Номер 347, страница 149 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 347, страница 149.

347 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

В каких случаях при выполнении преобразования была допущена ошибка? Найдите её и дайте правильный ответ:

1) $ \frac{y - x}{2y - x} = - \frac{x - y}{x - 2y} $

2) $ \frac{(b - a)^2}{ab(a - b)^2} = \frac{1}{ab} $

3) $ \frac{m^2 - n^2}{m(n - m)} = \frac{m + n}{m} $

4) $ \frac{(p - q)(q - r)}{p - r} = \frac{(q - p)(r - q)}{p - r} $

1) Данное равенство неверно.

Ошибка была допущена при вынесении знака минус одновременно из числителя и знаменателя. Проверим преобразование левой части:

В числителе: $y-x = -(x-y)$.

В знаменателе: $2y-x = -(x-2y)$.

Следовательно, исходная дробь равна:

$\frac{y-x}{2y-x} = \frac{-(x-y)}{-(x-2y)} = \frac{x-y}{x-2y}$

В предложенном равенстве в правой части стоит знак минус перед дробью, который является лишним, так как два минуса (из числителя и знаменателя) должны были сократиться.

Ответ: неверно, правильное равенство: $\frac{y-x}{2y-x} = \frac{x-y}{x-2y}$.

2) Преобразование выполнено верно.

Это следует из свойства, что квадраты противоположных чисел равны: $(b-a)^2 = (-(a-b))^2 = (a-b)^2$.

Подставим это в левую часть исходного равенства:

$\frac{(b-a)^2}{ab(a-b)^2} = \frac{(a-b)^2}{ab(a-b)^2}$

При условии, что $a \neq b$, мы можем сократить дробь на общий множитель $(a-b)^2$:

$\frac{(a-b)^2}{ab(a-b)^2} = \frac{1}{ab}$

Полученный результат совпадает с правой частью равенства.

Ответ: верно.

3) Данное равенство неверно.

Преобразуем левую часть. Числитель $m^2-n^2$ является разностью квадратов, которую можно разложить на множители: $m^2-n^2=(m-n)(m+n)$.

В знаменателе вынесем знак минус за скобки, чтобы получить выражение $(m-n)$: $m(n-m) = m(-(m-n)) = -m(m-n)$.

Тогда левая часть примет вид:

$\frac{m^2-n^2}{m(n-m)} = \frac{(m-n)(m+n)}{-m(m-n)}$

При условии, что $m \neq n$, сокращаем дробь на $(m-n)$:

$\frac{(m-n)(m+n)}{-m(m-n)} = \frac{m+n}{-m} = -\frac{m+n}{m}$

Ошибка в предложенном равенстве заключается в том, что при преобразовании знаменателя был утерян знак минус.

Ответ: неверно, правильное равенство: $\frac{m^2-n^2}{m(n-m)} = -\frac{m+n}{m}$.

4) Преобразование выполнено верно.

Проверим, равна ли правая часть левой. Преобразуем числитель правой части:

$(q-p)(r-q)$

Вынесем знак минус из каждой скобки:

$q-p = -(p-q)$

$r-q = -(q-r)$

Тогда произведение равно:

$(q-p)(r-q) = (-(p-q)) \cdot (-(q-r)) = (-1) \cdot (-1) \cdot (p-q)(q-r) = (p-q)(q-r)$

Таким образом, правая часть равенства $\frac{(q-p)(r-q)}{p-r}$ действительно равна левой части $\frac{(p-q)(q-r)}{p-r}$.

Ответ: верно.