Номер 370, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 370, страница 154.

370 a) $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) = x^4 + x^2 + 1;$

б) $(1 + y\sqrt{2} + y^2)(1 - y\sqrt{2} + y^2) = 1 + y^4.$

а) Чтобы доказать тождество $(x^2 - x + 1)(x^2 + x + 1) = x^4 + x^2 + 1$, преобразуем его левую часть. Перегруппируем слагаемые в скобках, чтобы выделить общую часть: $((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x)$.

Это выражение представляет собой произведение разности и суммы двух выражений, которое можно упростить с помощью формулы разности квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$. В нашем случае $a = x^2 + 1$ и $b = x$.

Применяя формулу, получаем: $((x^2 + 1) - x)((x^2 + 1) + x) = (x^2 + 1)^2 - x^2$.

Теперь раскроем скобки, используя формулу квадрата суммы $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$: $(x^2 + 1)^2 - x^2 = ((x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 1 + 1^2) - x^2 = (x^4 + 2x^2 + 1) - x^2$.

Приведем подобные слагаемые: $x^4 + 2x^2 - x^2 + 1 = x^4 + x^2 + 1$.

Результат преобразования левой части совпадает с правой частью исходного равенства, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.

б) Чтобы доказать тождество $(1 + y\sqrt{2} + y^2)(1 - y\sqrt{2} + y^2) = 1 + y^4$, выполним аналогичные преобразования левой части. Сгруппируем слагаемые: $((1 + y^2) + y\sqrt{2})((1 + y^2) - y\sqrt{2})$.

Это выражение также соответствует формуле разности квадратов $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$, где на этот раз $a = 1 + y^2$ и $b = y\sqrt{2}$.

Применяя формулу, получаем: $((1 + y^2) + y\sqrt{2})((1 + y^2) - y\sqrt{2}) = (1 + y^2)^2 - (y\sqrt{2})^2$.

Раскроем каждую из скобок: $(1 + y^2)^2 = 1^2 + 2 \cdot 1 \cdot y^2 + (y^2)^2 = 1 + 2y^2 + y^4$. $(y\sqrt{2})^2 = y^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = y^2 \cdot 2 = 2y^2$.

Подставим полученные выражения обратно: $(1 + 2y^2 + y^4) - 2y^2$.

Приведем подобные слагаемые: $1 + (2y^2 - 2y^2) + y^4 = 1 + y^4$.

Левая часть равенства после преобразований стала равна правой, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество доказано.