1))^2$.
Применим формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ к выражению в скобках:
$((x + 1)(x - 1))^2 = (x^2 - 1^2)^2 = (x^2 - 1)^2$.
Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$:
$(x^2 - 1)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2 = x^4 - 2x^2 + 1$.

Рассмотрим выражение $(x^2 + 2x + 1)(x^2 - 2x + 1)$.
Каждый множитель является полным квадратом:
$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$
Таким образом, произведение равно $(x + 1)^2(x - 1)^2$. Мы уже упростили это выражение и получили $x^4 - 2x^2 + 1$.

Рассмотрим выражение $(x^2 - 1)^2$.
Это в точности то промежуточное выражение, которое мы получили при упрощении первого. Раскрыв скобки по формуле квадрата разности, получим:
$(x^2 - 1)^2 = x^4 - 2x^2 + 1$.

Последнее выражение $x^4 - 2x^2 + 1$ уже представлено в виде многочлена стандартного вида.

Так как все четыре выражения приводятся к одному и тому же виду $x^4 - 2x^2 + 1$, они тождественно равны.
Ответ: Доказано, что все выражения тождественно равны, так как после упрощения каждое из них принимает вид $x^4 - 2x^2 + 1$.

2) Чтобы определить, какое из выражений является «лишним», нужно упростить каждое из них и найти то, которое отличается от остальных.

Упростим первое выражение: $(x - 3)^2(x + 3)^2$.
$((x - 3)(x + 3))^2 = (x^2 - 3^2)^2 = (x^2 - 9)^2 = (x^2)^2 - 2 \cdot x^2 \cdot 9 + 9^2 = x^4 - 18x^2 + 81$.

Упростим второе выражение: $(x - 3)^2(x + 3)$.
$(x^2 - 6x + 9)(x + 3) = x(x^2 - 6x + 9) + 3(x^2 - 6x + 9) = x^3 - 6x^2 + 9x + 3x^2 - 18x + 27 = x^3 - 3x^2 - 9x + 27$.

Упростим третье выражение: $(3 + x)(3 - x)^2$.
Так как $(3 + x) = (x + 3)$ и $(3 - x)^2 = (-(x - 3))^2 = (x - 3)^2$, это выражение равно $(x + 3)(x - 3)^2$, что совпадает со вторым выражением. Следовательно, результат упрощения будет тем же: $x^3 - 3x^2 - 9x + 27$.

Упростим четвертое выражение: $(x^2 - 9)(x - 3)$.
Разложим $x^2 - 9$ на множители: $x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.
Тогда выражение примет вид: $(x - 3)(x + 3)(x - 3) = (x - 3)^2(x + 3)$. Это снова то же самое выражение, что и второе и третье. Результат: $x^3 - 3x^2 - 9x + 27$.

В результате упрощения мы получили:
1) $x^4 - 18x^2 + 81$
2) $x^3 - 3x^2 - 9x + 27$
3) $x^3 - 3x^2 - 9x + 27$
4) $x^3 - 3x^2 - 9x + 27$
Второе, третье и четвертое выражения тождественно равны. Первое выражение отличается от них.
Ответ: «Лишним» является выражение $(x - 3)^2(x + 3)^2$.

357 Какие из равенств не являются тождествами:

1) $a^{-3} \cdot a^2 = a^{-6}$;

2) $x^{10} \cdot x^{-5} = x^5$;

3) $(m - n)^2 = m^2 - n^2$;

4) $a(a + b) = a^2 + b$;

5) $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + 2xy + y^2} = \frac{x - y}{x + y}$;

6) $-\frac{a - b}{a + b} = \frac{b - a}{a + b}$;

7) $p + p^{-1} = \frac{p^2 + 1}{p}$;

8) $p^{-1} + q^{-1} = \frac{1}{p + q}$?

1) Рассмотрим равенство $a^{-3} \cdot a^2 = a^{-6}$.

Чтобы проверить, является ли оно тождеством, преобразуем его левую часть, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$a^{-3} \cdot a^2 = a^{-3+2} = a^{-1}$.

Теперь сравним полученный результат с правой частью равенства: $a^{-1} \neq a^{-6}$. Равенство выполняется не для всех значений $a$.

Следовательно, данное равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

2) Рассмотрим равенство $x^{10} \cdot x^{-5} = x^5$.

Преобразуем левую часть, используя свойство умножения степеней с одинаковым основанием ($x^m \cdot x^n = x^{m+n}$):

$x^{10} \cdot x^{-5} = x^{10+(-5)} = x^{10-5} = x^5$.

Сравним результат с правой частью: $x^5 = x^5$.

Левая и правая части равны для любых допустимых значений $x$. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

3) Рассмотрим равенство $(m - n)^2 = m^2 - n^2$.

Преобразуем левую часть, используя формулу сокращенного умножения "квадрат разности": $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.

$(m - n)^2 = m^2 - 2mn + n^2$.

Сравним результат с правой частью: $m^2 - 2mn + n^2 \neq m^2 - n^2$. Равенство верно только в частных случаях (например, если $m=0$ или $n=0$), но не для всех значений переменных.

Следовательно, данное равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

4) Рассмотрим равенство $a(a + b) = a^2 + b$.

Преобразуем левую часть, раскрыв скобки по распределительному закону умножения:

$a(a + b) = a \cdot a + a \cdot b = a^2 + ab$.

Сравним результат с правой частью: $a^2 + ab \neq a^2 + b$. Равенство верно только в частных случаях (например, если $a=1$ или $b=0$), но не для всех значений переменных.

Следовательно, данное равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.

5) Рассмотрим равенство $\frac{x^2 - y^2}{x^2 + 2xy + y^2} = \frac{x-y}{x+y}$.

Преобразуем левую часть. Числитель дроби является разностью квадратов ($a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$), а знаменатель — квадратом суммы ($a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$).

$\frac{x^2 - y^2}{x^2 + 2xy + y^2} = \frac{(x-y)(x+y)}{(x+y)^2}$.

Сократим дробь на общий множитель $(x+y)$ (при условии $x+y \neq 0$):

$\frac{(x-y)\cancel{(x+y)}}{ (x+y)^{\cancel{2}} } = \frac{x-y}{x+y}$.

Левая часть после преобразований равна правой. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

6) Рассмотрим равенство $-\frac{a-b}{a+b} = \frac{b-a}{a+b}$.

Преобразуем левую часть. Внесем знак "минус" перед дробью в числитель:

$-\frac{a-b}{a+b} = \frac{-(a-b)}{a+b} = \frac{-a+b}{a+b} = \frac{b-a}{a+b}$.

Левая часть равна правой части. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Ответ: является тождеством.

7) Рассмотрим равенство $p + p^{-1} = \frac{p^2 + 1}{p}$.

Преобразуем левую часть, используя определение степени с отрицательным показателем ($a^{-n} = \frac{1}{a^n}$):

$p + p^{-1} = p + \frac{1}{p}$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю $p$:

$p + \frac{1}{p} = \frac{p \cdot p}{p} + \frac{1}{p} = \frac{p^2 + 1}{p}$.

Левая часть равна правой. Следовательно, данное равенство является тождеством (при $p \neq 0$).

Ответ: является тождеством.

8) Рассмотрим равенство $p^{-1} + q^{-1} = \frac{1}{p+q}$.

Преобразуем левую часть, используя определение степени с отрицательным показателем:

$p^{-1} + q^{-1} = \frac{1}{p} + \frac{1}{q}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $pq$:

$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = \frac{q}{pq} + \frac{p}{pq} = \frac{p+q}{pq}$.

Сравним результат с правой частью: $\frac{p+q}{pq} \neq \frac{1}{p+q}$. Это легко проверить, подставив числовые значения. Например, для $p=1, q=1$, левая часть равна $\frac{1+1}{1 \cdot 1}=2$, а правая $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$.

Следовательно, данное равенство не является тождеством.

Ответ: не является тождеством.