Номер 388, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 388, страница 160.

388 Составьте какое-нибудь целое уравнение, которое имеет три корня, приведите его к виду $p(x) = 0$, где $p(x)$ — многочлен стандартного вида, и предложите своему соседу по парте решить его.

Составление уравнения

Чтобы составить целое уравнение, которое имеет три корня, необходимо выбрать три произвольных числа, которые будут являться этими корнями. Для простоты выберем целые числа: $x_1 = 1$, $x_2 = 2$ и $x_3 = -3$.

Если многочлен $p(x)$ имеет корни $x_1$, $x_2$ и $x_3$, то уравнение $p(x)=0$ можно записать в виде произведения множителей:
$(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3) = 0$.

Подставим выбранные нами корни в эту формулу:
$(x - 1)(x - 2)(x - (-3)) = 0$
$(x - 1)(x - 2)(x + 3) = 0$

Теперь необходимо привести полученное уравнение к стандартному виду $p(x) = 0$, где $p(x)$ — многочлен, записанный в канонической форме (по убыванию степеней $x$). Для этого последовательно раскроем скобки.

Сначала перемножим первые два двучлена:
$(x - 1)(x - 2) = x^2 - 2x - x + 2 = x^2 - 3x + 2$.

Затем умножим полученный квадратный трехчлен на оставшийся множитель $(x + 3)$:
$(x^2 - 3x + 2)(x + 3) = x^2(x + 3) - 3x(x + 3) + 2(x + 3) = x^3 + 3x^2 - 3x^2 - 9x + 2x + 6$.

Приведем подобные члены:
$x^3 + (3x^2 - 3x^2) + (-9x + 2x) + 6 = x^3 - 7x + 6$.

Таким образом, мы составили целое уравнение с тремя корнями и привели его к стандартному виду.
Ответ: $x^3 - 7x + 6 = 0$.

Решение предложенного уравнения

Теперь решим уравнение $x^3 - 7x + 6 = 0$, которое было предложено "соседу по парте".

Так как это уравнение с целыми коэффициентами, то его рациональные корни (если они существуют) следует искать среди делителей свободного члена (числа 6), деленных на делители старшего коэффициента (числа 1).
Делители числа 6: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.
Делители числа 1: $\pm 1$.
Следовательно, возможные рациональные корни: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Проверим эти значения подстановкой в уравнение. Начнем с $x=1$:
$1^3 - 7 \cdot 1 + 6 = 1 - 7 + 6 = 0$.
Так как равенство верное, $x_1 = 1$ — это первый корень уравнения.

Зная один корень, можно понизить степень многочлена, разделив $x^3 - 7x + 6$ на двучлен $(x - 1)$. Это можно сделать, например, делением "уголком".
$(x^3 - 7x + 6) \div (x - 1) = x^2 + x - 6$.

Теперь исходное уравнение можно представить в виде:
$(x - 1)(x^2 + x - 6) = 0$.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда получаем:
$x - 1 = 0 \implies x_1 = 1$
или
$x^2 + x - 6 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Это можно сделать по теореме Виета или через дискриминант.
По теореме Виета: сумма корней равна $-1$, а их произведение равно $-6$. Легко подобрать корни: $x_2 = 2$ и $x_3 = -3$.
Проверка: $2 + (-3) = -1$, $2 \cdot (-3) = -6$.
Через дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$.
$x_2 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_3 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Мы нашли все три корня исходного уравнения.
Ответ: $x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = -3$.