Страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Сократите дробь (365–367).

365 a) $ \frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9a + 20} $;

б) $ \frac{c^2 - 5c - 14}{c^2 - 6c - 7} $;

в) $ \frac{4x^2y + 3xy^2 - 6x^2y^2}{12xy} $;

г) $ \frac{a^3x - b^3x}{2ax - 2bx} $;

д) $ \frac{2x^2 - 10x + 12}{3x - 6} $;

е) $ \frac{x^2 - 3x - 10}{20 - 4x} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9a + 20}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель $a^2 - 4a - 5$. Найдем корни квадратного уравнения $a^2 - 4a - 5 = 0$.
Используем теорему Виета: сумма корней $a_1 + a_2 = 4$, произведение корней $a_1 \cdot a_2 = -5$. Корнями являются числа 5 и -1.
Таким образом, разложение на множители имеет вид: $a^2 - 4a - 5 = (a - 5)(a - (-1)) = (a - 5)(a + 1)$.

2. Разложим знаменатель $a^2 - 9a + 20$. Найдем корни квадратного уравнения $a^2 - 9a + 20 = 0$.
Используем теорему Виета: сумма корней $a_1 + a_2 = 9$, произведение корней $a_1 \cdot a_2 = 20$. Корнями являются числа 4 и 5.
Таким образом, разложение на множители имеет вид: $a^2 - 9a + 20 = (a - 4)(a - 5)$.

3. Подставим разложения в исходную дробь и сократим:
$\frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9a + 20} = \frac{(a - 5)(a + 1)}{(a - 4)(a - 5)} = \frac{\cancel{(a - 5)}(a + 1)}{(a - 4)\cancel{(a - 5)}} = \frac{a + 1}{a - 4}$.
Сокращение возможно при условии $a - 5 \neq 0$, то есть $a \neq 5$.

Ответ: $\frac{a + 1}{a - 4}$.

б) Сократим дробь $\frac{c^2 - 5c - 14}{c^2 - 6c - 7}$.

1. Разложим на множители числитель $c^2 - 5c - 14$. Решим уравнение $c^2 - 5c - 14 = 0$.
По теореме Виета: $c_1 + c_2 = 5$, $c_1 \cdot c_2 = -14$. Корни: $c_1 = 7$, $c_2 = -2$.
Разложение: $c^2 - 5c - 14 = (c - 7)(c + 2)$.

2. Разложим на множители знаменатель $c^2 - 6c - 7$. Решим уравнение $c^2 - 6c - 7 = 0$.
По теореме Виета: $c_1 + c_2 = 6$, $c_1 \cdot c_2 = -7$. Корни: $c_1 = 7$, $c_2 = -1$.
Разложение: $c^2 - 6c - 7 = (c - 7)(c + 1)$.

3. Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{c^2 - 5c - 14}{c^2 - 6c - 7} = \frac{(c - 7)(c + 2)}{(c - 7)(c + 1)} = \frac{\cancel{(c - 7)}(c + 2)}{\cancel{(c - 7)}(c + 1)} = \frac{c + 2}{c + 1}$.
Сокращение возможно при условии $c - 7 \neq 0$, то есть $c \neq 7$.

Ответ: $\frac{c + 2}{c + 1}$.

в) Сократим дробь $\frac{4x^2y + 3xy^2 - 6x^2y^2}{12xy}$.

1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $xy$:
$4x^2y + 3xy^2 - 6x^2y^2 = xy(4x + 3y - 6xy)$.

2. Подставим в дробь и сократим:
$\frac{xy(4x + 3y - 6xy)}{12xy} = \frac{\cancel{xy}(4x + 3y - 6xy)}{12\cancel{xy}} = \frac{4x + 3y - 6xy}{12}$.
Сокращение возможно при условии $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Ответ: $\frac{4x + 3y - 6xy}{12}$.

г) Сократим дробь $\frac{a^3x - b^3x}{2ax - 2bx}$.

1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $x$ и применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$a^3x - b^3x = x(a^3 - b^3) = x(a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $2x$:
$2ax - 2bx = 2x(a - b)$.

3. Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{a^3x - b^3x}{2ax - 2bx} = \frac{x(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{2x(a - b)} = \frac{\cancel{x}\cancel{(a - b)}(a^2 + ab + b^2)}{2\cancel{x}\cancel{(a - b)}} = \frac{a^2 + ab + b^2}{2}$.
Сокращение возможно при условии $x \neq 0$ и $a \neq b$.

Ответ: $\frac{a^2 + ab + b^2}{2}$.

д) Сократим дробь $\frac{2x^2 - 10x + 12}{3x - 6}$.

1. В числителе вынесем за скобки 2 и разложим полученный квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ по теореме Виета равны 2 и 3.
$2x^2 - 10x + 12 = 2(x^2 - 5x + 6) = 2(x - 2)(x - 3)$.

2. В знаменателе вынесем за скобки 3:
$3x - 6 = 3(x - 2)$.

3. Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{2x^2 - 10x + 12}{3x - 6} = \frac{2(x - 2)(x - 3)}{3(x - 2)} = \frac{2\cancel{(x - 2)}(x - 3)}{3\cancel{(x - 2)}} = \frac{2(x - 3)}{3}$.
Сокращение возможно при условии $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Ответ: $\frac{2(x - 3)}{3}$.

е) Сократим дробь $\frac{x^2 - 3x - 10}{20 - 4x}$.

1. Разложим на множители числитель $x^2 - 3x - 10$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$ по теореме Виета равны 5 и -2.
$x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x - (-2)) = (x - 5)(x + 2)$.

2. В знаменателе вынесем за скобки -4, чтобы получить выражение $(x-5)$:
$20 - 4x = -4(x - 5)$.

3. Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{x^2 - 3x - 10}{20 - 4x} = \frac{(x - 5)(x + 2)}{-4(x - 5)} = \frac{\cancel{(x - 5)}(x + 2)}{-4\cancel{(x - 5)}} = -\frac{x + 2}{4}$.
Сокращение возможно при условии $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.

Ответ: $-\frac{x + 2}{4}$.

366 а) $\frac{1-3x}{9x^2+12x-5}$;

б) $\frac{2x^2+5x}{15+x-2x^2}$;

в) $\frac{5a^2-10a+2b-ab}{2+3a-2a^2}$;

г) $\frac{y-x-3y^2+3xy}{3y^2+8y-3}$;

д) $\frac{8-x^3}{3x^2-8x+4}$;

е) $\frac{x^3+27}{6-13x-5x^2}$.

а) $\frac{1 - 3x}{9x^2 + 12x - 5}$

Чтобы сократить дробь, необходимо разложить числитель и знаменатель на множители.

Разложим числитель: $1 - 3x = -(3x - 1)$.

Разложим знаменатель $9x^2 + 12x - 5$. Для этого решим квадратное уравнение $9x^2 + 12x - 5 = 0$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 12^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-5) = 144 + 180 = 324$.
Найдем корни: $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 + 18}{18} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3}$; $x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-12 - 18}{18} = \frac{-30}{18} = -\frac{5}{3}$.
Таким образом, разложение знаменателя на множители: $9(x - \frac{1}{3})(x + \frac{5}{3}) = (3x - 1)(3x + 5)$.

Подставим полученные выражения в исходную дробь:
$\frac{-(3x - 1)}{(3x - 1)(3x + 5)}$

Сократим общий множитель $(3x - 1)$: $\frac{-1}{3x + 5}$.

Ответ: $-\frac{1}{3x + 5}$.

б) $\frac{2x^2 + 5x}{15 + x - 2x^2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $2x^2 + 5x = x(2x + 5)$.

Знаменатель: $15 + x - 2x^2 = -(2x^2 - x - 15)$. Решим уравнение $2x^2 - x - 15 = 0$.
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-15) = 1 + 120 = 121$.
$x_1 = \frac{1 + 11}{4} = 3$; $x_2 = \frac{1 - 11}{4} = -\frac{5}{2}$.
Разложение $2x^2 - x - 15$ имеет вид $2(x - 3)(x + \frac{5}{2}) = (x - 3)(2x + 5)$.
Следовательно, знаменатель $15 + x - 2x^2 = -(x-3)(2x+5) = (3-x)(2x+5)$.

Подставим в дробь:
$\frac{x(2x + 5)}{(3 - x)(2x + 5)}$

Сократим общий множитель $(2x + 5)$: $\frac{x}{3 - x}$.

Ответ: $\frac{x}{3 - x}$.

в) $\frac{5a^2 - 10a + 2b - ab}{2 + 3a - 2a^2}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $5a^2 - 10a + 2b - ab$. Сгруппируем слагаемые: $(5a^2 - 10a) - (ab - 2b) = 5a(a - 2) - b(a - 2) = (a - 2)(5a - b)$.

Знаменатель: $2 + 3a - 2a^2 = -(2a^2 - 3a - 2)$. Решим уравнение $2a^2 - 3a - 2 = 0$.
$D = (-3)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25$.
$a_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2$; $a_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2}$.
Разложение $2a^2 - 3a - 2$ имеет вид $2(a - 2)(a + \frac{1}{2}) = (a - 2)(2a + 1)$.
Следовательно, знаменатель $2 + 3a - 2a^2 = -(a - 2)(2a + 1) = (2 - a)(2a + 1)$.

Подставим в дробь:
$\frac{(a - 2)(5a - b)}{(2 - a)(2a + 1)} = \frac{-(2 - a)(5a - b)}{(2 - a)(2a + 1)}$

Сократим $(2 - a)$: $\frac{-(5a - b)}{2a + 1} = \frac{b - 5a}{2a + 1}$.

Ответ: $\frac{b - 5a}{2a + 1}$.

г) $\frac{y - x - 3y^2 + 3xy}{3y^2 + 8y - 3}$

Разложим на множители числитель и знаменатель.

Числитель: $y - x - 3y^2 + 3xy$. Сгруппируем: $(y - x) + (3xy - 3y^2) = (y - x) + 3y(x - y) = (y - x) - 3y(y - x) = (y - x)(1 - 3y)$.

Знаменатель: $3y^2 + 8y - 3$. Решим уравнение $3y^2 + 8y - 3 = 0$.
$D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100$.
$y_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{1}{3}$; $y_2 = \frac{-8 - 10}{6} = -3$.
Разложение знаменателя: $3(y - \frac{1}{3})(y + 3) = (3y - 1)(y + 3)$.

Подставим в дробь:
$\frac{(y - x)(1 - 3y)}{(3y - 1)(y + 3)} = \frac{(y - x) \cdot (-(3y - 1))}{(3y - 1)(y + 3)}$

Сократим $(3y - 1)$: $\frac{-(y - x)}{y + 3} = \frac{x - y}{y + 3}$.

Ответ: $\frac{x - y}{y + 3}$.

д) $\frac{8 - x^3}{3x^2 - 8x + 4}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $8 - x^3 = 2^3 - x^3$. По формуле разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ получаем: $(2 - x)(4 + 2x + x^2)$.

Знаменатель: $3x^2 - 8x + 4$. Решим уравнение $3x^2 - 8x + 4 = 0$.
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 4 = 64 - 48 = 16$.
$x_1 = \frac{8 + 4}{6} = 2$; $x_2 = \frac{8 - 4}{6} = \frac{2}{3}$.
Разложение знаменателя: $3(x - 2)(x - \frac{2}{3}) = (x - 2)(3x - 2)$.

Подставим в дробь:
$\frac{(2 - x)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(3x - 2)} = \frac{-(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 2)(3x - 2)}$

Сократим $(x - 2)$: $\frac{-(x^2 + 2x + 4)}{3x - 2}$.

Ответ: $-\frac{x^2 + 2x + 4}{3x - 2}$.

е) $\frac{x^3 + 27}{6 - 13x - 5x^2}$

Разложим числитель и знаменатель на множители.

Числитель: $x^3 + 27 = x^3 + 3^3$. По формуле суммы кубов $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ получаем: $(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.

Знаменатель: $6 - 13x - 5x^2 = -(5x^2 + 13x - 6)$. Решим уравнение $5x^2 + 13x - 6 = 0$.
$D = 13^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 169 + 120 = 289$.
$x_1 = \frac{-13 + 17}{10} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$; $x_2 = \frac{-13 - 17}{10} = -3$.
Разложение $5x^2 + 13x - 6$ имеет вид $5(x - \frac{2}{5})(x + 3) = (5x - 2)(x + 3)$.
Следовательно, знаменатель $6 - 13x - 5x^2 = -(5x - 2)(x + 3) = (2 - 5x)(x + 3)$.

Подставим в дробь:
$\frac{(x + 3)(x^2 - 3x + 9)}{(2 - 5x)(x + 3)}$

Сократим общий множитель $(x + 3)$: $\frac{x^2 - 3x + 9}{2 - 5x}$.

Ответ: $\frac{x^2 - 3x + 9}{2 - 5x}$.

367 a) $\frac{m^2 - 12mn + 35n^2}{m^2 - 25n^2}$;

б) $\frac{a^2 - 7ab + 6b^2}{a^2 - 2ab + b^2}$;

В) $\frac{4y^2 - x^2}{x^2 - 7xy + 10y^2}$;

Г) $\frac{15p^2 - 8pq + q^2}{5pq - q^2}$.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{m^2 - 12mn + 35n^2}{m^2 - 25n^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $m^2 - 12mn + 35n^2$ является квадратным трёхчленом относительно переменной $m$. Найдём два выражения, произведение которых равно $35n^2$, а сумма равна $-12n$. Это $-5n$ и $-7n$. Таким образом, числитель раскладывается на множители: $m^2 - 12mn + 35n^2 = (m - 5n)(m - 7n)$.
Знаменатель $m^2 - 25n^2$ является разностью квадратов: $m^2 - (5n)^2$. Используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $m^2 - 25n^2 = (m - 5n)(m + 5n)$.
Теперь подставим разложенные выражения обратно в дробь:
$\frac{(m - 5n)(m - 7n)}{(m - 5n)(m + 5n)}$
Сократим общий множитель $(m - 5n)$:
$\frac{m - 7n}{m + 5n}$
Ответ: $\frac{m - 7n}{m + 5n}$

б) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 7ab + 6b^2}{a^2 - 2ab + b^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $a^2 - 7ab + 6b^2$ является квадратным трёхчленом относительно $a$. Найдём два выражения, произведение которых равно $6b^2$, а сумма равна $-7b$. Это $-a$ и $-6b$. Таким образом: $a^2 - 7ab + 6b^2 = (a - b)(a - 6b)$.
Знаменатель $a^2 - 2ab + b^2$ является полным квадратом разности. Используя формулу $(x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$, получаем: $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(a - b)(a - 6b)}{(a - b)^2} = \frac{(a - b)(a - 6b)}{(a - b)(a - b)}$
Сократим общий множитель $(a - b)$:
$\frac{a - 6b}{a - b}$
Ответ: $\frac{a - 6b}{a - b}$

в) Чтобы сократить дробь $\frac{4y^2 - x^2}{x^2 - 7xy + 10y^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $4y^2 - x^2$ является разностью квадратов: $(2y)^2 - x^2$. Используя формулу $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$, получаем: $(2y - x)(2y + x)$.
Знаменатель $x^2 - 7xy + 10y^2$ является квадратным трёхчленом относительно $x$. Найдём два выражения, произведение которых равно $10y^2$, а сумма равна $-7y$. Это $-2y$ и $-5y$. Таким образом: $x^2 - 7xy + 10y^2 = (x - 2y)(x - 5y)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(2y - x)(2y + x)}{(x - 2y)(x - 5y)}$
Заметим, что $(2y - x) = -(x - 2y)$. Заменим это в числителе:
$\frac{-(x - 2y)(2y + x)}{(x - 2y)(x - 5y)}$
Сократим общий множитель $(x - 2y)$:
$\frac{-(2y + x)}{x - 5y} = \frac{x + 2y}{-(x - 5y)} = \frac{x + 2y}{5y - x}$
Ответ: $\frac{x + 2y}{5y - x}$

г) Чтобы сократить дробь $\frac{15p^2 - 8pq + q^2}{5pq - q^2}$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Для разложения числителя $15p^2 - 8pq + q^2$ представим средний член $-8pq$ в виде суммы $-3pq - 5pq$ и сгруппируем:
$15p^2 - 3pq - 5pq + q^2 = (15p^2 - 3pq) - (5pq - q^2) = 3p(5p - q) - q(5p - q) = (3p - q)(5p - q)$.
Знаменатель $5pq - q^2$ раскладывается на множители вынесением общего множителя $q$ за скобки: $q(5p - q)$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(3p - q)(5p - q)}{q(5p - q)}$
Сократим общий множитель $(5p - q)$:
$\frac{3p - q}{q}$
Ответ: $\frac{3p - q}{q}$

Докажите тождество (368–370).

368 a) $a^3 + 3ab(a + b) + b^3 = (a + b)^3$;

б) $a^3 - 3ab(a - b) - b^3 = (a - b)^3$.

а) Для доказательства тождества $a^3 + 3ab(a + b) + b^3 = (a + b)^3$ преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки:

$a^3 + 3ab(a + b) + b^3 = a^3 + 3ab \cdot a + 3ab \cdot b + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Полученное выражение $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ является формулой сокращенного умножения, известной как "куб суммы", которая равна $(a + b)^3$.

Поскольку левая часть тождества после преобразований стала равна правой части, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $a^3 - 3ab(a - b) - b^3 = (a - b)^3$ аналогично преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$a^3 - 3ab(a - b) - b^3 = a^3 - (3ab \cdot a - 3ab \cdot b) - b^3 = a^3 - (3a^2b - 3ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Полученное выражение $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ является формулой сокращенного умножения "куб разности", которая равна $(a - b)^3$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.

369 a) $(m - 1)(m + 1)(m^2 + 1) - (m^2 - 1)^2 - m^2 = m^2 - 2;$

б) $(a^2 + 3)^2 - (a - 3)(a + 3)(a^2 + 9) = 6(a^2 + 15).$

а) Чтобы доказать тождество $(m - 1)(m + 1)(m^2 + 1) - (m^2 - 1)^2 - m^2 = m^2 - 2$, преобразуем его левую часть, используя формулы сокращенного умножения.

1. Применим формулу разности квадратов $ (x-y)(x+y)=x^2-y^2 $ к первым двум множителям:
$(m - 1)(m + 1) = m^2 - 1$.
2. Теперь произведение первых трех множителей также является разностью квадратов:
$(m^2 - 1)(m^2 + 1) = (m^2)^2 - 1^2 = m^4 - 1$.
3. Раскроем скобки в выражении $(m^2 - 1)^2$ по формуле квадрата разности $(x-y)^2=x^2-2xy+y^2$:
$(m^2 - 1)^2 = (m^2)^2 - 2 \cdot m^2 \cdot 1 + 1^2 = m^4 - 2m^2 + 1$.
4. Подставим полученные выражения в левую часть исходного равенства:
$(m^4 - 1) - (m^4 - 2m^2 + 1) - m^2$.
5. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$m^4 - 1 - m^4 + 2m^2 - 1 - m^2 = (m^4 - m^4) + (2m^2 - m^2) + (-1 - 1) = m^2 - 2$.
В результате преобразования левая часть стала равна $m^2 - 2$, что совпадает с правой частью. Таким образом, $m^2 - 2 = m^2 - 2$.
Ответ: тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(a^2 + 3)^2 - (a - 3)(a + 3)(a^2 + 9) = 6(a^2 + 15)$, преобразуем левую и правую части по отдельности.

Преобразование левой части: $(a^2 + 3)^2 - (a - 3)(a + 3)(a^2 + 9)$.
1. Раскроем первую скобку по формуле квадрата суммы $(x+y)^2=x^2+2xy+y^2$:
$(a^2 + 3)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 3 + 3^2 = a^4 + 6a^2 + 9$.
2. Преобразуем произведение $(a - 3)(a + 3)$ по формуле разности квадратов $(x-y)(x+y)=x^2-y^2$:
$(a - 3)(a + 3) = a^2 - 3^2 = a^2 - 9$.
3. Теперь произведение $(a^2 - 9)(a^2 + 9)$ также является разностью квадратов:
$(a^2 - 9)(a^2 + 9) = (a^2)^2 - 9^2 = a^4 - 81$.
4. Подставим результаты в левую часть и упростим:
$(a^4 + 6a^2 + 9) - (a^4 - 81) = a^4 + 6a^2 + 9 - a^4 + 81 = (a^4 - a^4) + 6a^2 + (9 + 81) = 6a^2 + 90$.

Преобразование правой части: $6(a^2 + 15)$.
1. Раскроем скобки:
$6 \cdot a^2 + 6 \cdot 15 = 6a^2 + 90$.

Сравнив результаты преобразований, видим, что левая и правая части равны: $6a^2 + 90 = 6a^2 + 90$.
Ответ: тождество доказано.

370 a) $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) = x^4 + x^2 + 1;$

б) $(1 + y\sqrt{2} + y^2)(1 - y\sqrt{2} + y^2) = 1 + y^4.$

а) Чтобы доказать тождество $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) = x^4 + x^2 + 1$, преобразуем его левую часть. Перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы выделить общую часть: $((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x)$.

Это выражение представляет собой произведение разности и суммы двух выражений, которое можно упростить с помощью формулы разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = x^2 + 1$ и $b = x$.

Применяя формулу, получаем: $((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x) = (x^2 + 1)^2 - x^2$.

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(x^2 + 1)^2 - x^2 = ((x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2) - x^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2$.

Приведем подобные слагаемые: $x^4 + 2x^2 - x^2 + 1 = x^4 + x^2 + 1$.

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью исходного равенства, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(1 + y\sqrt{2} + y^2)(1 - y\sqrt{2} + y^2) = 1 + y^4$, выполним аналогичные преобразования левой части. Сгруппируем слагаемые: $((1 + y^2) + y\sqrt{2})((1 + y^2) - y\sqrt{2})$.

Это выражение также соответствует формуле разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где на этот раз $a = 1 + y^2$ и $b = y\sqrt{2}$.

Применяя формулу, получаем: $((1 + y^2) + y\sqrt{2})((1 + y^2) - y\sqrt{2}) = (1 + y^2)^2 - (y\sqrt{2})^2$.

Раскроем каждую из скобок: $(1 + y^2)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot y^2 + (y^2)^2 = 1 + 2y^2 + y^4$. $(y\sqrt{2})^2 = y^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = y^2 \cdot 2 = 2y^2$.

Подставим полученные выражения обратно: $(1 + 2y^2 + y^4) - 2y^2$.

Приведем подобные слагаемые: $1 + (2y^2 - 2y^2) + y^4 = 1 + y^4$.

Левая часть равенства после преобразований стала равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

371 Найдите выражение, при подстановке которого вместо A в данное равенство получается тождество, и выполните проверку:

а) $ \frac{2x + 9}{x^2 - x - 6} = \frac{3}{x - 3} + A; $

б) $ A + \frac{3}{x - 4} = \frac{6x - 15}{x^2 - 5x + 4}; $

в) $ \frac{2}{x^2 + 3x + 2} = A \cdot \frac{x + 3}{x + 2}; $

г) $ A : \frac{x - 4}{x - 1} = \frac{x}{x^2 - x - 12}; $

а)

Исходное равенство: $ \frac{2x + 9}{x^2 - x - 6} = \frac{3}{x - 3} + A $

Чтобы найти выражение A, выразим его из данного равенства, перенеся дробь $ \frac{3}{x - 3} $ в левую часть:

$ A = \frac{2x + 9}{x^2 - x - 6} - \frac{3}{x - 3} $

Разложим знаменатель первой дроби на множители. Для этого найдем корни квадратного уравнения $x^2 - x - 6 = 0$. По теореме Виета, сумма корней равна 1, а их произведение равно -6. Корнями являются числа 3 и -2.

Следовательно, $x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2)$.

Подставим разложение в выражение для A:

$ A = \frac{2x + 9}{(x - 3)(x + 2)} - \frac{3}{x - 3} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 3)(x + 2)$:

$ A = \frac{2x + 9}{(x - 3)(x + 2)} - \frac{3(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{(2x + 9) - 3(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)} $

Раскроем скобки в числителе и упростим его:

$ A = \frac{2x + 9 - 3x - 6}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{-x + 3}{(x - 3)(x + 2)} $

Вынесем -1 за скобки в числителе и сократим дробь на $(x - 3)$:

$ A = \frac{-(x - 3)}{(x - 3)(x + 2)} = -\frac{1}{x + 2} $

Проверка:

Подставим найденное выражение для A в правую часть исходного равенства:

$ \frac{3}{x - 3} + A = \frac{3}{x - 3} + (-\frac{1}{x + 2}) = \frac{3(x + 2) - 1(x - 3)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{3x + 6 - x + 3}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2x + 9}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2x + 9}{x^2 - x - 6} $

Правая часть стала равна левой, следовательно, тождество выполняется.

Ответ: $ A = -\frac{1}{x + 2} $

б)

Исходное равенство: $ A + \frac{3}{x - 4} = \frac{6x - 15}{x^2 - 5x + 4} $

Выразим A из равенства:

$ A = \frac{6x - 15}{x^2 - 5x + 4} - \frac{3}{x - 4} $

Разложим на множители знаменатель $x^2 - 5x + 4$. Корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$ по теореме Виета равны 1 и 4.

Значит, $x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$.

Подставим разложение в выражение для A:

$ A = \frac{6x - 15}{(x - 1)(x - 4)} - \frac{3}{x - 4} $

Приведем дроби к общему знаменателю $(x - 1)(x - 4)$:

$ A = \frac{6x - 15}{(x - 1)(x - 4)} - \frac{3(x - 1)}{(x - 1)(x - 4)} = \frac{(6x - 15) - 3(x - 1)}{(x - 1)(x - 4)} $

Упростим числитель:

$ A = \frac{6x - 15 - 3x + 3}{(x - 1)(x - 4)} = \frac{3x - 12}{(x - 1)(x - 4)} $

Вынесем 3 за скобки в числителе и сократим дробь на $(x - 4)$:

$ A = \frac{3(x - 4)}{(x - 1)(x - 4)} = \frac{3}{x - 1} $

Проверка:

Подставим A в левую часть исходного равенства:

$ A + \frac{3}{x - 4} = \frac{3}{x - 1} + \frac{3}{x - 4} = \frac{3(x - 4) + 3(x - 1)}{(x - 1)(x - 4)} = \frac{3x - 12 + 3x - 3}{(x - 1)(x - 4)} = \frac{6x - 15}{(x - 1)(x - 4)} = \frac{6x - 15}{x^2 - 5x + 4} $

Левая часть стала равна правой, тождество выполняется.

Ответ: $ A = \frac{3}{x - 1} $

в)

Исходное равенство: $ \frac{2}{x^2 + 3x + 2} = A \cdot \frac{x + 3}{x + 2} $

Чтобы найти A, разделим левую часть на дробь $ \frac{x + 3}{x + 2} $, что равносильно умножению на обратную дробь $ \frac{x + 2}{x + 3} $:

$ A = \frac{2}{x^2 + 3x + 2} \cdot \frac{x + 2}{x + 3} $

Разложим на множители знаменатель $x^2 + 3x + 2$. Корни уравнения $x^2 + 3x + 2 = 0$ по теореме Виета равны -1 и -2.

Следовательно, $x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$.

Подставим разложение в выражение для A:

$ A = \frac{2}{(x + 1)(x + 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 3} $

Сократим дробь на $(x + 2)$:

$ A = \frac{2}{(x + 1)(x + 3)} $

Проверка:

Подставим A в правую часть исходного равенства:

$ A \cdot \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{2}{(x + 1)(x + 3)} \cdot \frac{x + 3}{x + 2} = \frac{2}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{2}{x^2 + 3x + 2} $

Правая часть стала равна левой, тождество выполняется.

Ответ: $ A = \frac{2}{(x + 1)(x + 3)} $

г)

Исходное равенство: $ A : \frac{x - 4}{x - 1} = \frac{x}{x^2 - x - 12} $

В данном равенстве A является делимым. Чтобы найти делимое, нужно частное умножить на делитель:

$ A = \frac{x}{x^2 - x - 12} \cdot \frac{x - 4}{x - 1} $

Разложим на множители знаменатель $x^2 - x - 12$. Корни уравнения $x^2 - x - 12 = 0$ по теореме Виета равны 4 и -3.

Значит, $x^2 - x - 12 = (x - 4)(x + 3)$.

Подставим разложение в выражение для A:

$ A = \frac{x}{(x - 4)(x + 3)} \cdot \frac{x - 4}{x - 1} $

Сократим дробь на $(x - 4)$:

$ A = \frac{x}{(x + 3)(x - 1)} $

Проверка:

Подставим A в левую часть исходного равенства:

$ A : \frac{x - 4}{x - 1} = \frac{x}{(x + 3)(x - 1)} : \frac{x - 4}{x - 1} = \frac{x}{(x + 3)(x - 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 4} = \frac{x}{(x + 3)(x - 4)} = \frac{x}{x^2 - x - 12} $

Левая часть стала равна правой, тождество выполняется.

Ответ: $ A = \frac{x}{(x + 3)(x - 1)} $