Номер 374, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 374, страница 155.

374 Упростите выражение:

a) $(\frac{1+x}{1-x})^2 + (\frac{1-x}{1+x})^2 - 2;$

б) $(\frac{a^2}{a+1} - a)(\frac{5a^2}{a+1} - a) - (\frac{2a^2}{a+1} - a)(\frac{4a^2}{a+1} - a).$

а)

Данное выражение имеет вид $A^2 + B^2 - 2$, где $A = \frac{1+x}{1-x}$ и $B = \frac{1-x}{1+x}$.
Заметим, что произведение $A \cdot B = \frac{1+x}{1-x} \cdot \frac{1-x}{1+x} = 1$.
Следовательно, выражение можно переписать как $A^2 + B^2 - 2AB$, что является формулой квадрата разности $(A-B)^2$.
Подставим наши дроби в эту формулу:

$ \left( \frac{1+x}{1-x} - \frac{1-x}{1+x} \right)^2 $

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(1-x)(1+x)$:

$ \left( \frac{(1+x)(1+x)}{(1-x)(1+x)} - \frac{(1-x)(1-x)}{(1-x)(1+x)} \right)^2 = \left( \frac{(1+x)^2 - (1-x)^2}{(1-x)(1+x)} \right)^2 $

Раскроем скобки в числителе, используя формулы квадрата суммы $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ и квадрата разности $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
Числитель: $(1+2x+x^2) - (1-2x+x^2) = 1+2x+x^2-1+2x-x^2 = 4x$.
Знаменатель преобразуем по формуле разности квадратов: $(1-x)(1+x) = 1-x^2$.
Теперь выражение в скобках равно $ \frac{4x}{1-x^2} $.

Возведем полученную дробь в квадрат:

$ \left( \frac{4x}{1-x^2} \right)^2 = \frac{(4x)^2}{(1-x^2)^2} = \frac{16x^2}{(1-x^2)^2} $

Ответ: $ \frac{16x^2}{(1-x^2)^2} $.

б)

Рассмотрим исходное выражение: $ \left(\frac{a^2}{a+1}-a\right)\left(\frac{5a^2}{a+1}-a\right) - \left(\frac{2a^2}{a+1}-a\right)\left(\frac{4a^2}{a+1}-a\right) $.
Для упрощения вычислений введем замену. Пусть $y = \frac{a^2}{a+1}$.
Тогда исходное выражение можно переписать в следующем виде:

$ (y-a)(5y-a) - (2y-a)(4y-a) $

Теперь раскроем скобки, перемножая многочлены:

$ (y \cdot 5y - y \cdot a - a \cdot 5y + a \cdot a) - (2y \cdot 4y - 2y \cdot a - a \cdot 4y + a \cdot a) $

$ (5y^2 - ay - 5ay + a^2) - (8y^2 - 2ay - 4ay + a^2) $

Приведем подобные слагаемые в каждой из скобок:

$ (5y^2 - 6ay + a^2) - (8y^2 - 6ay + a^2) $

Раскроем вторые скобки, изменив знаки на противоположные, и снова приведем подобные слагаемые:

$ 5y^2 - 6ay + a^2 - 8y^2 + 6ay - a^2 = (5y^2 - 8y^2) + (-6ay + 6ay) + (a^2 - a^2) = -3y^2 $

Мы получили простое выражение $-3y^2$. Теперь выполним обратную замену, подставив $ y = \frac{a^2}{a+1} $:

$ -3 \left( \frac{a^2}{a+1} \right)^2 = -3 \frac{(a^2)^2}{(a+1)^2} = -\frac{3a^4}{(a+1)^2} $

Ответ: $ -\frac{3a^4}{(a+1)^2} $.