Номер 390, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 390, страница 160.

390 a) $(x^2 - 4x + 2)(x^2 - 4x - 2) = 5;$

б) $(x^2 + x)(x^2 + x - 8) = -12;$

в) $(x^2 - 3x - 3)(x^2 - 3x + 2) = 6;$

г) $(x^2 - x)(x^2 - x - 5) = -6.$

Указание. a) Введите замену $x^2 - 4x = y.$

а) Дано уравнение $(x^2 - 4x + 2)(x^2 - 4x - 2) = 5$. Введем замену $y = x^2 - 4x$. Уравнение примет вид $(y + 2)(y - 2) = 5$. По формуле разности квадратов получаем $y^2 - 4 = 5$, откуда $y^2 = 9$. Значит, $y_1 = 3$ и $y_2 = -3$.
Выполним обратную замену:
1) Для $y = 3$: $x^2 - 4x = 3 \Rightarrow x^2 - 4x - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 16 + 12 = 28$. Корни $x_{1,2} = \frac{4 \pm \sqrt{28}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{7}}{2} = 2 \pm \sqrt{7}$.
2) Для $y = -3$: $x^2 - 4x = -3 \Rightarrow x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета находим корни: $x_3 = 1, x_4 = 3$.
Ответ: $1; 3; 2 - \sqrt{7}; 2 + \sqrt{7}$.

б) Дано уравнение $(x^2 + x)(x^2 + x - 8) = -12$. Введем замену $y = x^2 + x$. Уравнение примет вид $y(y - 8) = -12$, или $y^2 - 8y + 12 = 0$. Корни этого квадратного уравнения $y_1 = 2$ и $y_2 = 6$.
Выполним обратную замену:
1) Для $y = 2$: $x^2 + x = 2 \Rightarrow x^2 + x - 2 = 0$. Корни $x_1 = 1, x_2 = -2$.
2) Для $y = 6$: $x^2 + x = 6 \Rightarrow x^2 + x - 6 = 0$. Корни $x_3 = 2, x_4 = -3$.
Ответ: $-3; -2; 1; 2$.

в) Дано уравнение $(x^2 - 3x - 3)(x^2 - 3x + 2) = 6$. Введем замену $y = x^2 - 3x$. Уравнение примет вид $(y - 3)(y + 2) = 6$. Раскрыв скобки, получим $y^2 - y - 6 = 6$, или $y^2 - y - 12 = 0$. Корни этого квадратного уравнения $y_1 = 4$ и $y_2 = -3$.
Выполним обратную замену:
1) Для $y = 4$: $x^2 - 3x = 4 \Rightarrow x^2 - 3x - 4 = 0$. Корни $x_1 = 4, x_2 = -1$.
2) Для $y = -3$: $x^2 - 3x = -3 \Rightarrow x^2 - 3x + 3 = 0$. Дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Ответ: $-1; 4$.

г) Дано уравнение $(x^2 - x)(x^2 - x - 5) = -6$. Введем замену $y = x^2 - x$. Уравнение примет вид $y(y - 5) = -6$, или $y^2 - 5y + 6 = 0$. Корни этого квадратного уравнения $y_1 = 2$ и $y_2 = 3$.
Выполним обратную замену:
1) Для $y = 2$: $x^2 - x = 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0$. Корни $x_1 = 2, x_2 = -1$.
2) Для $y = 3$: $x^2 - x = 3 \Rightarrow x^2 - x - 3 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 1 + 12 = 13$. Корни $x_{3,4} = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$.
Ответ: $-1; 2; \frac{1 - \sqrt{13}}{2}; \frac{1 + \sqrt{13}}{2}$.