Страница 149 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

344 Найдите область определения выражения:

а) $\frac{x}{1-x^2};$

б) $\frac{a^2-1}{(2-a)(4+3a)};$

в) $\frac{y^2-9}{y^2+9};$

г) $\frac{m-3}{m^2};$

д) $\frac{x^2-5x+3}{4};$

е) $\frac{b^2+1}{b^2-8b+12};$

ж) $\frac{1+a}{1-2a+a^2};$

з) $(3x+9)^2;$

и) $2a^{-1}-4.$

а) Область определения выражения $\frac{x}{1-x^2}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения:
$1 - x^2 = 0$
Разложим левую часть по формуле разности квадратов:
$(1 - x)(1 + x) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$1 - x = 0$ или $1 + x = 0$
$x = 1$ или $x = -1$
Эти значения переменной $x$ нужно исключить из области определения.
Ответ: все числа, кроме $x=1$ и $x=-1$.

б) В выражении $\frac{a^2 - 1}{(2 - a)(4 + 3a)}$ знаменатель не должен быть равен нулю.
$(2 - a)(4 + 3a) \neq 0$
Это условие выполняется, когда каждый из множителей не равен нулю:
$2 - a \neq 0 \implies a \neq 2$
$4 + 3a \neq 0 \implies 3a \neq -4 \implies a \neq -\frac{4}{3}$
Следовательно, переменная $a$ может принимать любые значения, кроме $2$ и $-\frac{4}{3}$.
Ответ: все числа, кроме $a=2$ и $a=-\frac{4}{3}$.

в) В выражении $\frac{y^2 - 9}{y^2 + 9}$ знаменатель $y^2 + 9$ не должен быть равен нулю.
Рассмотрим выражение $y^2 + 9$. Поскольку $y^2 \ge 0$ для любого действительного числа $y$, то $y^2 + 9 \ge 9$.
Знаменатель всегда положителен и никогда не обращается в ноль.
Поэтому ограничений на переменную $y$ нет.
Ответ: все числа.

г) В выражении $\frac{m - 3}{m^2}$ знаменатель $m^2$ не должен быть равен нулю.
$m^2 \neq 0$
Это означает, что $m \neq 0$.
Ответ: все числа, кроме $m=0$.

д) Выражение $\frac{x^2 - 5x + 3}{4}$ является дробью, знаменатель которой — число 4.
Так как знаменатель — константа, не равная нулю, выражение определено для любых значений переменной $x$.
Числитель $x^2 - 5x + 3$ является многочленом, который также определен для любых $x$.
Ограничений на переменную $x$ нет.
Ответ: все числа.

е) В выражении $\frac{b^2 + 1}{b^2 - 8b + 12}$ знаменатель не должен быть равен нулю.
Найдем корни квадратного уравнения $b^2 - 8b + 12 = 0$, чтобы определить недопустимые значения $b$.
Используем теорему Виета: сумма корней равна 8, произведение равно 12. Корнями являются числа 2 и 6.
$b_1 = 2, b_2 = 6$.
Таким образом, знаменатель обращается в ноль при $b=2$ и $b=6$. Эти значения необходимо исключить.
$b^2 - 8b + 12 = (b-2)(b-6) \neq 0$, следовательно $b \neq 2$ и $b \neq 6$.
Ответ: все числа, кроме $b=2$ и $b=6$.

ж) В выражении $\frac{1 + a}{1 - 2a + a^2}$ знаменатель не должен быть равен нулю.
$1 - 2a + a^2 \neq 0$
Заметим, что знаменатель является полным квадратом разности:
$1 - 2a + a^2 = (1 - a)^2$
Тогда условие принимает вид $(1 - a)^2 \neq 0$.
Это эквивалентно $1 - a \neq 0$, откуда $a \neq 1$.
Ответ: все числа, кроме $a=1$.

з) Выражение $(3x + 9)^2$ является многочленом (квадрат двучлена).
Многочлены определены для любых действительных значений переменной. В выражении нет деления на переменную или извлечения корня.
Следовательно, ограничений на переменную $x$ нет.
Ответ: все числа.

и) Выражение $2a^{-1} - 4$ содержит степень с отрицательным показателем.
По определению $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Таким образом, выражение можно переписать в виде $\frac{2}{a} - 4$.
Это выражение определено, когда знаменатель дроби не равен нулю, то есть $a \neq 0$.
Ответ: все числа, кроме $a=0$.

345 Какова область определения выражения:

а) $\frac{1}{x} + \frac{x}{x-3}$;

б) $\frac{a}{a^2-1} - \frac{a}{a+1}$;

в) $2y + \frac{1}{y+2}$;

г) $\frac{3}{c^2+c} - c$;

д) $\frac{1 + \frac{1}{a}}{1+a}$;

е) $\frac{x}{1 - \frac{1}{x}}$?

а) Область определения выражения $ \frac{1}{x} + \frac{x}{x-3} $ находится из условия, что знаменатели дробей, входящих в выражение, не должны равняться нулю.

Первый знаменатель $x$, поэтому $x \neq 0$.
Второй знаменатель $x-3$, поэтому $x-3 \neq 0$, что означает $x \neq 3$.
Таким образом, выражение определено для всех действительных чисел $x$, кроме $0$ и $3$.

Ответ: все числа, кроме $0$ и $3$.

б) В выражении $ \frac{a}{a^2-1} - \frac{a}{a+1} $ также находим значения переменной, при которых знаменатели обращаются в ноль.

Первый знаменатель $a^2-1$. Решим уравнение $a^2-1 = 0 \Rightarrow (a-1)(a+1) = 0$, откуда $a=1$ или $a=-1$. Следовательно, $a \neq 1$ и $a \neq -1$.
Второй знаменатель $a+1$. Условие $a+1 \neq 0$ означает $a \neq -1$.
Объединяя эти условия, получаем, что область определения — это все действительные числа $a$, кроме $1$ и $-1$.

Ответ: все числа, кроме $1$ и $-1$.

в) Выражение $ 2y + \frac{1}{y+2} $ содержит дробь. Область определения находится из условия, что её знаменатель не равен нулю.

Знаменатель $y+2 \neq 0$, откуда $y \neq -2$.
Слагаемое $2y$ определено при любом значении $y$.
Следовательно, выражение определено для всех действительных чисел $y$, кроме $-2$.

Ответ: все числа, кроме $-2$.

г) В выражении $ \frac{3}{c^2+c} - c $ область определения ограничивается знаменателем дроби.

Знаменатель $c^2+c$ не должен быть равен нулю. Решим уравнение $c^2+c = 0 \Rightarrow c(c+1) = 0$, откуда $c=0$ или $c=-1$.
Значит, $c \neq 0$ и $c \neq -1$.
Слагаемое $-c$ определено при любом значении $c$.
Следовательно, выражение определено для всех действительных чисел $c$, кроме $0$ и $-1$.

Ответ: все числа, кроме $0$ и $-1$.

д) Выражение $ \frac{1+\frac{1}{a}}{1+a} $ является многоэтажной дробью. Ограничения накладываются всеми знаменателями в выражении.

1. Знаменатель внутренней дроби $ \frac{1}{a} $ не равен нулю: $a \neq 0$.
2. Знаменатель основной дроби $1+a$ не равен нулю: $1+a \neq 0$, откуда $a \neq -1$.
Таким образом, выражение определено для всех действительных чисел $a$, кроме $0$ и $-1$.

Ответ: все числа, кроме $0$ и $-1$.

е) Выражение $ \frac{x}{1-\frac{1}{x}} $ также является многоэтажной дробью.

1. Знаменатель внутренней дроби $ \frac{1}{x} $ не равен нулю: $x \neq 0$.
2. Знаменатель основной дроби $1-\frac{1}{x}$ не равен нулю. Решим $1-\frac{1}{x} \neq 0 \Rightarrow 1 \neq \frac{1}{x}$. Так как $x \neq 0$, можем заключить, что $x \neq 1$.
Следовательно, выражение определено для всех действительных чисел $x$, кроме $0$ и $1$.

Ответ: все числа, кроме $0$ и $1$.

346 Из двух данных выражений составьте какое-нибудь целое выражение и преобразуйте его в многочлен, а затем составьте какое-нибудь дробное выражение и упростите его:

а) $(x - 1)^2$ и $x^2 - 1$;

б) $a^2 - 4$ и $a^2 - 3a + 2$.

а) Даны выражения $(x-1)^2$ и $x^2-1$.

1. Составим целое выражение, например, сумму данных выражений, и преобразуем его в многочлен.
Для этого раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$(x-1)^2 + (x^2 - 1) = (x^2 - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^2) + (x^2 - 1) = x^2 - 2x + 1 + x^2 - 1 = (x^2 + x^2) - 2x + (1 - 1) = 2x^2 - 2x$.
Получили многочлен $2x^2 - 2x$.

2. Составим дробное выражение, например, частное от деления первого выражения на второе, и упростим его.
$\frac{(x-1)^2}{x^2 - 1}$
Разложим числитель и знаменатель на множители. В знаменателе используем формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
$\frac{(x-1)(x-1)}{(x-1)(x+1)}$
Сократим дробь на общий множитель $(x-1)$ (при условии, что $x \neq 1$):
$\frac{x-1}{x+1}$.
Ответ: пример целого выражения и его преобразование в многочлен: $(x-1)^2 + (x^2 - 1) = 2x^2 - 2x$; пример дробного выражения и его упрощение: $\frac{(x-1)^2}{x^2 - 1} = \frac{x-1}{x+1}$.

б) Даны выражения $a^2-4$ и $a^2-3a+2$.

1. Составим целое выражение, например, разность данных выражений, и преобразуем его в многочлен.
$(a^2-4) - (a^2-3a+2) = a^2 - 4 - a^2 + 3a - 2 = (a^2 - a^2) + 3a + (-4 - 2) = 3a - 6$.
Получили многочлен $3a - 6$.

2. Составим дробное выражение, например, частное от деления второго выражения на первое, и упростим его.
$\frac{a^2-3a+2}{a^2-4}$
Разложим числитель и знаменатель на множители. В числителе разложим квадратный трехчлен на множители, найдя корни уравнения $a^2-3a+2=0$. По теореме Виета корни равны 1 и 2. Значит, $a^2-3a+2 = (a-1)(a-2)$. В знаменателе используем формулу разности квадратов.
$\frac{(a-1)(a-2)}{(a-2)(a+2)}$
Сократим дробь на общий множитель $(a-2)$ (при условии, что $a \neq 2$):
$\frac{a-1}{a+2}$.
Ответ: пример целого выражения и его преобразование в многочлен: $(a^2-4) - (a^2-3a+2) = 3a - 6$; пример дробного выражения и его упрощение: $\frac{a^2-3a+2}{a^2-4} = \frac{a-1}{a+2}$.

347 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

В каких случаях при выполнении преобразования была допущена ошибка? Найдите её и дайте правильный ответ:

1) $ \frac{y - x}{2y - x} = - \frac{x - y}{x - 2y} $

2) $ \frac{(b - a)^2}{ab(a - b)^2} = \frac{1}{ab} $

3) $ \frac{m^2 - n^2}{m(n - m)} = \frac{m + n}{m} $

4) $ \frac{(p - q)(q - r)}{p - r} = \frac{(q - p)(r - q)}{p - r} $

1) Данное равенство неверно.

Ошибка была допущена при вынесении знака минус одновременно из числителя и знаменателя. Проверим преобразование левой части:

В числителе: $y-x = -(x-y)$.

В знаменателе: $2y-x = -(x-2y)$.

Следовательно, исходная дробь равна:

$\frac{y-x}{2y-x} = \frac{-(x-y)}{-(x-2y)} = \frac{x-y}{x-2y}$

В предложенном равенстве в правой части стоит знак минус перед дробью, который является лишним, так как два минуса (из числителя и знаменателя) должны были сократиться.

Ответ: неверно, правильное равенство: $\frac{y-x}{2y-x} = \frac{x-y}{x-2y}$.

2) Преобразование выполнено верно.

Это следует из свойства, что квадраты противоположных чисел равны: $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$.

Подставим это в левую часть исходного равенства:

$\frac{(b-a)^2}{ab(a-b)^2} = \frac{(a-b)^2}{ab(a-b)^2}$

При условии, что $a \neq b$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(a-b)^2$:

$\frac{(a-b)^2}{ab(a-b)^2} = \frac{1}{ab}$

Полученный результат совпадает с правой частью равенства.

Ответ: верно.

3) Данное равенство неверно.

Преобразуем левую часть. Числитель $m^2-n^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$.

В знаменателе вынесем знак минус за скобки, чтобы получить выражение $(m-n)$: $m(n-m) = m(-(m-n)) = -m(m-n)$.

Тогда левая часть примет вид:

$\frac{m^2-n^2}{m(n-m)} = \frac{(m-n)(m+n)}{-m(m-n)}$

При условии, что $m \neq n$, сокращаем дробь на $(m-n)$:

$\frac{(m-n)(m+n)}{-m(m-n)} = \frac{m+n}{-m} = -\frac{m+n}{m}$

Ошибка в предложенном равенстве заключается в том, что при преобразовании знаменателя был утерян знак минус.

Ответ: неверно, правильное равенство: $\frac{m^2-n^2}{m(n-m)} = -\frac{m+n}{m}$.

4) Преобразование выполнено верно.

Проверим, равна ли правая часть левой. Преобразуем числитель правой части:

$(q-p)(r-q)$

Вынесем знак минус из каждой скобки:

$q-p = -(p-q)$

$r-q = -(q-r)$

Тогда произведение равно:

$(q-p)(r-q) = (-(p-q)) \cdot (-(q-r)) = (-1) \cdot (-1) \cdot (p-q)(q-r) = (p-q)(q-r)$

Таким образом, правая часть равенства $\frac{(q-p)(r-q)}{p-r}$ действительно равна левой части $\frac{(p-q)(q-r)}{p-r}$.

Ответ: верно.

348 Какая из дробей равна данному выражению?

а) $\frac{c}{c-d} + \frac{c}{c+d}$

1) $\frac{2c^2}{c^2-d^2}$

2) $\frac{2}{1-d^2}$

3) $\frac{2c}{c^2-d^2};$

б) $\frac{a+1}{a^2-a} - \frac{a-1}{a^2+a}$

1) $-\frac{1}{a}$

2) $\frac{4}{a^2-1}$

3) $\frac{2}{a^3-a};$

в) $\frac{m^2-16}{m^2-2m} : \frac{m-2}{m^2+4m}$

1) $-\frac{3}{m}$

2) $\frac{1}{m+2}$

3) $\frac{m-4}{m^2};$

г) $\frac{(a-b)^2}{ab+b^2} : \frac{a^2-b^2}{b}$

1) $\frac{1}{(a+b)^2}$

2) $\frac{(a-b)^3}{b^2}$

3) $\frac{a-b}{(a+b)^2}.$

а) Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для дробей $\frac{c}{c-d}$ и $\frac{c}{c+d}$ это $(c-d)(c+d) = c^2 - d^2$.

$\frac{c}{c-d} + \frac{c}{c+d} = \frac{c(c+d)}{(c-d)(c+d)} + \frac{c(c-d)}{(c-d)(c+d)} = \frac{c(c+d) + c(c-d)}{c^2 - d^2}$

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые:

$\frac{c^2 + cd + c^2 - cd}{c^2 - d^2} = \frac{2c^2}{c^2 - d^2}$

Данное выражение соответствует варианту 1).
Ответ: 1)

б) Чтобы найти разность дробей $\frac{a+1}{a^2 - a} - \frac{a-1}{a^2 + a}$, разложим их знаменатели на множители:

$a^2 - a = a(a-1)$

$a^2 + a = a(a+1)$

Общий знаменатель: $a(a-1)(a+1)$. Приводим дроби к общему знаменателю:

$\frac{(a+1)(a+1)}{a(a-1)(a+1)} - \frac{(a-1)(a-1)}{a(a+1)(a-1)} = \frac{(a+1)^2 - (a-1)^2}{a(a-1)(a+1)}$

В числителе используем формулу разности квадратов $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$:

$(a+1)^2 - (a-1)^2 = ((a+1) - (a-1))((a+1) + (a-1)) = (2)(2a) = 4a$

Получаем дробь: $\frac{4a}{a(a-1)(a+1)}$. Сокращаем на $a$ (при $a \neq 0$):

$\frac{4}{(a-1)(a+1)} = \frac{4}{a^2 - 1}$

Данное выражение соответствует варианту 2).
Ответ: 2)

в) Выполним умножение дробей $\frac{m^2 - 16}{m^2 - 2m} \cdot \frac{m-2}{m^2 + 4m}$. Для этого разложим числители и знаменатели на множители:

$\frac{(m-4)(m+4)}{m(m-2)} \cdot \frac{m-2}{m(m+4)}$

Сократим общие множители $(m+4)$ и $(m-2)$ в числителях и знаменателях:

$\frac{m-4}{m} \cdot \frac{1}{m} = \frac{m-4}{m^2}$

Данное выражение соответствует варианту 3).
Ответ: 3)

г) Выполним деление дробей $\frac{(a-b)^2}{ab + b^2} : \frac{a^2 - b^2}{b}$. Заменим деление на умножение на обратную дробь:

$\frac{(a-b)^2}{ab + b^2} \cdot \frac{b}{a^2 - b^2}$

Разложим на множители знаменатель первой дроби и знаменатель второй дроби:

$\frac{(a-b)^2}{b(a+b)} \cdot \frac{b}{(a-b)(a+b)}$

Сократим общие множители $b$ и $(a-b)$:

$\frac{a-b}{a+b} \cdot \frac{1}{a+b} = \frac{a-b}{(a+b)^2}$

Данное выражение соответствует варианту 3).
Ответ: 3)