Номер 361, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 361, страница 152.

361 Какова область определения выражения? Укажите несколько пар значений x и y, при которых выражение не имеет смысла:

а) $ \frac{xy}{x-y} $;

б) $ \frac{x-y}{x+y} $;

в) $ \frac{x^2+y^2}{xy} $;

г) $ \frac{x+y}{x^2+y^2} $.

а)

Рассмотрим выражение $\frac{xy}{x-y}$. Это алгебраическая дробь. Она имеет смысл тогда, когда ее знаменатель не равен нулю.

Найдем условие, при котором знаменатель обращается в ноль: $x - y = 0$ $x = y$

Таким образом, область определения данного выражения — это множество всех пар чисел $(x, y)$, для которых выполняется условие $x \neq y$.

Выражение не имеет смысла, когда $x = y$. Несколько примеров таких пар: $(1, 1)$, $(5, 5)$, $(-3, -3)$.

Ответ: Область определения: все пары чисел $(x, y)$, такие что $x \neq y$. Пары, при которых выражение не имеет смысла: $(1, 1)$, $(5, 5)$, $(-3, -3)$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{x-y}{x+y}$. Это алгебраическая дробь. Она имеет смысл тогда, когда ее знаменатель не равен нулю.

Найдем условие, при котором знаменатель обращается в ноль: $x + y = 0$ $y = -x$

Таким образом, область определения данного выражения — это множество всех пар чисел $(x, y)$, для которых выполняется условие $y \neq -x$ (или $x+y \neq 0$).

Выражение не имеет смысла, когда $y = -x$. Несколько примеров таких пар: $(2, -2)$, $(-1, 1)$, $(10, -10)$.

Ответ: Область определения: все пары чисел $(x, y)$, такие что $x+y \neq 0$. Пары, при которых выражение не имеет смысла: $(2, -2)$, $(-1, 1)$, $(10, -10)$.

в)

Рассмотрим выражение $\frac{x^2+y^2}{xy}$. Это алгебраическая дробь. Она имеет смысл тогда, когда ее знаменатель не равен нулю.

Найдем условие, при котором знаменатель обращается в ноль: $xy = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть $x = 0$ или $y = 0$.

Таким образом, область определения данного выражения — это множество всех пар чисел $(x, y)$, для которых $x \neq 0$ и одновременно $y \neq 0$.

Выражение не имеет смысла, когда $x=0$ или $y=0$. Несколько примеров таких пар: $(0, 5)$, $(3, 0)$, $(0, -4)$, $(0,0)$.

Ответ: Область определения: все пары чисел $(x, y)$, такие что $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Пары, при которых выражение не имеет смысла: $(0, 5)$, $(3, 0)$, $(0, 0)$.

г)

Рассмотрим выражение $\frac{x+y}{x^2+y^2}$. Это алгебраическая дробь. Она имеет смысл тогда, когда ее знаменатель не равен нулю.

Найдем условие, при котором знаменатель обращается в ноль: $x^2 + y^2 = 0$

Поскольку квадраты любых действительных чисел неотрицательны ($x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$), их сумма может быть равна нулю только в том случае, когда оба слагаемых равны нулю одновременно: $x^2 = 0$ и $y^2 = 0$. Это возможно только при $x=0$ и $y=0$.

Таким образом, область определения данного выражения — это множество всех пар чисел $(x, y)$, за исключением пары $(0, 0)$.

Выражение не имеет смысла только при одной паре значений: $(0, 0)$.

Ответ: Область определения: все пары чисел $(x, y)$, кроме $(0, 0)$. Единственная пара, при которой выражение не имеет смысла: $(0, 0)$.