Номер 346, страница 149 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 346, страница 149.

346 Из двух данных выражений составьте какое-нибудь целое выражение и преобразуйте его в многочлен, а затем составьте какое-нибудь дробное выражение и упростите его:

а) $(x - 1)^2$ и $x^2 - 1$;

б) $a^2 - 4$ и $a^2 - 3a + 2$.

а) Даны выражения $(x-1)^2$ и $x^2-1$.

1. Составим целое выражение, например, сумму данных выражений, и преобразуем его в многочлен.
Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(x-1)^2 + (x^2 - 1) = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) + (x^2 - 1) = x^2 - 2x + 1 + x^2 - 1 = (x^2 + x^2) - 2x + (1 - 1) = 2x^2 - 2x$.
Получили многочлен $2x^2 - 2x$.

2. Составим дробное выражение, например, частное от деления первого выражения на второе, и упростим его.
$\frac{(x-1)^2}{x^2 - 1}$
Разложим числитель и знаменатель на множители. В знаменателе используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}$
Сократим дробь на общий множитель $(x-1)$ (при условии, что $x \neq 1$):
$\frac{x-1}{x+1}$.
Ответ: пример целого выражения и его преобразование в многочлен: $(x-1)^2 + (x^2 - 1) = 2x^2 - 2x$; пример дробного выражения и его упрощение: $\frac{(x-1)^2}{x^2 - 1} = \frac{x-1}{x+1}$.

б) Даны выражения $a^2-4$ и $a^2-3a+2$.

1. Составим целое выражение, например, разность данных выражений, и преобразуем его в многочлен.
$(a^2-4) - (a^2-3a+2) = a^2 - 4 - a^2 + 3a - 2 = (a^2 - a^2) + 3a + (-4 - 2) = 3a - 6$.
Получили многочлен $3a - 6$.

2. Составим дробное выражение, например, частное от деления второго выражения на первое, и упростим его.
$\frac{a^2-3a+2}{a^2-4}$
Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе разложим квадратный трехчлен на множители, найдя корни уравнения $a^2-3a+2=0$. По теореме Виета корни равны 1 и 2. Значит, $a^2-3a+2 = (a-1)(a-2)$. В знаменателе используем формулу разности квадратов.
$\frac{(a-1)(a-2)}{(a-2)(a+2)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a-2)$ (при условии, что $a \neq 2$):
$\frac{a-1}{a+2}$.
Ответ: пример целого выражения и его преобразование в многочлен: $(a^2-4) - (a^2-3a+2) = 3a - 6$; пример дробного выражения и его упрощение: $\frac{a^2-3a+2}{a^2-4} = \frac{a-1}{a+2}$.