Номер 375, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 375, страница 155.

375 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ

а) Найдите наименьшее значение выражения $x^2 - 2xy - y^2$, если известно, что $x + y = 1$.

б) Найдите наибольшее значение выражения $x^2 - 3xy + y^2$, если известно, что $x - y = 2$.

Указание. Выразите одну переменную через другую и выполните подстановку.

а)

Требуется найти наименьшее значение выражения $E = x^2 - 2xy - y^2$ при условии $x + y = 1$.

Следуя указанию, выразим одну переменную через другую. Из условия $x + y = 1$ выразим $y$:

$y = 1 - x$

Теперь подставим это выражение для $y$ в исходное выражение $E$:

$E(x) = x^2 - 2x(1 - x) - (1 - x)^2$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$E(x) = x^2 - (2x - 2x^2) - (1 - 2x + x^2)$

$E(x) = x^2 - 2x + 2x^2 - 1 + 2x - x^2$

Приведем подобные слагаемые:

$E(x) = (1 + 2 - 1)x^2 + (-2 + 2)x - 1$

$E(x) = 2x^2 - 1$

Мы получили квадратичную функцию $E(x) = 2x^2 - 1$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ равен $2$, что больше нуля. Следовательно, эта функция имеет наименьшее значение в своей вершине.

Координата $x$ вершины параболы $ax^2 + bx + c$ находится по формуле $x_v = -b/(2a)$. В нашем случае $a = 2$, $b = 0$, $c = -1$.

$x_v = -0 / (2 \cdot 2) = 0$

Наименьшее значение выражения достигается при $x = 0$. Найдем это значение, подставив $x = 0$ в функцию $E(x)$:

$E_{min} = E(0) = 2(0)^2 - 1 = -1$

При этом значение $y$ будет: $y = 1 - x = 1 - 0 = 1$.

Ответ: -1

б)

Требуется найти наибольшее значение выражения $E = x^2 - 3xy + y^2$ при условии $x - y = 2$.

Выразим $x$ из условия $x - y = 2$:

$x = 2 + y$

Подставим это выражение для $x$ в исходное выражение $E$:

$E(y) = (2 + y)^2 - 3(2 + y)y + y^2$

Раскроем скобки и упростим:

$E(y) = (4 + 4y + y^2) - (6y + 3y^2) + y^2$

$E(y) = 4 + 4y + y^2 - 6y - 3y^2 + y^2$

Приведем подобные слагаемые:

$E(y) = (1 - 3 + 1)y^2 + (4 - 6)y + 4$

$E(y) = -y^2 - 2y + 4$

Мы получили квадратичную функцию $E(y) = -y^2 - 2y + 4$. Графиком этой функции является парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при $y^2$ равен $-1$, что меньше нуля. Следовательно, эта функция имеет наибольшее значение в своей вершине.

Координата $y$ вершины параболы $ay^2 + by + c$ находится по формуле $y_v = -b/(2a)$. В нашем случае $a = -1$, $b = -2$, $c = 4$.

$y_v = -(-2) / (2 \cdot (-1)) = 2 / (-2) = -1$

Наибольшее значение выражения достигается при $y = -1$. Найдем это значение, подставив $y = -1$ в функцию $E(y)$:

$E_{max} = E(-1) = -(-1)^2 - 2(-1) + 4 = -1 + 2 + 4 = 5$

При этом значение $x$ будет: $x = 2 + y = 2 + (-1) = 1$.

Ответ: 5