Номер 353, страница 150 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 353, страница 150.

353 Вычислите значение выражения при заданных значениях переменных (если оно имеет смысл):

а) $\frac{a^2 + 4}{a^2 - 4} \cdot \frac{a}{a + 2}$ при $a = \frac{2}{3}$; $-4$; $2$;

б) $\frac{c^2 - 25}{10c} \cdot \frac{c}{c - 5}$ при $c = 2,5$; $0$; $-37$;

в) $\frac{m}{m - n} \cdot \left(\frac{m - n}{m} - 1\right)$ при $m = \frac{1}{4}$ и $n = \frac{1}{2}$; $m = -15$ и $n = -18$; $m = 0$ и $n = 10$; $m = 10$ и $n = 0$;

г) $\left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right) \cdot \frac{xy}{x - y}$ при $x = 12$ и $y = -15$; $x = -\frac{2}{3}$ и $y = \frac{5}{6}$; $x = 0$ и $y = 22$; $x = 5$ и $y = 5$.

а) Сначала упростим выражение:
$\frac{a^2+4}{a^2-4} - \frac{a}{a+2} = \frac{a^2+4}{(a-2)(a+2)} - \frac{a(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+4 - a(a-2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{a^2+4-a^2+2a}{(a-2)(a+2)} = \frac{2a+4}{(a-2)(a+2)} = \frac{2(a+2)}{(a-2)(a+2)} = \frac{2}{a-2}$.
Выражение имеет смысл (определено) при $a^2-4 \neq 0$ и $a+2 \neq 0$, то есть при $a \neq 2$ и $a \neq -2$.
Теперь вычислим значение выражения для каждого заданного значения $a$:

При $a = \frac{2}{3}$:
$\frac{2}{a-2} = \frac{2}{\frac{2}{3}-2} = \frac{2}{\frac{2-6}{3}} = \frac{2}{-\frac{4}{3}} = 2 \cdot \left(-\frac{3}{4}\right) = -\frac{6}{4} = -1,5$.
Ответ: -1,5.

При $a = -4$:
$\frac{2}{a-2} = \frac{2}{-4-2} = \frac{2}{-6} = -\frac{1}{3}$.
Ответ: $-\frac{1}{3}$.

При $a = 2$:
выражение не имеет смысла, так как знаменатель $a^2-4$ обращается в ноль, что приводит к делению на ноль.
Ответ: выражение не имеет смысла.

б) Сначала упростим выражение:
$\frac{c^2-25}{10c} \cdot \frac{c}{c-5} = \frac{(c-5)(c+5)}{10c} \cdot \frac{c}{c-5}$.
Сокращаем общие множители $c$ и $(c-5)$, при условии, что $c \neq 0$ и $c-5 \neq 0$ (т.е. $c \neq 5$).
Упрощенное выражение: $\frac{c+5}{10}$.
Теперь вычислим значение выражения для каждого заданного значения $c$:

При $c = 2,5$:
$\frac{c+5}{10} = \frac{2,5+5}{10} = \frac{7,5}{10} = 0,75$.
Ответ: 0,75.

При $c = 0$:
выражение не имеет смысла, так как знаменатель $10c$ в исходном выражении обращается в ноль.
Ответ: выражение не имеет смысла.

При $c = -37$:
$\frac{c+5}{10} = \frac{-37+5}{10} = \frac{-32}{10} = -3,2$.
Ответ: -3,2.

в) Сначала упростим выражение:
$\frac{m}{m-n} \cdot \left(\frac{m-n}{m} - 1\right) = \frac{m}{m-n} \cdot \left(\frac{m-n}{m} - \frac{m}{m}\right) = \frac{m}{m-n} \cdot \frac{m-n-m}{m} = \frac{m}{m-n} \cdot \frac{-n}{m}$.
Сокращаем общий множитель $m$, при условии, что $m \neq 0$. Также $m-n \neq 0$ (т.е. $m \neq n$).
Упрощенное выражение: $\frac{-n}{m-n}$.
Теперь вычислим значение выражения для каждой пары значений $m$ и $n$:

При $m = \frac{1}{4}$ и $n = \frac{1}{2}$:
$\frac{-n}{m-n} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}} = \frac{-\frac{1}{2}}{\frac{1-2}{4}} = \frac{-\frac{1}{2}}{-\frac{1}{4}} = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$.
Ответ: 2.

При $m = -15$ и $n = -18$:
$\frac{-n}{m-n} = \frac{-(-18)}{-15 - (-18)} = \frac{18}{-15+18} = \frac{18}{3} = 6$.
Ответ: 6.

При $m = 0$ и $n = 10$:
выражение не имеет смысла, так как в исходном выражении происходит деление на $m=0$.
Ответ: выражение не имеет смысла.

При $m = 10$ и $n = 0$:
$\frac{-n}{m-n} = \frac{-0}{10-0} = \frac{0}{10} = 0$.
Ответ: 0.

г) Сначала упростим выражение:
$\left(\frac{x}{y} - \frac{y}{x}\right) \cdot \frac{xy}{x-y} = \left(\frac{x^2-y^2}{xy}\right) \cdot \frac{xy}{x-y} = \frac{(x-y)(x+y)}{xy} \cdot \frac{xy}{x-y}$.
Выражение имеет смысл при $x \neq 0$, $y \neq 0$ и $x \neq y$. При этих условиях сокращаем общие множители $xy$ и $(x-y)$.
Упрощенное выражение: $x+y$.
Теперь вычислим значение выражения для каждой пары значений $x$ и $y$:

При $x = 12$ и $y = -15$:
$x+y = 12 + (-15) = -3$.
Ответ: -3.

При $x = -\frac{2}{3}$ и $y = \frac{5}{6}$:
$x+y = -\frac{2}{3} + \frac{5}{6} = -\frac{4}{6} + \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$.
Ответ: $\frac{1}{6}$.

При $x = 0$ и $y = 22$:
выражение не имеет смысла, так как в исходном выражении происходит деление на $x=0$ в дроби $\frac{y}{x}$.
Ответ: выражение не имеет смысла.

При $x = 5$ и $y = 5$:
выражение не имеет смысла, так как в исходном выражении знаменатель $x-y$ обращается в ноль ($5-5=0$).
Ответ: выражение не имеет смысла.