Номер 352, страница 150 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 352, страница 150.

352 a) $ \frac{6}{x^2+x-2} + \frac{2}{x+2} $

б) $ \frac{1}{y+3} + \frac{2}{y^2+4y+3} $

а) Чтобы сложить дроби $ \frac{6}{x^2+x-2} + \frac{2}{x+2} $, необходимо привести их к общему знаменателю. Для этого сначала разложим на множители знаменатель первой дроби.

1. Разложим на множители квадратный трехчлен $x^2+x-2$. Найдем корни уравнения $x^2+x-2=0$. По теореме Виета, сумма корней равна -1, а их произведение равно -2. Следовательно, корни уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$.
Тогда разложение на множители имеет вид: $x^2+x-2 = (x-1)(x+2)$.

2. Теперь исходное выражение можно записать так:

$ \frac{6}{(x-1)(x+2)} + \frac{2}{x+2} $

3. Общим знаменателем для этих дробей является выражение $(x-1)(x+2)$. Приведем вторую дробь к этому знаменателю, домножив ее числитель и знаменатель на недостающий множитель $(x-1)$:

$ \frac{6}{(x-1)(x+2)} + \frac{2(x-1)}{(x-1)(x+2)} $

4. Теперь, когда знаменатели одинаковы, сложим числители:

$ \frac{6 + 2(x-1)}{(x-1)(x+2)} = \frac{6 + 2x - 2}{(x-1)(x+2)} = \frac{2x+4}{(x-1)(x+2)} $

5. Упростим полученное выражение. В числителе можно вынести за скобки общий множитель 2:

$ \frac{2(x+2)}{(x-1)(x+2)} $

6. Сократим дробь на общий множитель $(x+2)$:

$ \frac{2}{x-1} $

Ответ: $ \frac{2}{x-1} $.

---

б) Чтобы сложить дроби $ \frac{1}{y+3} + \frac{2}{y^2+4y+3} $, приведем их к общему знаменателю.

1. Разложим на множители знаменатель второй дроби $y^2+4y+3$. Найдем корни уравнения $y^2+4y+3=0$. По теореме Виета, сумма корней равна -4, а их произведение равно 3. Следовательно, корни уравнения: $y_1 = -1$ и $y_2 = -3$.
Тогда разложение на множители имеет вид: $y^2+4y+3 = (y+1)(y+3)$.

2. Перепишем исходное выражение с разложенным знаменателем:

$ \frac{1}{y+3} + \frac{2}{(y+1)(y+3)} $

3. Общий знаменатель дробей — $(y+1)(y+3)$. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на недостающий множитель $(y+1)$:

$ \frac{1(y+1)}{(y+1)(y+3)} + \frac{2}{(y+1)(y+3)} $

4. Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{y+1+2}{(y+1)(y+3)} = \frac{y+3}{(y+1)(y+3)} $

5. Сократим полученную дробь на общий множитель $(y+3)$:

$ \frac{1}{y+1} $

Ответ: $ \frac{1}{y+1} $.