Номер 368, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 368, страница 154.

Докажите тождество (368–370).

368 a) $a^3 + 3ab(a + b) + b^3 = (a + b)^3$;

б) $a^3 - 3ab(a - b) - b^3 = (a - b)^3$.

а) Для доказательства тождества $a^3 + 3ab(a + b) + b^3 = (a + b)^3$ преобразуем его левую часть. Для этого раскроем скобки:

$a^3 + 3ab(a + b) + b^3 = a^3 + 3ab \cdot a + 3ab \cdot b + b^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.

Полученное выражение $a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ является формулой сокращенного умножения, известной как "куб суммы", которая равна $(a + b)^3$.

Поскольку левая часть тождества после преобразований стала равна правой части, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Для доказательства тождества $a^3 - 3ab(a - b) - b^3 = (a - b)^3$ аналогично преобразуем его левую часть. Раскроем скобки, обращая внимание на знаки:

$a^3 - 3ab(a - b) - b^3 = a^3 - (3ab \cdot a - 3ab \cdot b) - b^3 = a^3 - (3a^2b - 3ab^2) - b^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$.

Полученное выражение $a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3$ является формулой сокращенного умножения "куб разности", которая равна $(a - b)^3$.

Таким образом, левая часть тождества равна правой, что и требовалось доказать.

Ответ: Тождество доказано.