Номер 383, страница 159 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 383, страница 159.

383 Решите уравнение:

a) $(2x - 1)(x - 5) - x(x - 5) = 0;$

б) $(4x - 3)(x + 1) = 2x(x + 1);$

в) $5x(8 - x) = x(x - 8);$

г) $x^2(x - 9) = 2(9 - x).$

а) $(2x - 1)(x - 5) - x(x - 5) = 0$

В левой части уравнения вынесем общий множитель $(x - 5)$ за скобки:

$(x - 5) \cdot ((2x - 1) - x) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x - 5)(2x - 1 - x) = 0$

$(x - 5)(x - 1) = 0$

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Следовательно, мы имеем два случая:

1) $x - 5 = 0 \implies x = 5$

2) $x - 1 = 0 \implies x = 1$

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: 1; 5.

б) $(4x - 3)(x + 1) = 2x(x + 1)$

Перенесем выражение из правой части уравнения в левую, изменив его знак:

$(4x - 3)(x + 1) - 2x(x + 1) = 0$

Вынесем общий множитель $(x + 1)$ за скобки:

$(x + 1) \cdot ((4x - 3) - 2x) = 0$

Упростим выражение во второй скобке:

$(x + 1)(4x - 3 - 2x) = 0$

$(x + 1)(2x - 3) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x + 1 = 0 \implies x = -1$

2) $2x - 3 = 0 \implies 2x = 3 \implies x = \frac{3}{2} = 1,5$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: -1; 1,5.

в) $5x(8 - x) = x(x - 8)$

Заметим, что выражение $(8 - x)$ можно представить как $-(x - 8)$. Подставим это в уравнение:

$5x \cdot (-(x - 8)) = x(x - 8)$

$-5x(x - 8) = x(x - 8)$

Перенесем все в левую часть:

$-5x(x - 8) - x(x - 8) = 0$

Вынесем общий множитель $x(x - 8)$ за скобки:

$x(x - 8)(-5 - 1) = 0$

$-6x(x - 8) = 0$

Разделим обе части на -6:

$x(x - 8) = 0$

Приравниваем каждый множитель к нулю:

1) $x = 0$

2) $x - 8 = 0 \implies x = 8$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: 0; 8.

г) $x^2(x - 9) = 2(9 - x)$

Заметим, что $9 - x = -(x - 9)$. Подставим это в правую часть уравнения:

$x^2(x - 9) = 2 \cdot (-(x - 9))$

$x^2(x - 9) = -2(x - 9)$

Перенесем все в левую часть:

$x^2(x - 9) + 2(x - 9) = 0$

Вынесем общий множитель $(x - 9)$ за скобки:

$(x - 9)(x^2 + 2) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x - 9 = 0 \implies x = 9$

2) $x^2 + 2 = 0 \implies x^2 = -2$

Второе уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом.

Таким образом, исходное уравнение имеет только один корень.

Ответ: 9.