Номер 344, страница 149 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 344, страница 149.

344 Найдите область определения выражения:

а) $\frac{x}{1-x^2};$

б) $\frac{a^2-1}{(2-a)(4+3a)};$

в) $\frac{y^2-9}{y^2+9};$

г) $\frac{m-3}{m^2};$

д) $\frac{x^2-5x+3}{4};$

е) $\frac{b^2+1}{b^2-8b+12};$

ж) $\frac{1+a}{1-2a+a^2};$

з) $(3x+9)^2;$

и) $2a^{-1}-4.$

а) Область определения выражения $\frac{x}{1-x^2}$ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.
Приравняем знаменатель к нулю, чтобы найти недопустимые значения:
$1 - x^2 = 0$
Разложим левую часть по формуле разности квадратов:
$(1 - x)(1 + x) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:
$1 - x = 0$ или $1 + x = 0$
$x = 1$ или $x = -1$
Эти значения переменной $x$ нужно исключить из области определения.
Ответ: все числа, кроме $x=1$ и $x=-1$.

б) В выражении $\frac{a^2 - 1}{(2 - a)(4 + 3a)}$ знаменатель не должен быть равен нулю.
$(2 - a)(4 + 3a) \neq 0$
Это условие выполняется, когда каждый из множителей не равен нулю:
$2 - a \neq 0 \implies a \neq 2$
$4 + 3a \neq 0 \implies 3a \neq -4 \implies a \neq -\frac{4}{3}$
Следовательно, переменная $a$ может принимать любые значения, кроме $2$ и $-\frac{4}{3}$.
Ответ: все числа, кроме $a=2$ и $a=-\frac{4}{3}$.

в) В выражении $\frac{y^2 - 9}{y^2 + 9}$ знаменатель $y^2 + 9$ не должен быть равен нулю.
Рассмотрим выражение $y^2 + 9$. Поскольку $y^2 \ge 0$ для любого действительного числа $y$, то $y^2 + 9 \ge 9$.
Знаменатель всегда положителен и никогда не обращается в ноль.
Поэтому ограничений на переменную $y$ нет.
Ответ: все числа.

г) В выражении $\frac{m - 3}{m^2}$ знаменатель $m^2$ не должен быть равен нулю.
$m^2 \neq 0$
Это означает, что $m \neq 0$.
Ответ: все числа, кроме $m=0$.

д) Выражение $\frac{x^2 - 5x + 3}{4}$ является дробью, знаменатель которой — число 4.
Так как знаменатель — константа, не равная нулю, выражение определено для любых значений переменной $x$.
Числитель $x^2 - 5x + 3$ является многочленом, который также определен для любых $x$.
Ограничений на переменную $x$ нет.
Ответ: все числа.

е) В выражении $\frac{b^2 + 1}{b^2 - 8b + 12}$ знаменатель не должен быть равен нулю.
Найдем корни квадратного уравнения $b^2 - 8b + 12 = 0$, чтобы определить недопустимые значения $b$.
Используем теорему Виета: сумма корней равна 8, произведение равно 12. Корнями являются числа 2 и 6.
$b_1 = 2, b_2 = 6$.
Таким образом, знаменатель обращается в ноль при $b=2$ и $b=6$. Эти значения необходимо исключить.
$b^2 - 8b + 12 = (b-2)(b-6) \neq 0$, следовательно $b \neq 2$ и $b \neq 6$.
Ответ: все числа, кроме $b=2$ и $b=6$.

ж) В выражении $\frac{1 + a}{1 - 2a + a^2}$ знаменатель не должен быть равен нулю.
$1 - 2a + a^2 \neq 0$
Заметим, что знаменатель является полным квадратом разности:
$1 - 2a + a^2 = (1 - a)^2$
Тогда условие принимает вид $(1 - a)^2 \neq 0$.
Это эквивалентно $1 - a \neq 0$, откуда $a \neq 1$.
Ответ: все числа, кроме $a=1$.

з) Выражение $(3x + 9)^2$ является многочленом (квадрат двучлена).
Многочлены определены для любых действительных значений переменной. В выражении нет деления на переменную или извлечения корня.
Следовательно, ограничений на переменную $x$ нет.
Ответ: все числа.

и) Выражение $2a^{-1} - 4$ содержит степень с отрицательным показателем.
По определению $a^{-1} = \frac{1}{a}$.
Таким образом, выражение можно переписать в виде $\frac{2}{a} - 4$.
Это выражение определено, когда знаменатель дроби не равен нулю, то есть $a \neq 0$.
Ответ: все числа, кроме $a=0$.