Номер 387, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 387, страница 160.

387 а) $5x^4 + 2x^3 - 5x - 2 = 0;$

б) $z^5 - z^3 + z^2 - 1 = 0;$

В) $y^5 - 3y^4 - 8y^2 + 24y = 0;$

Г) $8x^4 + 16x^3 - x - 2 = 0.$

а) $5x^4 + 2x^3 - 5x - 2 = 0$

Для решения данного уравнения применим метод группировки.

Сгруппируем слагаемые: $(5x^4 - 5x) + (2x^3 - 2) = 0$.

Вынесем общий множитель за скобки в каждой группе: $5x(x^3 - 1) + 2(x^3 - 1) = 0$.

Теперь вынесем общий множитель $(x^3 - 1)$: $(x^3 - 1)(5x + 2) = 0$.

Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем два уравнения:

1) $x^3 - 1 = 0 \implies x^3 = 1 \implies x_1 = 1$.

2) $5x + 2 = 0 \implies 5x = -2 \implies x_2 = -2/5 = -0.4$.

Заметим, что множитель $x^3 - 1$ можно разложить как разность кубов $(x-1)(x^2+x+1)$. Уравнение $x^2+x+1=0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0$.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = -0.4$.

б) $z^5 - z^3 + z^2 - 1 = 0$

Решим это уравнение методом группировки.

Сгруппируем слагаемые: $(z^5 - z^3) + (z^2 - 1) = 0$.

Вынесем общие множители из каждой группы: $z^3(z^2 - 1) + 1(z^2 - 1) = 0$.

Вынесем общий множитель $(z^2 - 1)$: $(z^2 - 1)(z^3 + 1) = 0$.

Разложим каждый из множителей на более простые, используя формулы разности квадратов и суммы кубов:

$(z - 1)(z + 1)(z + 1)(z^2 - z + 1) = 0$.

Это можно записать как $(z - 1)(z + 1)^2(z^2 - z + 1) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $z - 1 = 0 \implies z_1 = 1$.

2) $z + 1 = 0 \implies z_2 = -1$.

3) $z^2 - z + 1 = 0$. Дискриминант этого квадратного уравнения $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$, поэтому действительных корней оно не имеет.

Ответ: $z_1 = 1, z_2 = -1$.

в) $y^5 - 3y^4 - 8y^2 + 24y = 0$

Сначала вынесем общий множитель $y$ за скобки: $y(y^4 - 3y^3 - 8y + 24) = 0$.

Это дает нам первый корень $y_1 = 0$.

Теперь решим оставшееся уравнение $y^4 - 3y^3 - 8y + 24 = 0$ методом группировки.

Сгруппируем слагаемые: $(y^4 - 3y^3) - (8y - 24) = 0$.

Вынесем общие множители: $y^3(y - 3) - 8(y - 3) = 0$.

Вынесем общий множитель $(y - 3)$: $(y - 3)(y^3 - 8) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $y - 3 = 0 \implies y_2 = 3$.

2) $y^3 - 8 = 0 \implies y^3 = 8 \implies y_3 = 2$.

Множитель $y^3 - 8$ можно разложить как $(y-2)(y^2+2y+4)$. Уравнение $y^2+2y+4=0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 4 - 16 = -12 < 0$.

Ответ: $y_1 = 0, y_2 = 2, y_3 = 3$.

г) $8x^4 + 16x^3 - x - 2 = 0$

Используем метод группировки для решения этого уравнения.

Сгруппируем слагаемые: $(8x^4 + 16x^3) - (x + 2) = 0$.

Вынесем общие множители: $8x^3(x + 2) - 1(x + 2) = 0$.

Вынесем общий множитель $(x + 2)$: $(x + 2)(8x^3 - 1) = 0$.

Приравняем каждый множитель к нулю:

1) $x + 2 = 0 \implies x_1 = -2$.

2) $8x^3 - 1 = 0 \implies 8x^3 = 1 \implies x^3 = 1/8 \implies x_2 = 1/2$.

Множитель $8x^3 - 1$ можно разложить как $(2x-1)(4x^2+2x+1)$. Уравнение $4x^2+2x+1=0$ не имеет действительных корней, так как его дискриминант $D = 2^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 4 - 16 = -12 < 0$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = 1/2$.