Номер 355, страница 151 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 355, страница 151.

355 а) $(\frac{1}{m-n} - \frac{1}{m+n}) : (\frac{1}{m-n} + \frac{1}{m+n}) = \frac{n}{m};$

б) $(\frac{a+b}{a} - \frac{a+b}{b}) : (\frac{1}{a} + \frac{1}{b}) = b-a;$

в) $(1 - \frac{1}{c-1}) \cdot (1 + \frac{1}{c-2}) = 1;$

г) $(\frac{x}{y} - \frac{y}{x})^2 - (\frac{x}{y} + \frac{y}{x})^2 = -4.$

а) Чтобы доказать тождество, преобразуем левую часть выражения. Выполним действия в скобках, а затем деление.

1. Первые скобки (вычитание). Приводим дроби к общему знаменателю $(m-n)(m+n) = m^2-n^2$.

$\frac{1}{m-n} - \frac{1}{m+n} = \frac{1 \cdot (m+n)}{(m-n)(m+n)} - \frac{1 \cdot (m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{m+n-(m-n)}{m^2-n^2} = \frac{m+n-m+n}{m^2-n^2} = \frac{2n}{m^2-n^2}$

2. Вторые скобки (сложение). Общий знаменатель тот же: $m^2-n^2$.

$\frac{1}{m-n} + \frac{1}{m+n} = \frac{1 \cdot (m+n)}{(m-n)(m+n)} + \frac{1 \cdot (m-n)}{(m-n)(m+n)} = \frac{m+n+m-n}{m^2-n^2} = \frac{2m}{m^2-n^2}$

3. Выполняем деление полученных выражений.

$(\frac{2n}{m^2-n^2}) \div (\frac{2m}{m^2-n^2}) = \frac{2n}{m^2-n^2} \cdot \frac{m^2-n^2}{2m} = \frac{2n \cdot (m^2-n^2)}{(m^2-n^2) \cdot 2m} = \frac{2n}{2m} = \frac{n}{m}$

В результате преобразования левой части мы получили правую часть, следовательно, тождество доказано.

Ответ: $\frac{n}{m} = \frac{n}{m}$, тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть выражения для доказательства тождества.

1. Упростим выражение в первых скобках. Вынесем общий множитель $(a+b)$ за скобки.

$\frac{a+b}{a} - \frac{a+b}{b} = (a+b) \cdot (\frac{1}{a} - \frac{1}{b}) = (a+b) \cdot (\frac{b-a}{ab}) = \frac{(a+b)(b-a)}{ab}$

2. Упростим выражение во вторых скобках, приведя к общему знаменателю $ab$.

$\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{b+a}{ab}$

3. Выполним деление.

$\frac{(a+b)(b-a)}{ab} \div \frac{a+b}{ab} = \frac{(a+b)(b-a)}{ab} \cdot \frac{ab}{a+b}$

Сокращаем общие множители $(a+b)$ и $ab$ (при условии, что $a \neq -b$, $a \neq 0$, $b \neq 0$).

$\frac{\cancel{(a+b)}(b-a)}{\cancel{ab}} \cdot \frac{\cancel{ab}}{\cancel{a+b}} = b-a$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $b-a = b-a$, тождество доказано.

в) Преобразуем левую часть выражения, чтобы доказать тождество.

1. Упростим выражение в первой скобке. Приведем к общему знаменателю $c-1$.

$1 - \frac{1}{c-1} = \frac{c-1}{c-1} - \frac{1}{c-1} = \frac{c-1-1}{c-1} = \frac{c-2}{c-1}$

2. Упростим выражение во второй скобке. Приведем к общему знаменателю $c-2$.

$1 + \frac{1}{c-2} = \frac{c-2}{c-2} + \frac{1}{c-2} = \frac{c-2+1}{c-2} = \frac{c-1}{c-2}$

3. Выполним умножение полученных выражений (при условии, что $c \neq 1$ и $c \neq 2$).

$\frac{c-2}{c-1} \cdot \frac{c-1}{c-2} = \frac{\cancel{c-2}}{\cancel{c-1}} \cdot \frac{\cancel{c-1}}{\cancel{c-2}} = 1$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $1=1$, тождество доказано.

г) Для доказательства тождества применим формулу разности квадратов $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

Пусть $A = \frac{x}{y} - \frac{y}{x}$ и $B = \frac{x}{y} + \frac{y}{x}$.

1. Найдем разность $(A-B)$.

$A-B = (\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) - (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) = \frac{x}{y} - \frac{y}{x} - \frac{x}{y} - \frac{y}{x} = -2\frac{y}{x}$

2. Найдем сумму $(A+B)$.

$A+B = (\frac{x}{y} - \frac{y}{x}) + (\frac{x}{y} + \frac{y}{x}) = \frac{x}{y} - \frac{y}{x} + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} = 2\frac{x}{y}$

3. Перемножим полученные выражения.

$(A-B)(A+B) = (-2\frac{y}{x}) \cdot (2\frac{x}{y}) = -4 \cdot \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{y}$

Сокращаем $x$ и $y$ (при условии, что $x \neq 0$ и $y \neq 0$), получаем:

$-4 \cdot 1 = -4$

Левая часть равна правой. Тождество доказано.

Ответ: $-4=-4$, тождество доказано.