Номер 389, страница 160 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.2. Целые уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 389, страница 160.

Решите уравнение, введя подходящую замену (389–390).

a) $(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x) - 24 = 0;$

б) $(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^2 + x + 1) - 3 = 0;$

в) $(1 - x)^4 + (1 - x)^2 = 20;$

г) $(2 - x^2)^4 - 10(2 - x^2)^2 = -9.$

а) В уравнении $(x^2 + 3x)^2 + 2(x^2 + 3x) - 24 = 0$ введем замену переменной.
Пусть $y = x^2 + 3x$. Тогда исходное уравнение примет вид квадратного уравнения относительно $y$:
$y^2 + 2y - 24 = 0$.
Найдем корни этого уравнения, например, по теореме Виета. Сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-24$. Корни: $y_1 = 4$ и $y_2 = -6$.
Теперь выполним обратную замену для каждого найденного значения $y$:
1) $x^2 + 3x = 4$
$x^2 + 3x - 4 = 0$
Корнями этого квадратного уравнения являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
2) $x^2 + 3x = -6$
$x^2 + 3x + 6 = 0$
Дискриминант этого уравнения $D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15$. Поскольку $D < 0$, у этого уравнения нет действительных корней.
Следовательно, решениями исходного уравнения являются только $1$ и $-4$.
Ответ: $-4; 1$.

б) В уравнении $(x^2 + x + 1)^2 + 2(x^2 + x + 1) - 3 = 0$ сделаем замену.
Пусть $y = x^2 + x + 1$. Уравнение преобразуется к виду:
$y^2 + 2y - 3 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, произведение равно $-3$. Корни: $y_1 = 1$ и $y_2 = -3$.
Выполним обратную замену:
1) $x^2 + x + 1 = 1$
$x^2 + x = 0$
$x(x + 1) = 0$
Отсюда получаем корни $x_1 = 0$ и $x_2 = -1$.
2) $x^2 + x + 1 = -3$
$x^2 + x + 4 = 0$
Дискриминант $D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 1 - 16 = -15$. Так как $D < 0$, действительных корней нет.
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: $-1; 0$.

в) Рассмотрим уравнение $(1 - x)^4 + (1 - x)^2 = 20$. Перепишем его в стандартном виде:
$(1 - x)^4 + (1 - x)^2 - 20 = 0$.
Это биквадратное уравнение. Введем замену: пусть $y = (1 - x)^2$. Учитывая, что квадрат любого действительного числа неотрицателен, $y \ge 0$.
Уравнение примет вид:
$y^2 + y - 20 = 0$.
Корни этого уравнения: $y_1 = 4$ и $y_2 = -5$.
Корень $y_2 = -5$ не удовлетворяет условию $y \ge 0$, поэтому является посторонним.
Рассмотрим $y_1 = 4$. Сделаем обратную замену:
$(1 - x)^2 = 4$.
Извлекая квадратный корень из обеих частей, получаем:
1) $1 - x = 2 \implies x = -1$.
2) $1 - x = -2 \implies x = 3$.
Исходное уравнение имеет два корня.
Ответ: $-1; 3$.

г) Дано уравнение $(2 - x^2)^4 - 10(2 - x^2)^2 = -9$. Перенесем все члены в левую часть:
$(2 - x^2)^4 - 10(2 - x^2)^2 + 9 = 0$.
Введем замену: пусть $y = (2 - x^2)^2$. Условие для новой переменной: $y \ge 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$y^2 - 10y + 9 = 0$.
Корни этого уравнения: $y_1 = 1$ и $y_2 = 9$. Оба корня удовлетворяют условию $y \ge 0$.
Выполним обратную замену для каждого значения $y$:
1) Если $y = 1$, то $(2 - x^2)^2 = 1$.
Это распадается на два уравнения:
- $2 - x^2 = 1 \implies x^2 = 1 \implies x = \pm 1$.
- $2 - x^2 = -1 \implies x^2 = 3 \implies x = \pm \sqrt{3}$.
2) Если $y = 9$, то $(2 - x^2)^2 = 9$.
Это также распадается на два уравнения:
- $2 - x^2 = 3 \implies x^2 = -1$. Здесь действительных корней нет.
- $2 - x^2 = -3 \implies x^2 = 5 \implies x = \pm \sqrt{5}$.
Объединяя все найденные корни, получаем итоговый ответ.
Ответ: $\pm 1; \pm \sqrt{3}; \pm \sqrt{5}$.