Страница 150 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

349 Выполните подстановку $a = \frac{xy}{x+y}$, $b = \frac{xy}{x-y}$ в данное выражение

и упростите его:

а) $a + b$;

б) $a - b$;

в) $ab$;

г) $\frac{a}{b}$;

д) $\frac{ab}{a+b}$;

е) $\frac{a-b}{ab}$.

а) $a + b$

Подставим значения $a$ и $b$ в выражение и приведем дроби к общему знаменателю $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:

$a + b = \frac{xy}{x+y} + \frac{xy}{x-y} = \frac{xy(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{xy(x+y)}{(x+y)(x-y)}$

Сложим числители:

$\frac{xy(x-y) + xy(x+y)}{x^2 - y^2} = \frac{x^2y - xy^2 + x^2y + xy^2}{x^2 - y^2}$

Упростим числитель, приведя подобные слагаемые:

$\frac{2x^2y}{x^2 - y^2}$

Ответ: $\frac{2x^2y}{x^2 - y^2}$

б) $a - b$

Подставим значения $a$ и $b$ в выражение и приведем дроби к общему знаменателю:

$a - b = \frac{xy}{x+y} - \frac{xy}{x-y} = \frac{xy(x-y) - xy(x+y)}{x^2 - y^2}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{x^2y - xy^2 - (x^2y + xy^2)}{x^2 - y^2} = \frac{x^2y - xy^2 - x^2y - xy^2}{x^2 - y^2}$

Упростим числитель:

$\frac{-2xy^2}{x^2 - y^2}$

Ответ: $\frac{-2xy^2}{x^2 - y^2}$

в) $ab$

Подставим значения $a$ и $b$ и перемножим их:

$ab = \frac{xy}{x+y} \cdot \frac{xy}{x-y} = \frac{(xy)(xy)}{(x+y)(x-y)}$

Упростим полученное выражение:

$\frac{x^2y^2}{x^2 - y^2}$

Ответ: $\frac{x^2y^2}{x^2 - y^2}$

г) $\frac{a}{b}$

Подставим значения $a$ и $b$ и выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{a}{b} = \frac{\frac{xy}{x+y}}{\frac{xy}{x-y}} = \frac{xy}{x+y} \cdot \frac{x-y}{xy}$

Сократим общие множители $xy$ в числителе и знаменателе:

$\frac{x-y}{x+y}$

Ответ: $\frac{x-y}{x+y}$

д) $\frac{ab}{a+b}$

Для упрощения этого выражения удобно сначала преобразовать его, разделив числитель и знаменатель на $ab$:

$\frac{ab}{a+b} = \frac{1}{\frac{a+b}{ab}} = \frac{1}{\frac{a}{ab} + \frac{b}{ab}} = \frac{1}{\frac{1}{b} + \frac{1}{a}}$

Найдем выражения для $\frac{1}{a}$ и $\frac{1}{b}$:

$\frac{1}{a} = \frac{1}{\frac{xy}{x+y}} = \frac{x+y}{xy}$

$\frac{1}{b} = \frac{1}{\frac{xy}{x-y}} = \frac{x-y}{xy}$

Подставим их в преобразованное выражение:

$\frac{1}{\frac{x-y}{xy} + \frac{x+y}{xy}} = \frac{1}{\frac{x-y+x+y}{xy}} = \frac{1}{\frac{2x}{xy}}$

Сократим $x$ в знаменателе и упростим:

$\frac{1}{\frac{2}{y}} = \frac{y}{2}$

Ответ: $\frac{y}{2}$

е) $\frac{a-b}{ab}$

Преобразуем выражение, разделив его на две дроби:

$\frac{a-b}{ab} = \frac{a}{ab} - \frac{b}{ab} = \frac{1}{b} - \frac{1}{a}$

Используем найденные в предыдущем пункте $\frac{1}{a} = \frac{x+y}{xy}$ и $\frac{1}{b} = \frac{x-y}{xy}$:

$\frac{1}{b} - \frac{1}{a} = \frac{x-y}{xy} - \frac{x+y}{xy} = \frac{(x-y) - (x+y)}{xy}$

Раскроем скобки в числителе и упростим:

$\frac{x-y-x-y}{xy} = \frac{-2y}{xy}$

Сократим общий множитель $y$:

$-\frac{2}{x}$

Ответ: $-\frac{2}{x}$

350 a) $\left(\frac{z}{x-z} + \frac{x+z}{z}\right) : \frac{x}{x^2-z^2};$

B) $\frac{2}{3-a} + \frac{a^2-4}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{a-2};$

б) $\frac{16-m^2}{16m^2} \cdot \left(\frac{m-4}{m+4} - \frac{m+4}{m-4}\right);$

Г) $\frac{ab}{a^2-b^2} : \frac{ab}{a+b} - \frac{b}{a^2-b^2}.$

а) Решим выражение $ \left( \frac{z}{x-z} + \frac{x+z}{z} \right) : \frac{x}{x^2 - z^2} $.

1. Сначала выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю $z(x-z)$.

$ \frac{z}{x-z} + \frac{x+z}{z} = \frac{z \cdot z}{(x-z)z} + \frac{(x+z)(x-z)}{z(x-z)} = \frac{z^2 + (x^2 - z^2)}{z(x-z)} = \frac{z^2 + x^2 - z^2}{z(x-z)} = \frac{x^2}{z(x-z)} $

2. Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Также разложим знаменатель делителя по формуле разности квадратов: $x^2 - z^2 = (x-z)(x+z)$.

$ \frac{x^2}{z(x-z)} : \frac{x}{x^2 - z^2} = \frac{x^2}{z(x-z)} \cdot \frac{x^2 - z^2}{x} = \frac{x^2}{z(x-z)} \cdot \frac{(x-z)(x+z)}{x} $

3. Сократим общие множители $x$ и $(x-z)$ в числителе и знаменателе.

$ \frac{x \cdot x \cdot (x-z)(x+z)}{z(x-z) \cdot x} = \frac{x(x+z)}{z} $

Ответ: $ \frac{x(x+z)}{z} $.

б) Решим выражение $ \frac{16-m^2}{16m^2} \cdot \left( \frac{m-4}{m+4} - \frac{m+4}{m-4} \right) $.

1. Упростим выражение в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(m+4)(m-4) = m^2-16$.

$ \frac{m-4}{m+4} - \frac{m+4}{m-4} = \frac{(m-4)^2}{(m+4)(m-4)} - \frac{(m+4)^2}{(m+4)(m-4)} = \frac{(m-4)^2 - (m+4)^2}{m^2-16} $

2. Раскроем квадраты в числителе по формулам сокращенного умножения: $(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2$ и $(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2$.

$ \frac{(m^2 - 8m + 16) - (m^2 + 8m + 16)}{m^2 - 16} = \frac{m^2 - 8m + 16 - m^2 - 8m - 16}{m^2 - 16} = \frac{-16m}{m^2 - 16} $

3. Теперь выполним умножение. Представим $16-m^2$ как $-(m^2-16)$.

$ \frac{16-m^2}{16m^2} \cdot \frac{-16m}{m^2 - 16} = \frac{-(m^2 - 16)}{16m^2} \cdot \frac{-16m}{m^2 - 16} $

4. Сократим общие множители $(m^2-16)$, $16$ и $m$.

$ \frac{-(m^2-16) \cdot (-16m)}{16m^2 \cdot (m^2-16)} = \frac{-1 \cdot (-1)}{m} = \frac{1}{m} $

Ответ: $ \frac{1}{m} $.

в) Решим выражение $ \frac{2}{3-a} + \frac{a^2-4}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{a-2} $.

1. По порядку действий сначала выполняем умножение. Разложим числители и знаменатели дробей на множители по формуле разности квадратов: $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

$ \frac{a^2-4}{a^2-9} \cdot \frac{a+3}{a-2} = \frac{(a-2)(a+2)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{a-2} $

2. Сократим общие множители $(a-2)$ и $(a+3)$.

$ \frac{(a-2)(a+2)(a+3)}{(a-3)(a+3)(a-2)} = \frac{a+2}{a-3} $

3. Теперь выполним сложение. Заметим, что знаменатель первой дроби $3-a = -(a-3)$.

$ \frac{2}{3-a} + \frac{a+2}{a-3} = \frac{2}{-(a-3)} + \frac{a+2}{a-3} = -\frac{2}{a-3} + \frac{a+2}{a-3} $

4. Так как знаменатели одинаковы, сложим числители.

$ \frac{-2 + a + 2}{a-3} = \frac{a}{a-3} $

Ответ: $ \frac{a}{a-3} $.

г) Решим выражение $ \frac{ab}{a^2-b^2} : \frac{ab}{a+b} - \frac{b}{a^2-b^2} $.

1. Согласно порядку действий, сначала выполняем деление. Заменим деление на умножение на обратную дробь и разложим знаменатель первой дроби на множители.

$ \frac{ab}{a^2-b^2} : \frac{ab}{a+b} = \frac{ab}{(a-b)(a+b)} \cdot \frac{a+b}{ab} $

2. Сократим общие множители $ab$ и $(a+b)$.

$ \frac{ab \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b) \cdot ab} = \frac{1}{a-b} $

3. Теперь выполним вычитание, подставив результат деления в исходное выражение.

$ \frac{1}{a-b} - \frac{b}{a^2-b^2} $

4. Приведем дроби к общему знаменателю $(a-b)(a+b)$, который равен $a^2-b^2$.

$ \frac{1 \cdot (a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{b}{(a-b)(a+b)} = \frac{a+b-b}{(a-b)(a+b)} $

5. Упростим числитель и запишем окончательный результат.

$ \frac{a}{(a-b)(a+b)} = \frac{a}{a^2-b^2} $

Ответ: $ \frac{a}{a^2-b^2} $.

351 a) $(\frac{2}{a} + \frac{a}{2} - 2) \cdot \frac{a}{6a - 12}$;

б) $(\frac{m}{n} + \frac{n}{m} + 2) : (m + 2n + \frac{n^2}{m});

в) $(\frac{p}{q} - \frac{q}{p}) \cdot (\frac{p}{p - q} - \frac{p}{p + q});

г) $(y - \frac{y^2}{y + 1}) : (y - \frac{y}{y + 1}).

а) Для решения этого примера сначала выполним действия в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $2a$.
$\frac{2}{a} + \frac{a}{2} - 2 = \frac{2 \cdot 2}{2a} + \frac{a \cdot a}{2a} - \frac{2 \cdot 2a}{2a} = \frac{4 + a^2 - 4a}{2a}$.
В числителе получилась формула квадрата разности: $a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$.
Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{(a-2)^2}{2a}$.
Теперь упростим вторую дробь, вынеся в знаменателе общий множитель за скобки:
$\frac{a}{6a - 12} = \frac{a}{6(a-2)}$.
Теперь выполним умножение полученных выражений:
$\frac{(a-2)^2}{2a} \cdot \frac{a}{6(a-2)}$.
Сократим общие множители $a$ и $(a-2)$:
$\frac{(a-2)^{\cancel{2}}}{2\cancel{a}} \cdot \frac{\cancel{a}}{6\cancel{(a-2)}} = \frac{a-2}{2 \cdot 6} = \frac{a-2}{12}$.
Ответ: $\frac{a-2}{12}$.

б) Сначала упростим выражение в первых скобках, приведя его к общему знаменателю $mn$:
$\frac{m}{n} + \frac{n}{m} + 2 = \frac{m \cdot m}{mn} + \frac{n \cdot n}{mn} + \frac{2 \cdot mn}{mn} = \frac{m^2 + n^2 + 2mn}{mn}$.
В числителе получилась формула квадрата суммы: $m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2$.
Таким образом, первая скобка равна $\frac{(m+n)^2}{mn}$.
Теперь упростим выражение во вторых скобках, приведя его к общему знаменателю $m$:
$m + 2n + \frac{n^2}{m} = \frac{m \cdot m}{m} + \frac{2n \cdot m}{m} + \frac{n^2}{m} = \frac{m^2 + 2mn + n^2}{m} = \frac{(m+n)^2}{m}$.
Теперь выполним деление. Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь:
$\frac{(m+n)^2}{mn} : \frac{(m+n)^2}{m} = \frac{(m+n)^2}{mn} \cdot \frac{m}{(m+n)^2}$.
Сократим общие множители $(m+n)^2$ и $m$:
$\frac{\cancel{(m+n)^2}}{\cancel{m}n} \cdot \frac{\cancel{m}}{\cancel{(m+n)^2}} = \frac{1}{n}$.
Ответ: $\frac{1}{n}$.

в) Упростим выражение в каждой из скобок.
Первая скобка. Общий знаменатель $pq$:
$\frac{p}{q} - \frac{q}{p} = \frac{p^2 - q^2}{pq}$. В числителе формула разности квадратов: $\frac{(p-q)(p+q)}{pq}$.
Вторая скобка. Общий знаменатель $(p-q)(p+q)$:
$\frac{p}{p-q} - \frac{p}{p+q} = \frac{p(p+q) - p(p-q)}{(p-q)(p+q)} = \frac{p^2+pq - p^2+pq}{(p-q)(p+q)} = \frac{2pq}{(p-q)(p+q)}$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$\frac{(p-q)(p+q)}{pq} \cdot \frac{2pq}{(p-q)(p+q)}$.
Сократим общие множители $(p-q)$, $(p+q)$ и $pq$:
$\frac{\cancel{(p-q)(p+q)}}{\cancel{pq}} \cdot \frac{2\cancel{pq}}{\cancel{(p-q)(p+q)}} = 2$.
Ответ: $2$.

г) Упростим поочередно выражения в скобках.
Первая скобка. Общий знаменатель $(y+1)$:
$y - \frac{y^2}{y+1} = \frac{y(y+1) - y^2}{y+1} = \frac{y^2+y-y^2}{y+1} = \frac{y}{y+1}$.
Вторая скобка. Общий знаменатель $(y+1)$:
$y - \frac{y}{y+1} = \frac{y(y+1) - y}{y+1} = \frac{y^2+y-y}{y+1} = \frac{y^2}{y+1}$.
Теперь выполним деление полученных дробей:
$\frac{y}{y+1} : \frac{y^2}{y+1} = \frac{y}{y+1} \cdot \frac{y+1}{y^2}$.
Сократим общие множители $(y+1)$ и $y$:
$\frac{\cancel{y}}{\cancel{y+1}} \cdot \frac{\cancel{y+1}}{y^{\cancel{2}}} = \frac{1}{y}$.
Ответ: $\frac{1}{y}$.

352 a) $ \frac{6}{x^2+x-2} + \frac{2}{x+2} $

б) $ \frac{1}{y+3} + \frac{2}{y^2+4y+3} $

а) Чтобы сложить дроби $ \frac{6}{x^2+x-2} + \frac{2}{x+2} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого сначала разложим на множители знаменатель первой дроби.

1. Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2+x-2$. Найдем корни уравнения $x^2+x-2=0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -2. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Тогда разложение на множители имеет вид: $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$.

2. Теперь исходное выражение можно записать так:

$ \frac{6}{(x-1)(x+2)} + \frac{2}{x+2} $

3. Общим знаменателем для этих дробей является выражение $(x-1)(x+2)$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на недостающий множитель $(x-1)$:

$ \frac{6}{(x-1)(x+2)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+2)} $

4. Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$ \frac{6 + 2(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{6 + 2x - 2}{(x-1)(x+2)} = \frac{2x+4}{(x-1)(x+2)} $

5. Упростим полученное выражение. В числителе можно вынести за скобки общий множитель 2:

$ \frac{2(x+2)}{(x-1)(x+2)} $

6. Сократим дробь на общий множитель $(x+2)$:

$ \frac{2}{x-1} $

Ответ: $ \frac{2}{x-1} $.

б) Чтобы сложить дроби $ \frac{1}{y+3} + \frac{2}{y^2+4y+3} $, приведем их к общему знаменателю.

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби $y^2+4y+3$. Найдем корни уравнения $y^2+4y+3=0$. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения: $y_1 = -1$ и $y_2 = -3$.
Тогда разложение на множители имеет вид: $y^2+4y+3 = (y+1)(y+3)$.

2. Перепишем исходное выражение с разложенным знаменателем:

$ \frac{1}{y+3} + \frac{2}{(y+1)(y+3)} $

3. Общий знаменатель дробей — $(y+1)(y+3)$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $(y+1)$:

$ \frac{1(y+1)}{(y+1)(y+3)} + \frac{2}{(y+1)(y+3)} $

4. Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{y+1+2}{(y+1)(y+3)} = \frac{y+3}{(y+1)(y+3)} $

5. Сократим полученную дробь на общий множитель $(y+3)$:

$ \frac{1}{y+1} $

Ответ: $ \frac{1}{y+1} $.

353 Вычислите значение выражения при заданных значениях переменных (если оно имеет смысл):

а) $\frac{a^2 + 4}{a^2 - 4} \cdot \frac{a}{a + 2}$ при $a = \frac{2}{3}$; $-4$; $2$;

б) $\frac{c^2 - 25}{10c} \cdot \frac{c}{c - 5}$ при $c = 2,5$; $0$; $-37$;

в) $\frac{m}{m - n} \cdot \left(\frac{m - n}{m} - 1\right)$ при $m = \frac{1}{4}$ и $n = \frac{1}{2}$; $m = -15$ и $n = -18$; $m = 0$ и $n = 10$; $m = 10$ и $n = 0$;

г) $\left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right) \cdot \frac{xy}{x - y}$ при $x = 12$ и $y = -15$; $x = -\frac{2}{3}$ и $y = \frac{5}{6}$; $x = 0$ и $y = 22$; $x = 5$ и $y = 5$.

а) Сначала упростим выражение:
$\frac{a^2+4}{a^2-4} - \frac{a}{a+2} = \frac{a^2+4}{(a-2)(a+2)} - \frac{a(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+4 - a(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+4-a^2+2a}{(a-2)(a+2)} = \frac{2a+4}{(a-2)(a+2)} = \frac{2(a+2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{2}{a-2}$.
Выражение имеет смысл (определено) при $a^2-4 \neq 0$ и $a+2 \neq 0$, то есть при $a \neq 2$ и $a \neq -2$.
Теперь вычислим значение выражения для каждого заданного значения $a$:

При $a = \frac{2}{3}$:
$\frac{2}{a-2} = \frac{2}{\frac{2}{3}-2} = \frac{2}{\frac{2-6}{3}} = \frac{2}{-\frac{4}{3}} = 2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{6}{4} = -1,5$.
Ответ: -1,5.

При $a = -4$:
$\frac{2}{a-2} = \frac{2}{-4-2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

При $a = 2$:
выражение не имеет смысла, так как знаменатель $a^2-4$ обращается в ноль, что приводит к делению на ноль.
Ответ: выражение не имеет смысла.

б) Сначала упростим выражение:
$\frac{c^2-25}{10c} \cdot \frac{c}{c-5} = \frac{(c-5)(c+5)}{10c} \cdot \frac{c}{c-5}$.
Сокращаем общие множители $c$ и $(c-5)$, при условии, что $c \neq 0$ и $c-5 \neq 0$ (т.е. $c \neq 5$).
Упрощенное выражение: $\frac{c+5}{10}$.
Теперь вычислим значение выражения для каждого заданного значения $c$:

При $c = 2,5$:
$\frac{c+5}{10} = \frac{2,5+5}{10} = \frac{7,5}{10} = 0,75$.
Ответ: 0,75.

При $c = 0$:
выражение не имеет смысла, так как знаменатель $10c$ в исходном выражении обращается в ноль.
Ответ: выражение не имеет смысла.

При $c = -37$:
$\frac{c+5}{10} = \frac{-37+5}{10} = \frac{-32}{10} = -3,2$.
Ответ: -3,2.

в) Сначала упростим выражение:
$\frac{m}{m-n} \cdot \left(\frac{m-n}{m} - 1\right) = \frac{m}{m-n} \cdot \left(\frac{m-n}{m} - \frac{m}{m}\right) = \frac{m}{m-n} \cdot \frac{m-n-m}{m} = \frac{m}{m-n} \cdot \frac{-n}{m}$.
Сокращаем общий множитель $m$, при условии, что $m \neq 0$. Также $m-n \neq 0$ (т.е. $m \neq n$).
Упрощенное выражение: $\frac{-n}{m-n}$.
Теперь вычислим значение выражения для каждой пары значений $m$ и $n$:

При $m = \frac{1}{4}$ и $n = \frac{1}{2}$:
$\frac{-n}{m-n} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1-2}{4}} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.
Ответ: 2.

При $m = -15$ и $n = -18$:
$\frac{-n}{m-n} = \frac{-(-18)}{-15 - (-18)} = \frac{18}{-15+18} = \frac{18}{3} = 6$.
Ответ: 6.

При $m = 0$ и $n = 10$:
выражение не имеет смысла, так как в исходном выражении происходит деление на $m=0$.
Ответ: выражение не имеет смысла.

При $m = 10$ и $n = 0$:
$\frac{-n}{m-n} = \frac{-0}{10-0} = \frac{0}{10} = 0$.
Ответ: 0.

г) Сначала упростим выражение:
$\left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right) \cdot \frac{xy}{x-y} = \left(\frac{x^2-y^2}{xy}\right) \cdot \frac{xy}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy} \cdot \frac{xy}{x-y}$.
Выражение имеет смысл при $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x \neq y$. При этих условиях сокращаем общие множители $xy$ и $(x-y)$.
Упрощенное выражение: $x+y$.
Теперь вычислим значение выражения для каждой пары значений $x$ и $y$:

При $x = 12$ и $y = -15$:
$x+y = 12 + (-15) = -3$.
Ответ: -3.

При $x = -\frac{2}{3}$ и $y = \frac{5}{6}$:
$x+y = -\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

При $x = 0$ и $y = 22$:
выражение не имеет смысла, так как в исходном выражении происходит деление на $x=0$ в дроби $\frac{y}{x}$.
Ответ: выражение не имеет смысла.

При $x = 5$ и $y = 5$:
выражение не имеет смысла, так как в исходном выражении знаменатель $x-y$ обращается в ноль ($5-5=0$).
Ответ: выражение не имеет смысла.