Номер 395, страница 166 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 395, страница 166.

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ (395–398) Решите уравнение.

395 а) $\frac{4}{x} - \frac{7}{4x} = 6;$

б) $\frac{5}{2y} + \frac{1}{2} = \frac{3}{y} + 1;$

в) $\frac{z-2}{z} = \frac{4}{3z} - \frac{z}{3};$

г) $\frac{y-1}{y} - \frac{4}{y^2} = 1;$

д) $\frac{8}{t^2} - \frac{2-t}{t} = 2;$

е) $\frac{4}{15x} - \frac{1}{5} = \frac{2-x}{3x}.$

а) Дано уравнение $\frac{4}{x} - \frac{7}{4x} = 6$.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием $x \neq 0$.
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $4x$. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на 4:
$\frac{4 \cdot 4}{4x} - \frac{7}{4x} = 6$
$\frac{16 - 7}{4x} = 6$
$\frac{9}{4x} = 6$
Умножим обе части уравнения на $4x$, чтобы избавиться от знаменателя:
$9 = 6 \cdot 4x$
$9 = 24x$
$x = \frac{9}{24}$
Сократим дробь на 3: $x = \frac{3}{8}$.
Полученный корень удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $\frac{3}{8}$.

б) Дано уравнение $\frac{5}{2y} + \frac{1}{2} = \frac{3}{y} + 1$.
ОДЗ: $y \neq 0$.
Перенесем все члены с переменной в левую часть, а числовые члены - в правую:
$\frac{5}{2y} - \frac{3}{y} = 1 - \frac{1}{2}$
Приведем дроби к общим знаменателям в обеих частях. Общий знаменатель для левой части - $2y$, для правой - 2.
$\frac{5}{2y} - \frac{3 \cdot 2}{2y} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$
$\frac{5 - 6}{2y} = \frac{1}{2}$
$\frac{-1}{2y} = \frac{1}{2}$
Отсюда следует, что $2y = -2$.
$y = -1$.
Корень $y = -1$ удовлетворяет ОДЗ ($y \neq 0$).
Ответ: $-1$.

в) Дано уравнение $\frac{z-2}{z} = \frac{4}{3z} - \frac{z}{3}$.
ОДЗ: $z \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $3z$:
$3z \cdot \frac{z-2}{z} = 3z \cdot \frac{4}{3z} - 3z \cdot \frac{z}{3}$
$3(z-2) = 4 - z \cdot z$
$3z - 6 = 4 - z^2$
Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$z^2 + 3z - 6 - 4 = 0$
$z^2 + 3z - 10 = 0$
Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $z_1 + z_2 = -3$, а их произведение $z_1 \cdot z_2 = -10$.
Подбором находим корни: $z_1 = -5$ и $z_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($z \neq 0$).
Ответ: $-5; 2$.

г) Дано уравнение $\frac{y-1}{y} - \frac{4}{y^2} = 1$.
ОДЗ: $y \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $y^2$:
$y^2 \cdot \frac{y-1}{y} - y^2 \cdot \frac{4}{y^2} = y^2 \cdot 1$
$y(y-1) - 4 = y^2$
$y^2 - y - 4 = y^2$
Вычтем $y^2$ из обеих частей уравнения:
$-y - 4 = 0$
$-y = 4$
$y = -4$.
Корень $y = -4$ удовлетворяет ОДЗ ($y \neq 0$).
Ответ: $-4$.

д) Дано уравнение $\frac{8}{t^2} - \frac{2-t}{t} = 2$.
ОДЗ: $t \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на наименьший общий знаменатель $t^2$:
$t^2 \cdot \frac{8}{t^2} - t^2 \cdot \frac{2-t}{t} = t^2 \cdot 2$
$8 - t(2-t) = 2t^2$
$8 - 2t + t^2 = 2t^2$
Перенесем все члены в правую часть:
$0 = 2t^2 - t^2 + 2t - 8$
$t^2 + 2t - 8 = 0$
Решим квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней $t_1 + t_2 = -2$, а их произведение $t_1 \cdot t_2 = -8$.
Подбором находим корни: $t_1 = -4$ и $t_2 = 2$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($t \neq 0$).
Ответ: $-4; 2$.

е) Дано уравнение $\frac{4}{15x} - \frac{1}{5} = \frac{2-x}{3x}$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Наименьший общий знаменатель для дробей равен $15x$. Умножим на него обе части уравнения:
$15x \cdot \frac{4}{15x} - 15x \cdot \frac{1}{5} = 15x \cdot \frac{2-x}{3x}$
$4 - 3x \cdot 1 = 5 \cdot (2-x)$
$4 - 3x = 10 - 5x$
Перенесем члены с $x$ в левую часть, а числовые члены - в правую:
$-3x + 5x = 10 - 4$
$2x = 6$
$x = 3$.
Корень $x = 3$ удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 0$).
Ответ: $3$.