Номер 351, страница 150 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 351, страница 150.

351 a) $(\frac{2}{a} + \frac{a}{2} - 2) \cdot \frac{a}{6a - 12}$;

б) $(\frac{m}{n} + \frac{n}{m} + 2) : (m + 2n + \frac{n^2}{m});

в) $(\frac{p}{q} - \frac{q}{p}) \cdot (\frac{p}{p - q} - \frac{p}{p + q});

г) $(y - \frac{y^2}{y + 1}) : (y - \frac{y}{y + 1}).

а) Для решения этого примера сначала выполним действия в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $2a$.
$\frac{2}{a} + \frac{a}{2} - 2 = \frac{2 \cdot 2}{2a} + \frac{a \cdot a}{2a} - \frac{2 \cdot 2a}{2a} = \frac{4 + a^2 - 4a}{2a}$.
В числителе получилась формула квадрата разности: $a^2 - 4a + 4 = (a-2)^2$.
Таким образом, выражение в скобках равно $\frac{(a-2)^2}{2a}$.
Теперь упростим вторую дробь, вынеся в знаменателе общий множитель за скобки:
$\frac{a}{6a - 12} = \frac{a}{6(a-2)}$.
Теперь выполним умножение полученных выражений:
$\frac{(a-2)^2}{2a} \cdot \frac{a}{6(a-2)}$.
Сократим общие множители $a$ и $(a-2)$:
$\frac{(a-2)^{\cancel{2}}}{2\cancel{a}} \cdot \frac{\cancel{a}}{6\cancel{(a-2)}} = \frac{a-2}{2 \cdot 6} = \frac{a-2}{12}$.
Ответ: $\frac{a-2}{12}$.

б) Сначала упростим выражение в первых скобках, приведя его к общему знаменателю $mn$:
$\frac{m}{n} + \frac{n}{m} + 2 = \frac{m \cdot m}{mn} + \frac{n \cdot n}{mn} + \frac{2 \cdot mn}{mn} = \frac{m^2 + n^2 + 2mn}{mn}$.
В числителе получилась формула квадрата суммы: $m^2 + 2mn + n^2 = (m+n)^2$.
Таким образом, первая скобка равна $\frac{(m+n)^2}{mn}$.
Теперь упростим выражение во вторых скобках, приведя его к общему знаменателю $m$:
$m + 2n + \frac{n^2}{m} = \frac{m \cdot m}{m} + \frac{2n \cdot m}{m} + \frac{n^2}{m} = \frac{m^2 + 2mn + n^2}{m} = \frac{(m+n)^2}{m}$.
Теперь выполним деление. Разделить на дробь — это то же самое, что умножить на обратную ей дробь:
$\frac{(m+n)^2}{mn} : \frac{(m+n)^2}{m} = \frac{(m+n)^2}{mn} \cdot \frac{m}{(m+n)^2}$.
Сократим общие множители $(m+n)^2$ и $m$:
$\frac{\cancel{(m+n)^2}}{\cancel{m}n} \cdot \frac{\cancel{m}}{\cancel{(m+n)^2}} = \frac{1}{n}$.
Ответ: $\frac{1}{n}$.

в) Упростим выражение в каждой из скобок.
Первая скобка. Общий знаменатель $pq$:
$\frac{p}{q} - \frac{q}{p} = \frac{p^2 - q^2}{pq}$. В числителе формула разности квадратов: $\frac{(p-q)(p+q)}{pq}$.
Вторая скобка. Общий знаменатель $(p-q)(p+q)$:
$\frac{p}{p-q} - \frac{p}{p+q} = \frac{p(p+q) - p(p-q)}{(p-q)(p+q)} = \frac{p^2+pq - p^2+pq}{(p-q)(p+q)} = \frac{2pq}{(p-q)(p+q)}$.
Теперь перемножим полученные выражения:
$\frac{(p-q)(p+q)}{pq} \cdot \frac{2pq}{(p-q)(p+q)}$.
Сократим общие множители $(p-q)$, $(p+q)$ и $pq$:
$\frac{\cancel{(p-q)(p+q)}}{\cancel{pq}} \cdot \frac{2\cancel{pq}}{\cancel{(p-q)(p+q)}} = 2$.
Ответ: $2$.

г) Упростим поочередно выражения в скобках.
Первая скобка. Общий знаменатель $(y+1)$:
$y - \frac{y^2}{y+1} = \frac{y(y+1) - y^2}{y+1} = \frac{y^2+y-y^2}{y+1} = \frac{y}{y+1}$.
Вторая скобка. Общий знаменатель $(y+1)$:
$y - \frac{y}{y+1} = \frac{y(y+1) - y}{y+1} = \frac{y^2+y-y}{y+1} = \frac{y^2}{y+1}$.
Теперь выполним деление полученных дробей:
$\frac{y}{y+1} : \frac{y^2}{y+1} = \frac{y}{y+1} \cdot \frac{y+1}{y^2}$.
Сократим общие множители $(y+1)$ и $y$:
$\frac{\cancel{y}}{\cancel{y+1}} \cdot \frac{\cancel{y+1}}{y^{\cancel{2}}} = \frac{1}{y}$.
Ответ: $\frac{1}{y}$.