Номер 358, страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.1. Рациональные выражения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 358, страница 152.

358 Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения:

а) $ \left(x - y - \frac{x^2 - y^2}{y}\right) \cdot \frac{y}{xy - x^2} $ равно 1;

б) $ \left(\frac{1}{a - 1} - \frac{2}{a^2 - 1}\right) \cdot \frac{a + 1}{2} $ равно 0,5;

в) $ \frac{b + c}{b - c} - \frac{b^2 + c^2}{b^2 - c^2} + \frac{2bc}{c^2 - b^2} $ равно 0;

г) $ \frac{1 - m}{m} \cdot \frac{m^2}{m^2 - 1} + \frac{m^2 - m}{m^2 - 1} $ равно 0.

а) Чтобы доказать, что значение выражения равно 1, упростим его. Сначала выполним вычитание в скобках, приведя все члены к общему знаменателю $y$.

$\left(x - y - \frac{x^2 - y^2}{y}\right) = \frac{x \cdot y}{y} - \frac{y \cdot y}{y} - \frac{x^2 - y^2}{y} = \frac{xy - y^2 - (x^2 - y^2)}{y} = \frac{xy - y^2 - x^2 + y^2}{y} = \frac{xy - x^2}{y}$

Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:

$\frac{xy - x^2}{y} \cdot \frac{y}{xy - x^2}$

При условии, что $y \neq 0$ и $xy - x^2 \neq 0$ (т.е. $x \neq 0$ и $x \neq y$), мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{xy - x^2}}{\cancel{y}} \cdot \frac{\cancel{y}}{\cancel{xy - x^2}} = 1$

Таким образом, при всех допустимых значениях переменных выражение равно 1.
Ответ: 1

б) Упростим выражение, чтобы доказать, что его значение равно 0,5. Сначала выполним действие в скобках. Разложим знаменатель $a^2 - 1$ на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$. Общий знаменатель будет $(a-1)(a+1)$.

$\frac{1}{a - 1} - \frac{2}{a^2 - 1} = \frac{1}{a - 1} - \frac{2}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{1 \cdot (a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} - \frac{2}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a + 1 - 2}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a - 1}{(a - 1)(a + 1)}$

Сократим дробь на $(a-1)$, при условии, что $a \neq 1$:

$\frac{\cancel{a - 1}}{(\cancel{a - 1})(a + 1)} = \frac{1}{a + 1}$

Теперь умножим результат на вторую дробь $\frac{a+1}{2}$:

$\frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a + 1}{2}$

Сократим на $(a+1)$, при условии, что $a \neq -1$:

$\frac{1}{\cancel{a + 1}} \cdot \frac{\cancel{a + 1}}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$

Равенство верно при всех допустимых значениях $a$, т.е. когда $a \neq 1$ и $a \neq -1$.
Ответ: 0,5

в) Упростим данное выражение. Заметим, что знаменатели связаны друг с другом. $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$, а $c^2 - b^2 = -(b^2 - c^2)$. Используем это для приведения к общему знаменателю $b^2 - c^2$.

$\frac{b + c}{b - c} - \frac{b^2 + c^2}{b^2 - c^2} + \frac{2bc}{c^2 - b^2} = \frac{(b + c)(b + c)}{(b - c)(b + c)} - \frac{b^2 + c^2}{b^2 - c^2} - \frac{2bc}{b^2 - c^2} = \frac{(b+c)^2}{b^2 - c^2} - \frac{b^2 + c^2}{b^2 - c^2} - \frac{2bc}{b^2 - c^2}$

Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель, объединим их числители:

$\frac{(b+c)^2 - (b^2 + c^2) - 2bc}{b^2 - c^2}$

Раскроем скобки в числителе. $(b+c)^2 = b^2 + 2bc + c^2$:

$\frac{b^2 + 2bc + c^2 - b^2 - c^2 - 2bc}{b^2 - c^2} = \frac{(b^2 - b^2) + (c^2 - c^2) + (2bc - 2bc)}{b^2 - c^2} = \frac{0}{b^2 - c^2}$

При условии, что знаменатель не равен нулю ($b^2 - c^2 \neq 0$, то есть $b \neq c$ и $b \neq -c$), значение выражения равно 0.
Ответ: 0

г) Упростим выражение. Оно состоит из двух слагаемых. Сначала упростим первое слагаемое, которое является произведением двух дробей.

$\frac{1 - m}{m} \cdot \frac{m^2}{m^2 - 1} = \frac{-(m - 1)}{m} \cdot \frac{m^2}{(m - 1)(m + 1)}$

Сократим $m$ и $(m-1)$, при условии, что $m \neq 0$ и $m \neq 1$:

$\frac{-(\cancel{m - 1})}{\cancel{m}} \cdot \frac{m^{\cancel{2}}}{(\cancel{m - 1})(m + 1)} = \frac{-m}{m+1}$

Теперь упростим второе слагаемое:

$\frac{m^2 - m}{m^2 - 1} = \frac{m(m - 1)}{(m - 1)(m + 1)}$

Сократим $(m-1)$, при условии, что $m \neq 1$:

$\frac{m(\cancel{m - 1})}{(\cancel{m - 1})(m + 1)} = \frac{m}{m+1}$

Теперь сложим полученные упрощенные слагаемые:

$\frac{-m}{m+1} + \frac{m}{m+1} = \frac{-m + m}{m+1} = \frac{0}{m+1}$

При условии, что знаменатель не равен нулю ($m+1 \neq 0$, то есть $m \neq -1$), значение выражения равно 0. Область допустимых значений для исходного выражения: $m \neq 0, m \neq 1, m \neq -1$.
Ответ: 0