Страница 152 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

358 Докажите, что при всех допустимых значениях переменных значение выражения:

а) $ \left(x - y - \frac{x^2 - y^2}{y}\right) \cdot \frac{y}{xy - x^2} $ равно 1;

б) $ \left(\frac{1}{a - 1} - \frac{2}{a^2 - 1}\right) \cdot \frac{a + 1}{2} $ равно 0,5;

в) $ \frac{b + c}{b - c} - \frac{b^2 + c^2}{b^2 - c^2} + \frac{2bc}{c^2 - b^2} $ равно 0;

г) $ \frac{1 - m}{m} \cdot \frac{m^2}{m^2 - 1} + \frac{m^2 - m}{m^2 - 1} $ равно 0.

а) Чтобы доказать, что значение выражения равно 1, упростим его. Сначала выполним вычитание в скобках, приведя все члены к общему знаменателю $y$.

$\left(x - y - \frac{x^2 - y^2}{y}\right) = \frac{x \cdot y}{y} - \frac{y \cdot y}{y} - \frac{x^2 - y^2}{y} = \frac{xy - y^2 - (x^2 - y^2)}{y} = \frac{xy - y^2 - x^2 + y^2}{y} = \frac{xy - x^2}{y}$

Теперь умножим полученный результат на вторую дробь:

$\frac{xy - x^2}{y} \cdot \frac{y}{xy - x^2}$

При условии, что $y \neq 0$ и $xy - x^2 \neq 0$ (т.е. $x \neq 0$ и $x \neq y$), мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:

$\frac{\cancel{xy - x^2}}{\cancel{y}} \cdot \frac{\cancel{y}}{\cancel{xy - x^2}} = 1$

Таким образом, при всех допустимых значениях переменных выражение равно 1.
Ответ: 1

б) Упростим выражение, чтобы доказать, что его значение равно 0,5. Сначала выполним действие в скобках. Разложим знаменатель $a^2 - 1$ на множители по формуле разности квадратов: $a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)$. Общий знаменатель будет $(a-1)(a+1)$.

$\frac{1}{a - 1} - \frac{2}{a^2 - 1} = \frac{1}{a - 1} - \frac{2}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{1 \cdot (a + 1)}{(a - 1)(a + 1)} - \frac{2}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a + 1 - 2}{(a - 1)(a + 1)} = \frac{a - 1}{(a - 1)(a + 1)}$

Сократим дробь на $(a-1)$, при условии, что $a \neq 1$:

$\frac{\cancel{a - 1}}{(\cancel{a - 1})(a + 1)} = \frac{1}{a + 1}$

Теперь умножим результат на вторую дробь $\frac{a+1}{2}$:

$\frac{1}{a + 1} \cdot \frac{a + 1}{2}$

Сократим на $(a+1)$, при условии, что $a \neq -1$:

$\frac{1}{\cancel{a + 1}} \cdot \frac{\cancel{a + 1}}{2} = \frac{1}{2} = 0,5$

Равенство верно при всех допустимых значениях $a$, т.е. когда $a \neq 1$ и $a \neq -1$.
Ответ: 0,5

в) Упростим данное выражение. Заметим, что знаменатели связаны друг с другом. $b^2 - c^2 = (b-c)(b+c)$, а $c^2 - b^2 = -(b^2 - c^2)$. Используем это для приведения к общему знаменателю $b^2 - c^2$.

$\frac{b + c}{b - c} - \frac{b^2 + c^2}{b^2 - c^2} + \frac{2bc}{c^2 - b^2} = \frac{(b + c)(b + c)}{(b - c)(b + c)} - \frac{b^2 + c^2}{b^2 - c^2} - \frac{2bc}{b^2 - c^2} = \frac{(b+c)^2}{b^2 - c^2} - \frac{b^2 + c^2}{b^2 - c^2} - \frac{2bc}{b^2 - c^2}$

Теперь, когда все дроби имеют общий знаменатель, объединим их числители:

$\frac{(b+c)^2 - (b^2 + c^2) - 2bc}{b^2 - c^2}$

Раскроем скобки в числителе. $(b+c)^2 = b^2 + 2bc + c^2$:

$\frac{b^2 + 2bc + c^2 - b^2 - c^2 - 2bc}{b^2 - c^2} = \frac{(b^2 - b^2) + (c^2 - c^2) + (2bc - 2bc)}{b^2 - c^2} = \frac{0}{b^2 - c^2}$

При условии, что знаменатель не равен нулю ($b^2 - c^2 \neq 0$, то есть $b \neq c$ и $b \neq -c$), значение выражения равно 0.
Ответ: 0

г) Упростим выражение. Оно состоит из двух слагаемых. Сначала упростим первое слагаемое, которое является произведением двух дробей.

$\frac{1 - m}{m} \cdot \frac{m^2}{m^2 - 1} = \frac{-(m - 1)}{m} \cdot \frac{m^2}{(m - 1)(m + 1)}$

Сократим $m$ и $(m-1)$, при условии, что $m \neq 0$ и $m \neq 1$:

$\frac{-(\cancel{m - 1})}{\cancel{m}} \cdot \frac{m^{\cancel{2}}}{(\cancel{m - 1})(m + 1)} = \frac{-m}{m+1}$

Теперь упростим второе слагаемое:

$\frac{m^2 - m}{m^2 - 1} = \frac{m(m - 1)}{(m - 1)(m + 1)}$

Сократим $(m-1)$, при условии, что $m \neq 1$:

$\frac{m(\cancel{m - 1})}{(\cancel{m - 1})(m + 1)} = \frac{m}{m+1}$

Теперь сложим полученные упрощенные слагаемые:

$\frac{-m}{m+1} + \frac{m}{m+1} = \frac{-m + m}{m+1} = \frac{0}{m+1}$

При условии, что знаменатель не равен нулю ($m+1 \neq 0$, то есть $m \neq -1$), значение выражения равно 0. Область допустимых значений для исходного выражения: $m \neq 0, m \neq 1, m \neq -1$.
Ответ: 0

359 Докажите, что при всех значениях переменных:

а) значение выражения

$(a - b)^2 + (a + b)^2 - (a - b)(a + b)$

является числом неотрицательным;

б) значение выражения

$(x + 2)(x - 2) - (2x - 1)(2x + 1) + 3$

является числом неположительным.

а) Чтобы доказать, что значение выражения является неотрицательным, нужно его упростить. Для этого воспользуемся формулами сокращенного умножения:

• Квадрат разности: $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
• Квадрат суммы: $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
• Разность квадратов: $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$

Подставим раскрытые скобки в исходное выражение:

$(a - b)^2 + (a + b)^2 - (a - b)(a + b) = (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - b^2)$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$a^2 - 2ab + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + b^2 = (a^2 + a^2 - a^2) + (-2ab + 2ab) + (b^2 + b^2 + b^2) = a^2 + 3b^2$

Проанализируем полученное выражение $a^2 + 3b^2$.

При любом значении $a$, $a^2 \ge 0$.

При любом значении $b$, $b^2 \ge 0$, а значит и $3b^2 \ge 0$.

Сумма двух неотрицательных чисел ($a^2$ и $3b^2$) также является неотрицательным числом. Следовательно, $a^2 + 3b^2 \ge 0$ при любых значениях переменных $a$ и $b$.

Ответ: Выражение равно $a^2 + 3b^2$, что всегда больше или равно нулю, следовательно, оно является неотрицательным.

б) Чтобы доказать, что значение выражения является неположительным, нужно его упростить. Воспользуемся формулой разности квадратов: $(c - d)(c + d) = c^2 - d^2$.

Применим эту формулу к двум парам скобок в выражении:

$(x + 2)(x - 2) = x^2 - 2^2 = x^2 - 4$

$(2x - 1)(2x + 1) = (2x)^2 - 1^2 = 4x^2 - 1$

Подставим полученные результаты в исходное выражение:

$(x + 2)(x - 2) - (2x - 1)(2x + 1) + 3 = (x^2 - 4) - (4x^2 - 1) + 3$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$x^2 - 4 - 4x^2 + 1 + 3 = (x^2 - 4x^2) + (-4 + 1 + 3) = -3x^2 + 0 = -3x^2$

Проанализируем полученное выражение $-3x^2$.

При любом значении $x$, $x^2 \ge 0$.

При умножении неотрицательного числа ($x^2$) на отрицательное число ($-3$), результат всегда будет меньше или равен нулю. Следовательно, $-3x^2 \le 0$ при любом значении переменной $x$.

Ответ: Выражение равно $-3x^2$, что всегда меньше или равно нулю, следовательно, оно является неположительным.

360 Найдите область определения выражения:

а) $\frac{b}{b^3 - 1} - \frac{1}{b}$

б) $\frac{3}{a^2 - 4} + \frac{a}{(a - 1)^2}$

в) $\frac{x + 3}{x^2 - x - 20} - \frac{3}{x^2 - 9}$

г) $\frac{1}{2x^2 + x} - \frac{1}{2x^2 - x + 1}$

а)

Область определения выражения $ \frac{b}{b^3 - 1} - \frac{1}{b} $ находится из условия, что знаменатели входящих в него дробей не должны обращаться в ноль. Это приводит к системе неравенств:

$ \begin{cases} b^3 - 1 \neq 0 \\ b \neq 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство:

$ b^3 \neq 1 $

$ b \neq \sqrt[3]{1} $

$ b \neq 1 $

Второе неравенство $ b \neq 0 $ уже представлено в готовом виде. Таким образом, область определения выражения — это все действительные числа, за исключением $0$ и $1$.

Ответ: $b \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

б)

Область определения выражения $ \frac{3}{a^2 - 4} + \frac{a}{(a - 1)^2} $ определяется условиями, при которых знаменатели дробей не равны нулю:

$ \begin{cases} a^2 - 4 \neq 0 \\ (a - 1)^2 \neq 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство, разложив левую часть на множители по формуле разности квадратов:

$ (a - 2)(a + 2) \neq 0 $

Отсюда следует, что $ a \neq 2 $ и $ a \neq -2 $.

Решим второе неравенство:

$ (a - 1)^2 \neq 0 $

$ a - 1 \neq 0 $

$ a \neq 1 $

Объединяя все условия, получаем, что переменная $a$ может быть любым действительным числом, кроме $-2$, $1$ и $2$.

Ответ: $a \in (-\infty; -2) \cup (-2; 1) \cup (1; 2) \cup (2; +\infty)$.

в)

Для нахождения области определения выражения $ \frac{x + 3}{x^2 - x - 20} - \frac{3}{x^2 - 9} $ необходимо, чтобы оба знаменателя были не равны нулю:

$ \begin{cases} x^2 - x - 20 \neq 0 \\ x^2 - 9 \neq 0 \end{cases} $

Рассмотрим первое неравенство. Найдем корни квадратного уравнения $ x^2 - x - 20 = 0 $. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-20) = 1 + 80 = 81 = 9^2$.

$ x_1 = \frac{1 - 9}{2} = -4 $

$ x_2 = \frac{1 + 9}{2} = 5 $

Следовательно, $ x \neq -4 $ и $ x \neq 5 $.

Рассмотрим второе неравенство:

$ x^2 - 9 \neq 0 $

$ (x - 3)(x + 3) \neq 0 $

Отсюда $ x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $.

Таким образом, из области определения исключаются числа $-4, -3, 3, 5$.

Ответ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; 5) \cup (5; +\infty)$.

г)

Область определения выражения $ \frac{1}{2x^2 + x} - \frac{1}{2x^2 - x + 1} $ находится из условий неравенства нулю знаменателей:

$ \begin{cases} 2x^2 + x \neq 0 \\ 2x^2 - x + 1 \neq 0 \end{cases} $

Решим первое неравенство, вынеся общий множитель за скобки:

$ x(2x + 1) \neq 0 $

Это означает, что $ x \neq 0 $ и $ 2x + 1 \neq 0 $, откуда $ x \neq -0.5 $.

Решим второе неравенство. Для этого проверим, имеет ли квадратное уравнение $ 2x^2 - x + 1 = 0 $ действительные корни. Найдем дискриминант:

$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 1 = 1 - 8 = -7 $

Поскольку дискриминант $ D < 0 $, уравнение $ 2x^2 - x + 1 = 0 $ не имеет действительных корней. Так как коэффициент при $x^2$ положителен ($2 > 0$), то выражение $ 2x^2 - x + 1 $ всегда положительно при любом значении $x$. Следовательно, второе условие выполняется для всех действительных чисел.

Ограничения на область определения накладывает только первый знаменатель: $ x \neq 0 $ и $ x \neq -0.5 $.

Ответ: $x \in (-\infty; -0.5) \cup (-0.5; 0) \cup (0; +\infty)$.

361 Какова область определения выражения? Укажите несколько пар значений x и y, при которых выражение не имеет смысла:

а) $ \frac{xy}{x-y} $;

б) $ \frac{x-y}{x+y} $;

в) $ \frac{x^2+y^2}{xy} $;

г) $ \frac{x+y}{x^2+y^2} $.

а)

Рассмотрим выражение $\frac{xy}{x-y}$. Это алгебраическая дробь. Она имеет смысл тогда, когда ее знаменатель не равен нулю.

Найдем условие, при котором знаменатель обращается в ноль: $x - y = 0$ $x = y$

Таким образом, область определения данного выражения — это множество всех пар чисел $(x, y)$, для которых выполняется условие $x \neq y$.

Выражение не имеет смысла, когда $x = y$. Несколько примеров таких пар: $(1, 1)$, $(5, 5)$, $(-3, -3)$.

Ответ: Область определения: все пары чисел $(x, y)$, такие что $x \neq y$. Пары, при которых выражение не имеет смысла: $(1, 1)$, $(5, 5)$, $(-3, -3)$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{x-y}{x+y}$. Это алгебраическая дробь. Она имеет смысл тогда, когда ее знаменатель не равен нулю.

Найдем условие, при котором знаменатель обращается в ноль: $x + y = 0$ $y = -x$

Таким образом, область определения данного выражения — это множество всех пар чисел $(x, y)$, для которых выполняется условие $y \neq -x$ (или $x+y \neq 0$).

Выражение не имеет смысла, когда $y = -x$. Несколько примеров таких пар: $(2, -2)$, $(-1, 1)$, $(10, -10)$.

Ответ: Область определения: все пары чисел $(x, y)$, такие что $x+y \neq 0$. Пары, при которых выражение не имеет смысла: $(2, -2)$, $(-1, 1)$, $(10, -10)$.

в)

Рассмотрим выражение $\frac{x^2+y^2}{xy}$. Это алгебраическая дробь. Она имеет смысл тогда, когда ее знаменатель не равен нулю.

Найдем условие, при котором знаменатель обращается в ноль: $xy = 0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, то есть $x = 0$ или $y = 0$.

Таким образом, область определения данного выражения — это множество всех пар чисел $(x, y)$, для которых $x \neq 0$ и одновременно $y \neq 0$.

Выражение не имеет смысла, когда $x=0$ или $y=0$. Несколько примеров таких пар: $(0, 5)$, $(3, 0)$, $(0, -4)$, $(0,0)$.

Ответ: Область определения: все пары чисел $(x, y)$, такие что $x \neq 0$ и $y \neq 0$. Пары, при которых выражение не имеет смысла: $(0, 5)$, $(3, 0)$, $(0, 0)$.

г)

Рассмотрим выражение $\frac{x+y}{x^2+y^2}$. Это алгебраическая дробь. Она имеет смысл тогда, когда ее знаменатель не равен нулю.

Найдем условие, при котором знаменатель обращается в ноль: $x^2 + y^2 = 0$

Поскольку квадраты любых действительных чисел неотрицательны ($x^2 \ge 0$ и $y^2 \ge 0$), их сумма может быть равна нулю только в том случае, когда оба слагаемых равны нулю одновременно: $x^2 = 0$ и $y^2 = 0$. Это возможно только при $x=0$ и $y=0$.

Таким образом, область определения данного выражения — это множество всех пар чисел $(x, y)$, за исключением пары $(0, 0)$.

Выражение не имеет смысла только при одной паре значений: $(0, 0)$.

Ответ: Область определения: все пары чисел $(x, y)$, кроме $(0, 0)$. Единственная пара, при которой выражение не имеет смысла: $(0, 0)$.

362 Найдите область определения выражения:

а) $\frac{x + y + z}{x^2 + y^2 + z^2}$

б) $\frac{x + y + z}{x^2 + y^2 + 1}$

в) $\frac{\frac{1}{x + y} + z}{x^2 + y^2 + 1}$

а) Область определения выражения $ \frac{x+y+z}{x^2+y^2+z^2} $ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Знаменатель равен $ x^2+y^2+z^2 $. Найдем, при каких значениях переменных он обращается в ноль:

$ x^2+y^2+z^2 = 0 $

Так как квадраты действительных чисел неотрицательны ($ x^2 \ge 0 $, $ y^2 \ge 0 $ и $ z^2 \ge 0 $), их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда каждое слагаемое равно нулю:

$ x^2 = 0 \Rightarrow x=0 $

$ y^2 = 0 \Rightarrow y=0 $

$ z^2 = 0 \Rightarrow z=0 $

Таким образом, знаменатель обращается в ноль только в одной точке $ (0, 0, 0) $. Следовательно, эту точку необходимо исключить из области определения.

Ответ: Область определения – все точки $ (x, y, z) $ пространства $ \mathbb{R}^3 $, кроме точки $ (0, 0, 0) $. Или в виде множества: $ \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 \mid x^2+y^2+z^2 \neq 0 \} $.

б) Область определения выражения $ \frac{x+y+z}{x^2+y^2+1} $ находится из условия, что знаменатель дроби не должен быть равен нулю.

Знаменатель равен $ x^2+y^2+1 $. Проверим, может ли он быть равен нулю.

Поскольку $ x^2 \ge 0 $ и $ y^2 \ge 0 $ для любых действительных чисел $ x $ и $ y $, их сумма $ x^2+y^2 \ge 0 $.

Тогда $ x^2+y^2+1 \ge 0+1=1 $.

Знаменатель всегда больше или равен 1, следовательно, он никогда не обращается в ноль. Переменная $ z $ в числителе может принимать любые действительные значения.

Таким образом, выражение определено для любых действительных значений $ x, y, z $.

Ответ: Область определения – все точки $ (x, y, z) $ пространства $ \mathbb{R}^3 $.

в) Выражение $ \frac{\frac{1}{x+y}+z}{x^2+y^2+1} $ является сложной дробью. Для нахождения области определения необходимо, чтобы все знаменатели в выражении были отличны от нуля.

В данном выражении есть два знаменателя:

1. Знаменатель внутренней дроби $ \frac{1}{x+y} $, который равен $ x+y $.

2. Знаменатель основной дроби, который равен $ x^2+y^2+1 $.

Соответственно, должны выполняться два условия:

1. $ x+y \neq 0 $, что эквивалентно $ y \neq -x $. Это условие исключает все точки, лежащие на плоскости $ x+y=0 $.

2. $ x^2+y^2+1 \neq 0 $. Как было показано в пункте б), $ x^2+y^2+1 \ge 1 $, поэтому это условие выполняется для любых действительных $ x $ и $ y $.

Таким образом, единственным ограничением для области определения является $ x+y \neq 0 $.

Ответ: Область определения – множество всех точек $ (x, y, z) $ пространства $ \mathbb{R}^3 $, для которых выполняется условие $ x+y \neq 0 $.