Страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

378 a) $\frac{x}{6} + \frac{x}{18} = \frac{10}{9}$;

б) $\frac{y}{7} + 1 = \frac{y}{14}$;

В) $\frac{z+3}{8} - z = 3$;

Г) $\frac{y-5}{3} = \frac{y}{5} + 1$;

Д) $\frac{u-2}{2} = \frac{u-6}{6}$;

е) $\frac{t+2}{2} = \frac{5+2t}{3}$.

а) $\frac{x}{6} + \frac{x}{18} = \frac{10}{9}$
Чтобы решить это уравнение, приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей 6, 18 и 9 равно 18. Умножим обе части уравнения на 18, чтобы избавиться от дробей:
$18 \cdot \left(\frac{x}{6} + \frac{x}{18}\right) = 18 \cdot \frac{10}{9}$
$\frac{18x}{6} + \frac{18x}{18} = \frac{18 \cdot 10}{9}$
Выполняем сокращения:
$3x + x = 2 \cdot 10$
Складываем слагаемые с переменной $x$ в левой части и вычисляем правую часть:
$4x = 20$
Делим обе части на 4, чтобы найти $x$:
$x = \frac{20}{4}$
$x = 5$
Ответ: $x=5$

б) $\frac{y}{7} + 1 = \frac{y}{14}$
Перенесем слагаемые с переменной $y$ в одну часть уравнения, а числа — в другую. Перенесем $\frac{y}{14}$ влево, а 1 — вправо, меняя их знаки:
$\frac{y}{7} - \frac{y}{14} = -1$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю 14. Дополнительный множитель для первой дроби — 2.
$\frac{2y}{14} - \frac{y}{14} = -1$
$\frac{2y - y}{14} = -1$
$\frac{y}{14} = -1$
Умножим обе части уравнения на 14:
$y = -1 \cdot 14$
$y = -14$
Ответ: $y=-14$

в) $\frac{z+3}{8} - z = 3$
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все члены уравнения на 8:
$8 \cdot \left(\frac{z+3}{8} - z\right) = 8 \cdot 3$
$8 \cdot \frac{z+3}{8} - 8 \cdot z = 24$
$(z+3) - 8z = 24$
Раскрываем скобки и приводим подобные слагаемые:
$z + 3 - 8z = 24$
$-7z + 3 = 24$
Переносим 3 в правую часть уравнения с противоположным знаком:
$-7z = 24 - 3$
$-7z = 21$
Делим обе части на -7:
$z = \frac{21}{-7}$
$z = -3$
Ответ: $z=-3$

г) $\frac{y-5}{3} = \frac{y}{5} + 1$
Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 — это 15. Умножим обе части уравнения на 15:
$15 \cdot \frac{y-5}{3} = 15 \cdot \left(\frac{y}{5} + 1\right)$
$15 \cdot \frac{y-5}{3} = 15 \cdot \frac{y}{5} + 15 \cdot 1$
Сокращаем дроби:
$5(y-5) = 3y + 15$
Раскрываем скобки:
$5y - 25 = 3y + 15$
Переносим слагаемые с $y$ в левую часть, а числа — в правую:
$5y - 3y = 15 + 25$
$2y = 40$
Находим $y$:
$y = \frac{40}{2}$
$y = 20$
Ответ: $y=20$

д) $\frac{u-2}{2} = \frac{u-6}{6}$
Это пропорция. Мы можем использовать основное свойство пропорции (произведение крайних членов равно произведению средних) или умножить обе части на наименьший общий знаменатель, который равен 6.
Умножим на 6:
$6 \cdot \frac{u-2}{2} = 6 \cdot \frac{u-6}{6}$
$3(u-2) = 1(u-6)$
Раскрываем скобки:
$3u - 6 = u - 6$
Переносим слагаемые с $u$ влево, а числа вправо:
$3u - u = -6 + 6$
$2u = 0$
$u = 0$
Ответ: $u=0$

е) $\frac{t+2}{2} = \frac{5+2t}{3}$
Это также пропорция. Применим основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$3(t+2) = 2(5+2t)$
Раскрываем скобки в обеих частях уравнения:
$3t + 6 = 10 + 4t$
Перенесем слагаемые с переменной $t$ в одну сторону (например, вправо), а числовые слагаемые — в другую (влево):
$6 - 10 = 4t - 3t$
Выполняем вычисления:
$-4 = t$
Ответ: $t=-4$

379 a) $ \frac{x^2 - x}{2} - \frac{x+1}{3} = 1; $

б) $ \frac{t+8}{8} - t = \frac{1-t^2}{4}; $

В) $ \frac{y^2}{5} = \frac{11}{2} + \frac{y}{10}; $

Г) $ \frac{5}{6} - \frac{z^2}{3} = \frac{2z+3}{2}. $

а) Дано уравнение $\frac{x^2 - x}{2} - \frac{x + 1}{3} = 1$.
Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель, который равен 6: $6 \cdot \frac{x^2 - x}{2} - 6 \cdot \frac{x + 1}{3} = 6 \cdot 1$
$3(x^2 - x) - 2(x + 1) = 6$
Раскроем скобки: $3x^2 - 3x - 2x - 2 = 6$
Приведем подобные слагаемые и перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $3x^2 - 5x - 2 - 6 = 0$
$3x^2 - 5x - 8 = 0$
Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 25 + 96 = 121$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11$. $x_{1} = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 11}{2 \cdot 3} = \frac{16}{6} = \frac{8}{3}$
$x_{2} = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 11}{2 \cdot 3} = \frac{-6}{6} = -1$
Ответ: $x_1 = \frac{8}{3}, x_2 = -1$.

б) Дано уравнение $\frac{t + 8}{8} - t = \frac{1 - t^2}{4}$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 8: $8 \cdot (\frac{t + 8}{8} - t) = 8 \cdot \frac{1 - t^2}{4}$
$t + 8 - 8t = 2(1 - t^2)$
Упростим левую часть и раскроем скобки в правой: $-7t + 8 = 2 - 2t^2$
Перенесем все члены в левую часть: $2t^2 - 7t + 8 - 2 = 0$
$2t^2 - 7t + 6 = 0$
Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 6 = 49 - 48 = 1$
$\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$. Найдем корни: $t_{1} = \frac{7 + 1}{2 \cdot 2} = \frac{8}{4} = 2$
$t_{2} = \frac{7 - 1}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$
Ответ: $t_1 = 2, t_2 = \frac{3}{2}$.

в) Дано уравнение $\frac{y^2}{5} = \frac{11}{2} + \frac{y}{10}$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 10: $10 \cdot \frac{y^2}{5} = 10 \cdot \frac{11}{2} + 10 \cdot \frac{y}{10}$
$2y^2 = 55 + y$
Перенесем все члены в левую часть: $2y^2 - y - 55 = 0$
Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-55) = 1 + 440 = 441$
$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$. Найдем корни: $y_{1} = \frac{1 + 21}{2 \cdot 2} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2} = 5.5$
$y_{2} = \frac{1 - 21}{2 \cdot 2} = \frac{-20}{4} = -5$
Ответ: $y_1 = 5.5, y_2 = -5$.

г) Дано уравнение $\frac{5}{6} - \frac{z^2}{3} = \frac{2z + 3}{2}$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель 6: $6 \cdot (\frac{5}{6} - \frac{z^2}{3}) = 6 \cdot \frac{2z + 3}{2}$
$5 - 2z^2 = 3(2z + 3)$
Раскроем скобки: $5 - 2z^2 = 6z + 9$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы коэффициент при $z^2$ был положительным: $0 = 2z^2 + 6z + 9 - 5$
$2z^2 + 6z + 4 = 0$
Разделим все уравнение на 2 для упрощения: $z^2 + 3z + 2 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна -3, а их произведение равно 2. Легко подобрать корни: $z_1 = -1$ и $z_2 = -2$. Проверим: $(-1) + (-2) = -3$ и $(-1) \cdot (-2) = 2$. Можно также решить через дискриминант: $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$
$z_{1} = \frac{-3 + 1}{2} = \frac{-2}{2} = -1$
$z_{2} = \frac{-3 - 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Ответ: $z_1 = -1, z_2 = -2$.

380 Найдите корни уравнения:

а) $(x - 1)(x + 2)(x + 10) = 0;$

б) $(3x + 6)(2x - 5)(x - 5) = 0;$

в) $(x - 2)(x^2 + 3) = 0;$

г) $3x(10x - 1)(1 - x) = 0;$

д) $(x - 5)(x + 3)^2 = 0;$

е) $-2x(x - 4)(x^2 + 1) = 0.$

а) Данное уравнение представляет собой произведение трех множителей, равное нулю. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Приравниваем каждый множитель к нулю и решаем получившиеся уравнения:
1) $x - 1 = 0 \implies x = 1$
2) $x + 2 = 0 \implies x = -2$
3) $x + 10 = 0 \implies x = -10$
Таким образом, у уравнения три корня.
Ответ: -10; -2; 1.

б) Произведение трех множителей равно нулю. Приравниваем каждый из них к нулю:
1) $3x + 6 = 0 \implies 3x = -6 \implies x = -2$
2) $2x - 5 = 0 \implies 2x = 5 \implies x = 2,5$
3) $x - 5 = 0 \implies x = 5$
Уравнение имеет три корня.
Ответ: -2; 2,5; 5.

в) Произведение двух множителей равно нулю. Приравниваем каждый из них к нулю:
1) $x - 2 = 0 \implies x = 2$
2) $x^2 + 3 = 0 \implies x^2 = -3$. Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным ($x^2 \ge 0$).
Следовательно, уравнение имеет только один корень.
Ответ: 2.

г) Уравнение представляет собой произведение, равное нулю. Приравниваем к нулю каждый множитель, содержащий переменную:
1) $3x = 0 \implies x = 0$
2) $10x - 1 = 0 \implies 10x = 1 \implies x = 0,1$
3) $1 - x = 0 \implies x = 1$
Корнями уравнения являются три числа.
Ответ: 0; 0,1; 1.

д) Произведение равно нулю. Приравниваем множители к нулю:
1) $x - 5 = 0 \implies x = 5$
2) $(x + 3)^2 = 0 \implies x + 3 = 0 \implies x = -3$
Уравнение имеет два различных корня.
Ответ: -3; 5.

е) Произведение равно нулю. Приравниваем к нулю каждый множитель, который может быть равен нулю:
1) $-2x = 0 \implies x = 0$
2) $x - 4 = 0 \implies x = 4$
3) $x^2 + 1 = 0 \implies x^2 = -1$. Данное уравнение не имеет действительных корней, так как $x^2$ всегда неотрицательно для любого действительного $x$.
Уравнение имеет два корня.
Ответ: 0; 4.

381 Какое из уравнений имеет корни, равные 1, -1 и 2?

1) $(x + 1)(x^2 - 4) = 0;$

2) $(x^2 - 1)(x + 2) = 0;$

3) $(x - 2)(x^2 - 1) = 0;$

4) $(x + 1)^2(x - 2) = 0.$

Чтобы определить, какое из уравнений имеет корни, равные 1, -1 и 2, решим каждое из предложенных уравнений. Уравнение, представленное в виде произведения, равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) $(x + 1)(x^2 - 4) = 0;$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $x + 1 = 0$ или $x^2 - 4 = 0$.

Из первого уравнения $x + 1 = 0$ получаем корень $x_1 = -1$.

Из второго уравнения $x^2 - 4 = 0$ следует, что $x^2 = 4$, откуда получаем два корня: $x_2 = 2$ и $x_3 = -2$.

Таким образом, корни этого уравнения: -1, 2, -2. Этот набор не совпадает с требуемым.

Ответ: Корни уравнения: -1, 2, -2.

2) $(x^2 - 1)(x + 2) = 0;$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $x^2 - 1 = 0$ или $x + 2 = 0$.

Из первого уравнения $x^2 - 1 = 0$ следует, что $x^2 = 1$, откуда получаем два корня: $x_1 = 1$ и $x_2 = -1$.

Из второго уравнения $x + 2 = 0$ получаем корень $x_3 = -2$.

Таким образом, корни этого уравнения: 1, -1, -2. Этот набор не совпадает с требуемым.

Ответ: Корни уравнения: 1, -1, -2.

3) $(x - 2)(x^2 - 1) = 0;$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $x - 2 = 0$ или $x^2 - 1 = 0$.

Из первого уравнения $x - 2 = 0$ получаем корень $x_1 = 2$.

Из второго уравнения $x^2 - 1 = 0$ следует, что $x^2 = 1$, откуда получаем два корня: $x_2 = 1$ и $x_3 = -1$.

Таким образом, корни этого уравнения: 2, 1, -1. Этот набор полностью совпадает с требуемым в условии.

Ответ: Корни уравнения: 2, 1, -1.

4) $(x + 1)^2(x - 2) = 0.$

Данное уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений: $(x + 1)^2 = 0$ или $x - 2 = 0$.

Из первого уравнения $(x + 1)^2 = 0$ следует, что $x + 1 = 0$, откуда получаем корень $x_1 = -1$ (корень кратности 2).

Из второго уравнения $x - 2 = 0$ получаем корень $x_2 = 2$.

Таким образом, корни этого уравнения: -1 и 2. В этом наборе отсутствует корень 1.

Ответ: Корни уравнения: -1, 2.

Следовательно, уравнение, которое имеет корни 1, -1 и 2, находится под номером 3.

382 1) Убедитесь, что уравнения

$5x(x + 1)(x - 2) = 0,$

$x^2(x + 1)(2 - x) = 0,$

$x(x + 1)^2(x - 2) = 0,$

$x(x + 1)(2 - x)(x^2 + 1) = 0$

имеют одни и те же корни.

2) Составьте несколько уравнений, корнями которых являются числа:

а) 0; -3; 4;

б) 0; -1; -2; 3.

1)

Чтобы убедиться, что все представленные уравнения имеют одни и те же корни, найдем корни каждого из них. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

Уравнение $5x(x + 1)(x - 2) = 0$:
Множители $5x$, $(x+1)$ и $(x-2)$ равны нулю при $x = 0$, $x = -1$ и $x = 2$ соответственно.
Корни: $\{0, -1, 2\}$.

Уравнение $x(x + 1)^2(x - 2) = 0$:
Множители $x$, $(x+1)^2$ и $(x-2)$ равны нулю при $x = 0$, $x = -1$ и $x = 2$ соответственно.
Корни: $\{0, -1, 2\}$.

Уравнение $x^2(x + 1)(2 - x) = 0$:
Множители $x^2$, $(x+1)$ и $(2-x)$ равны нулю при $x = 0$, $x = -1$ и $x = 2$ соответственно.
Корни: $\{0, -1, 2\}$.

Уравнение $x(x + 1)(2 - x)(x^2 + 1) = 0$:
Множители $x$, $(x+1)$ и $(2-x)$ равны нулю при $x = 0$, $x = -1$ и $x = 2$ соответственно. Множитель $(x^2 + 1)$ всегда больше нуля при любом действительном $x$, поэтому он не имеет действительных корней.
Корни: $\{0, -1, 2\}$.

Таким образом, все четыре уравнения имеют одинаковый набор действительных корней.

Ответ: Все уравнения имеют одни и те же корни: $0, -1, 2$.

2)

Чтобы составить уравнение с заданными корнями $x_1, x_2, \ldots, x_k$, используется принцип: если число $x_i$ является корнем, то выражение $(x - x_i)$ является множителем в левой части уравнения, а правая часть равна нулю. Общий вид такого уравнения: $a(x-x_1)(x-x_2)\ldots(x-x_k) = 0$, где $a$ - любое число, не равное нулю. Также можно возводить множители в степень или добавлять множители, не имеющие действительных корней.

а) Корнями являются числа: $0; -3; 4$.
Соответствующие множители: $(x-0)=x$, $(x-(-3))=(x+3)$ и $(x-4)$.
Несколько примеров уравнений:
1. $x(x+3)(x-4) = 0$
2. $8x(x+3)(x-4) = 0$
3. $x^2(x+3)(x-4) = 0$
Ответ: Например, $x(x+3)(x-4) = 0$ и $x^2(x+3)(x-4) = 0$.

б) Корнями являются числа: $0; -1; -2; 3$.
Соответствующие множители: $x$, $(x-(-1))=(x+1)$, $(x-(-2))=(x+2)$ и $(x-3)$.
Несколько примеров уравнений:
1. $x(x+1)(x+2)(x-3) = 0$
2. $-x(x+1)(x+2)(x-3) = 0$
3. $x(x+1)(x+2)(x-3)(x^2+4) = 0$
Ответ: Например, $x(x+1)(x+2)(x-3) = 0$ и $x(x+1)(x+2)(x-3)(x^2+4) = 0$.

383 Решите уравнение:

a) $(2x - 1)(x - 5) - x(x - 5) = 0;$

б) $(4x - 3)(x + 1) = 2x(x + 1);$

в) $5x(8 - x) = x(x - 8);$

г) $x^2(x - 9) = 2(9 - x).$

а) $(2x - 1)(x - 5) - x(x - 5) = 0$

В левой части уравнения вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобки:

$(x - 5) \cdot ((2x - 1) - x) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 5)(2x - 1 - x) = 0$

$(x - 5)(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $x - 5 = 0 \implies x = 5$

2) $x - 1 = 0 \implies x = 1$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 1; 5.

б) $(4x - 3)(x + 1) = 2x(x + 1)$

Перенесем выражение из правой части уравнения в левую, изменив его знак:

$(4x - 3)(x + 1) - 2x(x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$(x + 1) \cdot ((4x - 3) - 2x) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x + 1)(4x - 3 - 2x) = 0$

$(x + 1)(2x - 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x + 1 = 0 \implies x = -1$

2) $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1,5$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: -1; 1,5.

в) $5x(8 - x) = x(x - 8)$

Заметим, что выражение $(8 - x)$ можно представить как $-(x - 8)$. Подставим это в уравнение:

$5x \cdot (-(x - 8)) = x(x - 8)$

$-5x(x - 8) = x(x - 8)$

Перенесем все в левую часть:

$-5x(x - 8) - x(x - 8) = 0$

Вынесем общий множитель $x(x - 8)$ за скобки:

$x(x - 8)(-5 - 1) = 0$

$-6x(x - 8) = 0$

Разделим обе части на -6:

$x(x - 8) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$

2) $x - 8 = 0 \implies x = 8$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 0; 8.

г) $x^2(x - 9) = 2(9 - x)$

Заметим, что $9 - x = -(x - 9)$. Подставим это в правую часть уравнения:

$x^2(x - 9) = 2 \cdot (-(x - 9))$

$x^2(x - 9) = -2(x - 9)$

Перенесем все в левую часть:

$x^2(x - 9) + 2(x - 9) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 9)$ за скобки:

$(x - 9)(x^2 + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x - 9 = 0 \implies x = 9$

2) $x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = -2$

Второе уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: 9.

384 Решите уравнение, воспользовавшись приёмом разложения на множители:

а) $x^3 - 4x = 0;$

б) $3x + 3x^2 = 0;$

в) $81x^2 - x^4 = 0;$

г) $x^3 - 2x^2 + x = 0;$

д) $x^3 - 4x^2 + 3x = 0;$

е) $6x^2 + 5x^3 + x^4 = 0;$

ж) $16x^3 = x;$

з) $x^3 + x = 2x;$

и) $9x^2 = x^4.$

а) $x^3 - 4x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 4) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов, разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x(x - 2)(x + 2) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x - 2 = 0$ или $x + 2 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$
Ответ: -2; 0; 2.

б) $3x + 3x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $3x$ за скобки:
$3x(1 + x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$3x = 0$ или $1 + x = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = -1$
Ответ: -1; 0.

в) $81x^2 - x^4 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(81 - x^2) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов, разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2(9 - x)(9 + x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2 = 0$ или $9 - x = 0$ или $9 + x = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = 9$, $x_3 = -9$
Ответ: -9; 0; 9.

г) $x^3 - 2x^2 + x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 2x + 1) = 0$
Выражение в скобках является полным квадратом разности, свернем его по формуле $a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2$:
$x(x - 1)^2 = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $(x - 1)^2 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = 1$
Ответ: 0; 1.

д) $x^3 - 4x^2 + 3x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 4x + 3) = 0$
Разложим квадратный трехчлен $x^2 - 4x + 3$ на множители. По теореме Виета, сумма корней равна 4, а произведение равно 3. Корни: 1 и 3. Таким образом, $x^2 - 4x + 3 = (x-1)(x-3)$.
Уравнение примет вид:
$x(x - 1)(x - 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x - 1 = 0$ или $x - 3 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = 3$
Ответ: 0; 1; 3.

е) $6x^2 + 5x^3 + x^4 = 0$
Расположим слагаемые по убыванию степеней $x$ и вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^4 + 5x^3 + 6x^2 = 0$
$x^2(x^2 + 5x + 6) = 0$
Разложим квадратный трехчлен $x^2 + 5x + 6$ на множители. По теореме Виета, сумма корней равна -5, а произведение равно 6. Корни: -2 и -3. Таким образом, $x^2 + 5x + 6 = (x+2)(x+3)$.
Уравнение примет вид:
$x^2(x + 2)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2 = 0$ или $x + 2 = 0$ или $x + 3 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = -2$, $x_3 = -3$
Ответ: -3; -2; 0.

ж) $16x^3 = x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$16x^3 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(16x^2 - 1) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов, разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x(4x - 1)(4x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $4x - 1 = 0$ или $4x + 1 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = \frac{1}{4}$, $x_3 = -\frac{1}{4}$
Ответ: $-\frac{1}{4}; 0; \frac{1}{4}$.

з) $x^3 + x = 2x$
Перенесем все члены уравнения в левую часть и приведем подобные слагаемые:
$x^3 + x - 2x = 0$
$x^3 - x = 0$
Вынесем общий множитель $x$ за скобки:
$x(x^2 - 1) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов, разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x(x - 1)(x + 1) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x = 0$ или $x - 1 = 0$ или $x + 1 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$
Ответ: -1; 0; 1.

и) $9x^2 = x^4$
Перенесем все члены уравнения в одну часть:
$x^4 - 9x^2 = 0$
Вынесем общий множитель $x^2$ за скобки:
$x^2(x^2 - 9) = 0$
Выражение в скобках является разностью квадратов, разложим его по формуле $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$:
$x^2(x - 3)(x + 3) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$x^2 = 0$ или $x - 3 = 0$ или $x + 3 = 0$
Отсюда находим корни:
$x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = -3$
Ответ: -3; 0; 3.