Номер 345, страница 149 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 345, страница 149.

345 Какова область определения выражения:

а) $\frac{1}{x} + \frac{x}{x-3}$;

б) $\frac{a}{a^2-1} - \frac{a}{a+1}$;

в) $2y + \frac{1}{y+2}$;

г) $\frac{3}{c^2+c} - c$;

д) $\frac{1 + \frac{1}{a}}{1+a}$;

е) $\frac{x}{1 - \frac{1}{x}}$?

а) Область определения выражения $ \frac{1}{x} + \frac{x}{x-3} $ находится из условия, что знаменатели дробей, входящих в выражение, не должны равняться нулю.

Первый знаменатель $x$, поэтому $x \neq 0$.
Второй знаменатель $x-3$, поэтому $x-3 \neq 0$, что означает $x \neq 3$.
Таким образом, выражение определено для всех действительных чисел $x$, кроме $0$ и $3$.

Ответ: все числа, кроме $0$ и $3$.

б) В выражении $ \frac{a}{a^2-1} - \frac{a}{a+1} $ также находим значения переменной, при которых знаменатели обращаются в ноль.

Первый знаменатель $a^2-1$. Решим уравнение $a^2-1 = 0 \Rightarrow (a-1)(a+1) = 0$, откуда $a=1$ или $a=-1$. Следовательно, $a \neq 1$ и $a \neq -1$.
Второй знаменатель $a+1$. Условие $a+1 \neq 0$ означает $a \neq -1$.
Объединяя эти условия, получаем, что область определения — это все действительные числа $a$, кроме $1$ и $-1$.

Ответ: все числа, кроме $1$ и $-1$.

в) Выражение $ 2y + \frac{1}{y+2} $ содержит дробь. Область определения находится из условия, что её знаменатель не равен нулю.

Знаменатель $y+2 \neq 0$, откуда $y \neq -2$.
Слагаемое $2y$ определено при любом значении $y$.
Следовательно, выражение определено для всех действительных чисел $y$, кроме $-2$.

Ответ: все числа, кроме $-2$.

г) В выражении $ \frac{3}{c^2+c} - c $ область определения ограничивается знаменателем дроби.

Знаменатель $c^2+c$ не должен быть равен нулю. Решим уравнение $c^2+c = 0 \Rightarrow c(c+1) = 0$, откуда $c=0$ или $c=-1$.
Значит, $c \neq 0$ и $c \neq -1$.
Слагаемое $-c$ определено при любом значении $c$.
Следовательно, выражение определено для всех действительных чисел $c$, кроме $0$ и $-1$.

Ответ: все числа, кроме $0$ и $-1$.

д) Выражение $ \frac{1+\frac{1}{a}}{1+a} $ является многоэтажной дробью. Ограничения накладываются всеми знаменателями в выражении.

1. Знаменатель внутренней дроби $ \frac{1}{a} $ не равен нулю: $a \neq 0$.
2. Знаменатель основной дроби $1+a$ не равен нулю: $1+a \neq 0$, откуда $a \neq -1$.
Таким образом, выражение определено для всех действительных чисел $a$, кроме $0$ и $-1$.

Ответ: все числа, кроме $0$ и $-1$.

е) Выражение $ \frac{x}{1-\frac{1}{x}} $ также является многоэтажной дробью.

1. Знаменатель внутренней дроби $ \frac{1}{x} $ не равен нулю: $x \neq 0$.
2. Знаменатель основной дроби $1-\frac{1}{x}$ не равен нулю. Решим $1-\frac{1}{x} \neq 0 \Rightarrow 1 \neq \frac{1}{x}$. Так как $x \neq 0$, можем заключить, что $x \neq 1$.
Следовательно, выражение определено для всех действительных чисел $x$, кроме $0$ и $1$.

Ответ: все числа, кроме $0$ и $1$.