Номер 372, страница 155 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 372, страница 155.

372 Докажите тождество:

а) $ \left( \frac{1}{x-1} + \frac{8}{x^2-6x+5} - \frac{2}{x-5} \right) \cdot \frac{x^2-1}{x} = - \frac{x+1}{x} $

б) $ \frac{x-1}{x+6} : \left( \frac{3}{x+6} + \frac{5x+2}{x^2+5x-6} - \frac{x}{x-1} \right) = -1; $

в) $ \left( \frac{1}{25x^2-1} + \frac{4x^2-3x}{5x-1} \cdot \frac{25x}{3+11x-20x^2} \right) = -1; $

г) $ \frac{9}{10x^2-11x-6} \cdot \frac{2x+3}{10x^2+4x} - \frac{8x^3}{4x^2-9} = -2x. $

а)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражение в скобках. Для этого разложим знаменатель $x^2-6x+5$ на множители. Корнями уравнения $x^2-6x+5=0$ являются $x_1=1$ и $x_2=5$. Таким образом, $x^2-6x+5=(x-1)(x-5)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(x-1)(x-5)$:

$\frac{1}{x-1} + \frac{8}{(x-1)(x-5)} - \frac{2}{x-5} = \frac{1 \cdot (x-5) + 8 - 2 \cdot (x-1)}{(x-1)(x-5)} = \frac{x-5+8-2x+2}{(x-1)(x-5)} = \frac{-x+5}{(x-1)(x-5)} = \frac{-(x-5)}{(x-1)(x-5)} = -\frac{1}{x-1}$.

Теперь умножим полученное выражение на $\frac{x^2-1}{x}$. Используем формулу разности квадратов $x^2-1=(x-1)(x+1)$:

$-\frac{1}{x-1} \cdot \frac{x^2-1}{x} = -\frac{1}{x-1} \cdot \frac{(x-1)(x+1)}{x} = -\frac{x+1}{x}$.

Левая часть тождества равна $-\frac{x+1}{x}$, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество доказано.

б)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала упростим выражение в скобках. Разложим на множители знаменатель $x^2+5x-6$. Корнями уравнения $x^2+5x-6=0$ являются $x_1=1$ и $x_2=-6$. Таким образом, $x^2+5x-6=(x-1)(x+6)$.

Приведем дроби в скобках к общему знаменателю $(x-1)(x+6)$:

$\frac{3}{x+6} + \frac{5x+2}{(x-1)(x+6)} - \frac{x}{x-1} = \frac{3(x-1) + (5x+2) - x(x+6)}{(x-1)(x+6)} = \frac{3x-3+5x+2-x^2-6x}{(x-1)(x+6)} = \frac{-x^2+2x-1}{(x-1)(x+6)}$.

В числителе вынесем минус за скобки и свернем выражение по формуле квадрата разности: $-(x^2-2x+1) = -(x-1)^2$.

$\frac{-(x-1)^2}{(x-1)(x+6)} = -\frac{x-1}{x+6}$.

Теперь выполним деление:

$\frac{x-1}{x+6} : \left(-\frac{x-1}{x+6}\right) = \frac{x-1}{x+6} \cdot \left(-\frac{x+6}{x-1}\right) = -1$.

Левая часть тождества равна -1, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество доказано.

в)

Преобразуем левую часть тождества. Сначала выполним умножение дробей внутри скобок.

Разложим на множители многочлены:
$4x^2-3x = x(4x-3)$.
$3+11x-20x^2 = -(20x^2-11x-3)$. Корни уравнения $20x^2-11x-3=0$ это $x_1 = 3/4$ и $x_2 = -1/5$. Значит, $20x^2-11x-3 = 20(x-3/4)(x+1/5) = (4x-3)(5x+1)$.
Следовательно, $3+11x-20x^2 = -(4x-3)(5x+1)$.

Подставим разложенные многочлены в произведение:

$\frac{x(4x-3)}{5x-1} \cdot \frac{25x}{-(4x-3)(5x+1)} = \frac{25x^2}{(5x-1) \cdot (-(5x+1))} = -\frac{25x^2}{(5x-1)(5x+1)} = -\frac{25x^2}{25x^2-1}$.

Теперь выполним сложение в скобках, используя полученный результат и формулу разности квадратов $25x^2-1$:

$\frac{1}{25x^2-1} + \left(-\frac{25x^2}{25x^2-1}\right) = \frac{1-25x^2}{25x^2-1} = \frac{-(25x^2-1)}{25x^2-1} = -1$.

Левая часть тождества равна -1, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество доказано.

г)

В условии этого примера, по-видимому, допущена опечатка. Если выполнять действия как написано (умножение, затем вычитание), тождество не подтверждается. Однако, если предположить, что знак умножения «·» на самом деле должен быть знаком деления «:», тождество оказывается верным. Решим задачу с этим исправлением.

Докажем тождество: $\frac{9}{10x^2-11x-6} : \frac{2x+3}{10x^2+4x} - \frac{8x^3}{4x^2-9} = -2x$.

1. Выполним деление. Для этого разложим на множители знаменатели дробей:
$10x^2-11x-6$. Корни уравнения $10x^2-11x-6=0$ это $x_1=3/2$ и $x_2=-2/5$. Значит, $10x^2-11x-6 = (2x-3)(5x+2)$.
$10x^2+4x = 2x(5x+2)$.

Заменим деление умножением на обратную дробь и сократим:

$\frac{9}{(2x-3)(5x+2)} : \frac{2x+3}{2x(5x+2)} = \frac{9}{(2x-3)(5x+2)} \cdot \frac{2x(5x+2)}{2x+3} = \frac{9 \cdot 2x}{(2x-3)(2x+3)} = \frac{18x}{4x^2-9}$.

2. Теперь выполним вычитание:

$\frac{18x}{4x^2-9} - \frac{8x^3}{4x^2-9} = \frac{18x-8x^3}{4x^2-9}$.

3. Упростим полученную дробь. Вынесем общий множитель в числителе:

$18x-8x^3 = 2x(9-4x^2) = -2x(4x^2-9)$.

$\frac{-2x(4x^2-9)}{4x^2-9} = -2x$.

Левая часть тождества равна -2x, что совпадает с правой частью.

Ответ: Тождество доказано (при условии исправления опечатки в знаке операции).