Страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

372 Докажите тождество:

а) $ \left( \frac{1}{x-1} + \frac{8}{x^2-6x+5} - \frac{2}{x-5} \right) \cdot \frac{x^2-1}{x} = - \frac{x+1}{x} $

б) $ \frac{x-1}{x+6} : \left( \frac{3}{x+6} + \frac{5x+2}{x^2+5x-6} - \frac{x}{x-1} \right) = -1; $

в) $ \left( \frac{1}{25x^2-1} + \frac{4x^2-3x}{5x-1} \cdot \frac{25x}{3+11x-20x^2} \right) = -1; $

г) $ \frac{9}{10x^2-11x-6} \cdot \frac{2x+3}{10x^2+4x} - \frac{8x^3}{4x^2-9} = -2x. $

а)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатель $x^2-6x+5$ на множители. Корнями уравнения $x^2-6x+5=0$ являются $x_1=1$ и $x_2=5$. Таким образом, $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(x-1)(x-5)$:

$\frac{1}{x-1} + \frac{8}{(x-1)(x-5)} - \frac{2}{x-5} = \frac{1 \cdot (x-5) + 8 - 2 \cdot (x-1)}{(x-1)(x-5)} = \frac{x-5+8-2x+2}{(x-1)(x-5)} = \frac{-x+5}{(x-1)(x-5)} = \frac{-(x-5)}{(x-1)(x-5)} = -\frac{1}{x-1}$.

Теперь умножим полученное выражение на $\frac{x^2-1}{x}$. Используем формулу разности квадратов $x^2-1=(x-1)(x+1)$:

$-\frac{1}{x-1} \cdot \frac{x^2-1}{x} = -\frac{1}{x-1} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x} = -\frac{x+1}{x}$.

Левая часть тождества равна $-\frac{x+1}{x}$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражение в скобках. Разложим на множители знаменатель $x^2+5x-6$. Корнями уравнения $x^2+5x-6=0$ являются $x_1=1$ и $x_2=-6$. Таким образом, $x^2+5x-6=(x-1)(x+6)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(x-1)(x+6)$:

$\frac{3}{x+6} + \frac{5x+2}{(x-1)(x+6)} - \frac{x}{x-1} = \frac{3(x-1) + (5x+2) - x(x+6)}{(x-1)(x+6)} = \frac{3x-3+5x+2-x^2-6x}{(x-1)(x+6)} = \frac{-x^2+2x-1}{(x-1)(x+6)}$.

В числителе вынесем минус за скобки и свернем выражение по формуле квадрата разности: $-(x^2-2x+1) = -(x-1)^2$.

$\frac{-(x-1)^2}{(x-1)(x+6)} = -\frac{x-1}{x+6}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{x-1}{x+6} : \left(-\frac{x-1}{x+6}\right) = \frac{x-1}{x+6} \cdot \left(-\frac{x+6}{x-1}\right) = -1$.

Левая часть тождества равна -1, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала выполним умножение дробей внутри скобок.

Разложим на множители многочлены:
$4x^2-3x = x(4x-3)$.
$3+11x-20x^2 = -(20x^2-11x-3)$. Корни уравнения $20x^2-11x-3=0$ это $x_1 = 3/4$ и $x_2 = -1/5$. Значит, $20x^2-11x-3 = 20(x-3/4)(x+1/5) = (4x-3)(5x+1)$.
Следовательно, $3+11x-20x^2 = -(4x-3)(5x+1)$.

Подставим разложенные многочлены в произведение:

$\frac{x(4x-3)}{5x-1} \cdot \frac{25x}{-(4x-3)(5x+1)} = \frac{25x^2}{(5x-1) \cdot (-(5x+1))} = -\frac{25x^2}{(5x-1)(5x+1)} = -\frac{25x^2}{25x^2-1}$.

Теперь выполним сложение в скобках, используя полученный результат и формулу разности квадратов $25x^2-1$:

$\frac{1}{25x^2-1} + \left(-\frac{25x^2}{25x^2-1}\right) = \frac{1-25x^2}{25x^2-1} = \frac{-(25x^2-1)}{25x^2-1} = -1$.

Левая часть тождества равна -1, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество доказано.

г)

В условии этого примера, по-видимому, допущена опечатка. Если выполнять действия как написано (умножение, затем вычитание), тождество не подтверждается. Однако, если предположить, что знак умножения «·» на самом деле должен быть знаком деления «:», тождество оказывается верным. Решим задачу с этим исправлением.

Докажем тождество: $\frac{9}{10x^2-11x-6} : \frac{2x+3}{10x^2+4x} - \frac{8x^3}{4x^2-9} = -2x$.

1. Выполним деление. Для этого разложим на множители знаменатели дробей:
$10x^2-11x-6$. Корни уравнения $10x^2-11x-6=0$ это $x_1=3/2$ и $x_2=-2/5$. Значит, $10x^2-11x-6 = (2x-3)(5x+2)$.
$10x^2+4x = 2x(5x+2)$.

Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим:

$\frac{9}{(2x-3)(5x+2)} : \frac{2x+3}{2x(5x+2)} = \frac{9}{(2x-3)(5x+2)} \cdot \frac{2x(5x+2)}{2x+3} = \frac{9 \cdot 2x}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{18x}{4x^2-9}$.

2. Теперь выполним вычитание:

$\frac{18x}{4x^2-9} - \frac{8x^3}{4x^2-9} = \frac{18x-8x^3}{4x^2-9}$.

3. Упростим полученную дробь. Вынесем общий множитель в числителе:

$18x-8x^3 = 2x(9-4x^2) = -2x(4x^2-9)$.

$\frac{-2x(4x^2-9)}{4x^2-9} = -2x$.

Левая часть тождества равна -2x, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество доказано (при условии исправления опечатки в знаке операции).

373 Докажите тождество:

a) $\frac{(x^2 + x - 1)^2 - (x^2 + x - 4)^2}{(x^2 + x - 2)^2 - (x^2 + x - 3)^2} = 3.$

Указание. Используйте подстановку $y = x^2 + x$.

б) $(x - \frac{1}{x})(4x - \frac{4}{x})(9x - \frac{9}{x}) - (2x - \frac{2}{x})(3x - \frac{3}{x})(6x - \frac{6}{x})=0.$

Указание. Используйте подстановку $y = x - \frac{1}{x}$.

а)

Для доказательства тождества $ \frac{(x^2 + x - 1)^2 - (x^2 + x - 4)^2}{(x^2 + x - 2)^2 - (x^2 + x - 3)^2} = 3 $ воспользуемся указанной в условии подстановкой $ y = x^2 + x $.

После подстановки левая часть уравнения принимает вид:

$ \frac{(y - 1)^2 - (y - 4)^2}{(y - 2)^2 - (y - 3)^2} $

Применим формулу разности квадратов $ a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ к числителю и знаменателю дроби.

Преобразуем числитель, где $ a = y - 1 $ и $ b = y - 4 $:

$ (y - 1)^2 - (y - 4)^2 = ((y - 1) - (y - 4))((y - 1) + (y - 4)) = (y - 1 - y + 4)(y - 1 + y - 4) = 3(2y - 5) $.

Преобразуем знаменатель, где $ a = y - 2 $ и $ b = y - 3 $:

$ (y - 2)^2 - (y - 3)^2 = ((y - 2) - (y - 3))((y - 2) + (y - 3)) = (y - 2 - y + 3)(y - 2 + y - 3) = 1(2y - 5) = 2y - 5 $.

Теперь подставим полученные выражения обратно в дробь:

$ \frac{3(2y - 5)}{2y - 5} $

При условии, что знаменатель не равен нулю ($ 2y - 5 \neq 0 $), мы можем сократить дробь на общий множитель $ (2y - 5) $:

$ \frac{3(2y - 5)}{2y - 5} = 3 $

Левая часть тождества равна 3, что совпадает с правой частью. Таким образом, тождество доказано для всех допустимых значений $ x $.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Для доказательства тождества $ (x - \frac{1}{x})(4x - \frac{4}{x})(9x - \frac{9}{x}) - (2x - \frac{2}{x})(3x - \frac{3}{x})(6x - \frac{6}{x}) = 0 $ преобразуем левую часть, вынеся общие множители из каждой скобки.

Рассмотрим первое произведение:

$ (x - \frac{1}{x})(4x - \frac{4}{x})(9x - \frac{9}{x}) = (x - \frac{1}{x}) \cdot 4(x - \frac{1}{x}) \cdot 9(x - \frac{1}{x}) = (1 \cdot 4 \cdot 9) \cdot (x - \frac{1}{x})^3 = 36(x - \frac{1}{x})^3 $.

Рассмотрим второе произведение:

$ (2x - \frac{2}{x})(3x - \frac{3}{x})(6x - \frac{6}{x}) = 2(x - \frac{1}{x}) \cdot 3(x - \frac{1}{x}) \cdot 6(x - \frac{1}{x}) = (2 \cdot 3 \cdot 6) \cdot (x - \frac{1}{x})^3 = 36(x - \frac{1}{x})^3 $.

Теперь левая часть уравнения имеет вид разности двух одинаковых выражений:

$ 36(x - \frac{1}{x})^3 - 36(x - \frac{1}{x})^3 $

Как и указано в условии, можно использовать подстановку $ y = x - \frac{1}{x} $. Тогда выражение примет вид:

$ 36y^3 - 36y^3 = 0 $.

Левая часть тождества равна 0, что совпадает с правой частью. Тождество доказано для всех $ x \neq 0 $.

Ответ: Тождество доказано.

374 Упростите выражение:

a) $(\frac{1+x}{1-x})^2 + (\frac{1-x}{1+x})^2 - 2;$

б) $(\frac{a^2}{a+1} - a)(\frac{5a^2}{a+1} - a) - (\frac{2a^2}{a+1} - a)(\frac{4a^2}{a+1} - a).$

а)

Данное выражение имеет вид $A^2 + B^2 - 2$, где $A = \frac{1+x}{1-x}$ и $B = \frac{1-x}{1+x}$.
Заметим, что произведение $A \cdot B = \frac{1+x}{1-x} \cdot \frac{1-x}{1+x} = 1$.
Следовательно, выражение можно переписать как $A^2 + B^2 - 2AB$, что является формулой квадрата разности $(A-B)^2$.
Подставим наши дроби в эту формулу:

$ \left( \frac{1+x}{1-x} - \frac{1-x}{1+x} \right)^2 $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(1-x)(1+x)$:

$ \left( \frac{(1+x)(1+x)}{(1-x)(1+x)} - \frac{(1-x)(1-x)}{(1-x)(1+x)} \right)^2 = \left( \frac{(1+x)^2 - (1-x)^2}{(1-x)(1+x)} \right)^2 $

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
Числитель: $(1+2x+x^2) - (1-2x+x^2) = 1+2x+x^2-1+2x-x^2 = 4x$.
Знаменатель преобразуем по формуле разности квадратов: $(1-x)(1+x) = 1-x^2$.
Теперь выражение в скобках равно $ \frac{4x}{1-x^2} $.

Возведем полученную дробь в квадрат:

$ \left( \frac{4x}{1-x^2} \right)^2 = \frac{(4x)^2}{(1-x^2)^2} = \frac{16x^2}{(1-x^2)^2} $

Ответ: $ \frac{16x^2}{(1-x^2)^2} $.

б)

Рассмотрим исходное выражение: $ \left(\frac{a^2}{a+1}-a\right)\left(\frac{5a^2}{a+1}-a\right) - \left(\frac{2a^2}{a+1}-a\right)\left(\frac{4a^2}{a+1}-a\right) $.
Для упрощения вычислений введем замену. Пусть $y = \frac{a^2}{a+1}$.
Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$ (y-a)(5y-a) - (2y-a)(4y-a) $

Теперь раскроем скобки, перемножая многочлены:

$ (y \cdot 5y - y \cdot a - a \cdot 5y + a \cdot a) - (2y \cdot 4y - 2y \cdot a - a \cdot 4y + a \cdot a) $

$ (5y^2 - ay - 5ay + a^2) - (8y^2 - 2ay - 4ay + a^2) $

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$ (5y^2 - 6ay + a^2) - (8y^2 - 6ay + a^2) $

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, и снова приведем подобные слагаемые:

$ 5y^2 - 6ay + a^2 - 8y^2 + 6ay - a^2 = (5y^2 - 8y^2) + (-6ay + 6ay) + (a^2 - a^2) = -3y^2 $

Мы получили простое выражение $-3y^2$. Теперь выполним обратную замену, подставив $ y = \frac{a^2}{a+1} $:

$ -3 \left( \frac{a^2}{a+1} \right)^2 = -3 \frac{(a^2)^2}{(a+1)^2} = -\frac{3a^4}{(a+1)^2} $

Ответ: $ -\frac{3a^4}{(a+1)^2} $.

375 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

а) Найдите наименьшее значение выражения $x^2 - 2xy - y^2$, если известно, что $x + y = 1$.

б) Найдите наибольшее значение выражения $x^2 - 3xy + y^2$, если известно, что $x - y = 2$.

Указание. Выразите одну переменную через другую и выполните подстановку.

а)

Требуется найти наименьшее значение выражения $E = x^2 - 2xy - y^2$ при условии $x + y = 1$.

Следуя указанию, выразим одну переменную через другую. Из условия $x + y = 1$ выразим $y$:

$y = 1 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ в исходное выражение $E$:

$E(x) = x^2 - 2x(1 - x) - (1 - x)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$E(x) = x^2 - (2x - 2x^2) - (1 - 2x + x^2)$

$E(x) = x^2 - 2x + 2x^2 - 1 + 2x - x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$E(x) = (1 + 2 - 1)x^2 + (-2 + 2)x - 1$

$E(x) = 2x^2 - 1$

Мы получили квадратичную функцию $E(x) = 2x^2 - 1$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $2$, что больше нуля. Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координата $x$ вершины параболы $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_v = -b/(2a)$. В нашем случае $a = 2$, $b = 0$, $c = -1$.

$x_v = -0 / (2 \cdot 2) = 0$

Наименьшее значение выражения достигается при $x = 0$. Найдем это значение, подставив $x = 0$ в функцию $E(x)$:

$E_{min} = E(0) = 2(0)^2 - 1 = -1$

При этом значение $y$ будет: $y = 1 - x = 1 - 0 = 1$.

Ответ: -1

б)

Требуется найти наибольшее значение выражения $E = x^2 - 3xy + y^2$ при условии $x - y = 2$.

Выразим $x$ из условия $x - y = 2$:

$x = 2 + y$

Подставим это выражение для $x$ в исходное выражение $E$:

$E(y) = (2 + y)^2 - 3(2 + y)y + y^2$

Раскроем скобки и упростим:

$E(y) = (4 + 4y + y^2) - (6y + 3y^2) + y^2$

$E(y) = 4 + 4y + y^2 - 6y - 3y^2 + y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$E(y) = (1 - 3 + 1)y^2 + (4 - 6)y + 4$

$E(y) = -y^2 - 2y + 4$

Мы получили квадратичную функцию $E(y) = -y^2 - 2y + 4$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $y^2$ равен $-1$, что меньше нуля. Следовательно, эта функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Координата $y$ вершины параболы $ay^2 + by + c$ находится по формуле $y_v = -b/(2a)$. В нашем случае $a = -1$, $b = -2$, $c = 4$.

$y_v = -(-2) / (2 \cdot (-1)) = 2 / (-2) = -1$

Наибольшее значение выражения достигается при $y = -1$. Найдем это значение, подставив $y = -1$ в функцию $E(y)$:

$E_{max} = E(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 4 = -1 + 2 + 4 = 5$

При этом значение $x$ будет: $x = 2 + y = 2 + (-1) = 1$.

Ответ: 5

Постройте график функции (376—377).

376 а) $y=\frac{x^2 - 4}{x + 2}$;

б) $y=\frac{x - 1}{x^2 - x}$;

В) $y=\frac{x^2 - 4x - 5}{x + 1}$;

Г) $y=\frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$.

а) $y = \frac{x^2 - 4}{x + 2}$
1. Найдем область определения функции. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x + 2 \neq 0$, откуда $x \neq -2$.
2. Упростим выражение для функции. Числитель представляет собой разность квадратов: $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.
$y = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x + 2}$
При условии $x \neq -2$ мы можем сократить дробь на $(x+2)$:
$y = x - 2$.
3. Графиком функции $y = x - 2$ является прямая. Для ее построения достаточно двух точек, например, $(0, -2)$ и $(2, 0)$.
4. Так как исходная функция не определена в точке $x = -2$, на графике в этой точке будет "выколотая" точка (разрыв). Найдем координаты этой точки:
$y = -2 - 2 = -4$.
Таким образом, точка с координатами $(-2, -4)$ не принадлежит графику функции.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 2$ с выколотой точкой $(-2, -4)$.

б) $y = \frac{x - 1}{x^2 - x}$
1. Найдем область определения функции. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - x \neq 0$.
$x(x - 1) \neq 0$.
Отсюда $x \neq 0$ и $x \neq 1$.
2. Упростим функцию, вынеся в знаменателе общий множитель $x$ за скобки:
$y = \frac{x - 1}{x(x - 1)}$
При условии $x \neq 1$ мы можем сократить дробь на $(x-1)$:
$y = \frac{1}{x}$.
3. Графиком функции $y = \frac{1}{x}$ является гипербола, ветви которой расположены в I и III координатных четвертях. Асимптоты гиперболы — оси координат ($x=0$ и $y=0$).
4. Исходная функция не определена в точках $x = 0$ и $x = 1$. Упрощенная функция $y = \frac{1}{x}$ также не определена при $x=0$ (это ее вертикальная асимптота). Точка $x=1$ является точкой разрыва. Найдем ее координаты:
$y = \frac{1}{1} = 1$.
Точка с координатами $(1, 1)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = \frac{1}{x}$ с выколотой точкой $(1, 1)$.

в) $y = \frac{x^2 - 4x - 5}{x + 1}$
1. Найдем область определения. Знаменатель не равен нулю: $x + 1 \neq 0$, откуда $x \neq -1$.
2. Упростим функцию. Для этого разложим числитель на множители. Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. По теореме Виета, $x_1 + x_2 = 4$ и $x_1 \cdot x_2 = -5$. Корни: $x_1 = 5$ и $x_2 = -1$.
Таким образом, $x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1)$.
$y = \frac{(x - 5)(x + 1)}{x + 1}$
При условии $x \neq -1$ сокращаем дробь:
$y = x - 5$.
3. Графиком функции $y = x - 5$ является прямая. Для построения можно взять точки $(0, -5)$ и $(5, 0)$.
4. Исходная функция не определена в точке $x = -1$. Найдем координаты выколотой точки на графике:
$y = -1 - 5 = -6$.
Точка с координатами $(-1, -6)$ не принадлежит графику.

Ответ: Графиком функции является прямая $y = x - 5$ с выколотой точкой $(-1, -6)$.

г) $y = \frac{x^4 - 1}{x^2 - 1}$
1. Найдем область определения. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - 1 \neq 0$.
$(x - 1)(x + 1) \neq 0$.
Отсюда $x \neq 1$ и $x \neq -1$.
2. Упростим функцию. Числитель $x^4 - 1$ можно разложить как разность квадратов: $(x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1)$.
$y = \frac{(x^2 - 1)(x^2 + 1)}{x^2 - 1}$
При условии $x \neq \pm 1$ сокращаем дробь:
$y = x^2 + 1$.
3. Графиком функции $y = x^2 + 1$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Это стандартная парабола $y=x^2$, смещенная на 1 единицу вверх по оси OY. Вершина параболы находится в точке $(0, 1)$.
4. Исходная функция не определена в точках $x = 1$ и $x = -1$. Найдем координаты выколотых точек на параболе:
При $x = 1$: $y = 1^2 + 1 = 2$. Выколотая точка $(1, 2)$.
При $x = -1$: $y = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2$. Выколотая точка $(-1, 2)$.

Ответ: Графиком функции является парабола $y = x^2 + 1$ с выколотыми точками $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.

377 а) $y = (\sqrt{x})^2$;

б) $y = \sqrt{x^2}$;

В) $y = (\sqrt{x-1})^2$

а) $y = (\sqrt{x})^2$

Для данной функции необходимо сначала определить область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным, то есть $x \ge 0$.

На этой области определения, по определению арифметического квадратного корня, $(\sqrt{x})^2 = x$.

Таким образом, функция $y = (\sqrt{x})^2$ тождественно равна функции $y=x$ при условии $x \ge 0$. Ее график — это луч, выходящий из начала координат под углом 45 градусов к положительному направлению оси Ох.

Ответ: $y = x$ при $x \ge 0$.

б) $y = \sqrt{x^2}$

Найдем область определения функции. Выражение под корнем $x^2$ всегда неотрицательно ($x^2 \ge 0$) для любого действительного значения $x$. Следовательно, область определения функции — все действительные числа, $x \in (-\infty; +\infty)$.

По свойству арифметического квадратного корня, $\sqrt{a^2} = |a|$. Применив это свойство к нашей функции, получаем:

$y = \sqrt{x^2} = |x|$

Функция $y = |x|$ (модуль $x$) эквивалентна системе:

$y = \begin{cases} x, & \text{если } x \ge 0 \\ -x, & \text{если } x < 0 \end{cases}$

График этой функции состоит из двух лучей, исходящих из начала координат: биссектрисы первого и второго координатных углов.

Ответ: $y = |x|$.

в) $y = (\sqrt{x-1})^2$

Область определения функции находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $x-1 \ge 0$, откуда следует $x \ge 1$.

Для всех $x$ из области определения ($x \ge 1$) справедливо равенство $(\sqrt{x-1})^2 = x-1$.

Таким образом, функция $y = (\sqrt{x-1})^2$ эквивалентна функции $y = x-1$ при условии $x \ge 1$. Графиком является луч, начинающийся в точке $(1, 0)$ и идущий вправо-вверх параллельно прямой $y=x$.

Ответ: $y = x-1$ при $x \ge 1$.