Номер 365, страница 154 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 365, страница 154.

Сократите дробь (365–367).

365 a) $ \frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9a + 20} $;

б) $ \frac{c^2 - 5c - 14}{c^2 - 6c - 7} $;

в) $ \frac{4x^2y + 3xy^2 - 6x^2y^2}{12xy} $;

г) $ \frac{a^3x - b^3x}{2ax - 2bx} $;

д) $ \frac{2x^2 - 10x + 12}{3x - 6} $;

е) $ \frac{x^2 - 3x - 10}{20 - 4x} $.

а) Чтобы сократить дробь $\frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9a + 20}$, необходимо разложить на множители числитель и знаменатель.

1. Разложим числитель $a^2 - 4a - 5$. Найдем корни квадратного уравнения $a^2 - 4a - 5 = 0$.
Используем теорему Виета: сумма корней $a_1 + a_2 = 4$, произведение корней $a_1 \cdot a_2 = -5$. Корнями являются числа 5 и -1.
Таким образом, разложение на множители имеет вид: $a^2 - 4a - 5 = (a - 5)(a - (-1)) = (a - 5)(a + 1)$.

2. Разложим знаменатель $a^2 - 9a + 20$. Найдем корни квадратного уравнения $a^2 - 9a + 20 = 0$.
Используем теорему Виета: сумма корней $a_1 + a_2 = 9$, произведение корней $a_1 \cdot a_2 = 20$. Корнями являются числа 4 и 5.
Таким образом, разложение на множители имеет вид: $a^2 - 9a + 20 = (a - 4)(a - 5)$.

3. Подставим разложения в исходную дробь и сократим:
$\frac{a^2 - 4a - 5}{a^2 - 9a + 20} = \frac{(a - 5)(a + 1)}{(a - 4)(a - 5)} = \frac{\cancel{(a - 5)}(a + 1)}{(a - 4)\cancel{(a - 5)}} = \frac{a + 1}{a - 4}$.
Сокращение возможно при условии $a - 5 \neq 0$, то есть $a \neq 5$.

Ответ: $\frac{a + 1}{a - 4}$.

б) Сократим дробь $\frac{c^2 - 5c - 14}{c^2 - 6c - 7}$.

1. Разложим на множители числитель $c^2 - 5c - 14$. Решим уравнение $c^2 - 5c - 14 = 0$.
По теореме Виета: $c_1 + c_2 = 5$, $c_1 \cdot c_2 = -14$. Корни: $c_1 = 7$, $c_2 = -2$.
Разложение: $c^2 - 5c - 14 = (c - 7)(c + 2)$.

2. Разложим на множители знаменатель $c^2 - 6c - 7$. Решим уравнение $c^2 - 6c - 7 = 0$.
По теореме Виета: $c_1 + c_2 = 6$, $c_1 \cdot c_2 = -7$. Корни: $c_1 = 7$, $c_2 = -1$.
Разложение: $c^2 - 6c - 7 = (c - 7)(c + 1)$.

3. Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{c^2 - 5c - 14}{c^2 - 6c - 7} = \frac{(c - 7)(c + 2)}{(c - 7)(c + 1)} = \frac{\cancel{(c - 7)}(c + 2)}{\cancel{(c - 7)}(c + 1)} = \frac{c + 2}{c + 1}$.
Сокращение возможно при условии $c - 7 \neq 0$, то есть $c \neq 7$.

Ответ: $\frac{c + 2}{c + 1}$.

в) Сократим дробь $\frac{4x^2y + 3xy^2 - 6x^2y^2}{12xy}$.

1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $xy$:
$4x^2y + 3xy^2 - 6x^2y^2 = xy(4x + 3y - 6xy)$.

2. Подставим в дробь и сократим:
$\frac{xy(4x + 3y - 6xy)}{12xy} = \frac{\cancel{xy}(4x + 3y - 6xy)}{12\cancel{xy}} = \frac{4x + 3y - 6xy}{12}$.
Сокращение возможно при условии $x \neq 0$ и $y \neq 0$.

Ответ: $\frac{4x + 3y - 6xy}{12}$.

г) Сократим дробь $\frac{a^3x - b^3x}{2ax - 2bx}$.

1. В числителе вынесем за скобки общий множитель $x$ и применим формулу разности кубов $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:
$a^3x - b^3x = x(a^3 - b^3) = x(a - b)(a^2 + ab + b^2)$.

2. В знаменателе вынесем за скобки общий множитель $2x$:
$2ax - 2bx = 2x(a - b)$.

3. Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{a^3x - b^3x}{2ax - 2bx} = \frac{x(a - b)(a^2 + ab + b^2)}{2x(a - b)} = \frac{\cancel{x}\cancel{(a - b)}(a^2 + ab + b^2)}{2\cancel{x}\cancel{(a - b)}} = \frac{a^2 + ab + b^2}{2}$.
Сокращение возможно при условии $x \neq 0$ и $a \neq b$.

Ответ: $\frac{a^2 + ab + b^2}{2}$.

д) Сократим дробь $\frac{2x^2 - 10x + 12}{3x - 6}$.

1. В числителе вынесем за скобки 2 и разложим полученный квадратный трехчлен $x^2 - 5x + 6$ на множители. Корни уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$ по теореме Виета равны 2 и 3.
$2x^2 - 10x + 12 = 2(x^2 - 5x + 6) = 2(x - 2)(x - 3)$.

2. В знаменателе вынесем за скобки 3:
$3x - 6 = 3(x - 2)$.

3. Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{2x^2 - 10x + 12}{3x - 6} = \frac{2(x - 2)(x - 3)}{3(x - 2)} = \frac{2\cancel{(x - 2)}(x - 3)}{3\cancel{(x - 2)}} = \frac{2(x - 3)}{3}$.
Сокращение возможно при условии $x - 2 \neq 0$, то есть $x \neq 2$.

Ответ: $\frac{2(x - 3)}{3}$.

е) Сократим дробь $\frac{x^2 - 3x - 10}{20 - 4x}$.

1. Разложим на множители числитель $x^2 - 3x - 10$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$ по теореме Виета равны 5 и -2.
$x^2 - 3x - 10 = (x - 5)(x - (-2)) = (x - 5)(x + 2)$.

2. В знаменателе вынесем за скобки -4, чтобы получить выражение $(x-5)$:
$20 - 4x = -4(x - 5)$.

3. Подставим разложения в дробь и сократим:
$\frac{x^2 - 3x - 10}{20 - 4x} = \frac{(x - 5)(x + 2)}{-4(x - 5)} = \frac{\cancel{(x - 5)}(x + 2)}{-4\cancel{(x - 5)}} = -\frac{x + 2}{4}$.
Сокращение возможно при условии $x - 5 \neq 0$, то есть $x \neq 5$.

Ответ: $-\frac{x + 2}{4}$.