Номер 401, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 401, страница 167.

Найдите корни уравнения (401—403).

401 a) $ \frac{x^2 - 2x}{3x + 6} = 0 $;

б) $ \frac{x^2 - 1}{4x^2 - x - 3} = 0 $;

в) $ \frac{x^2 + x}{x + 1} = 0 $;

г) $ \frac{x^2 - 3x - 18}{x + 3} = 0 $;

д) $ \frac{x^2 - 4x}{x + 4} = 0 $;

е) $ \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 8x + 12} = 0 $;

ж) $ \frac{x(x + 1) - (x + 1)}{x(x - 9) - (x - 9)} = 0 $;

з) $ \frac{5(x + 5) - x(x + 5)}{x(x - 2)} = 0 $.

а) Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 2x}{3x + 6} = 0 $.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:
$ \begin{cases} x^2 - 2x = 0 \\ 3x + 6 \neq 0 \end{cases} $
1. Решим уравнение $ x^2 - 2x = 0 $:
Вынесем $ x $ за скобки: $ x(x - 2) = 0 $.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два возможных корня:
$ x_1 = 0 $
$ x_2 = 2 $
2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив условие $ 3x + 6 \neq 0 $:
$ 3x \neq -6 $
$ x \neq -2 $
3. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.
Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет условию $ x \neq -2 $.
Корень $ x_2 = 2 $ удовлетворяет условию $ x \neq -2 $.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $0; 2$.

б) Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 1}{4x^2 - x - 3} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ 4x^2 - x - 3 \neq 0 \end{cases} $
1. Решим уравнение $ x^2 - 1 = 0 $:
$ (x - 1)(x + 1) = 0 $
Возможные корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -1 $.
2. Найдем значения $ x $, при которых знаменатель обращается в ноль: $ 4x^2 - x - 3 = 0 $.
Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $.
Корни знаменателя: $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{8} $.
$ x'_1 = \frac{1 + 7}{8} = 1 $
$ x'_2 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} $
Следовательно, ОДЗ: $ x \neq 1 $ и $ x \neq -\frac{3}{4} $.
3. Сравним корни числителя с ОДЗ.
Корень $ x_1 = 1 $ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель равен нулю. Этот корень является посторонним.
Корень $ x_2 = -1 $ входит в ОДЗ.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $-1$.

в) Дано уравнение: $ \frac{x^2 + x}{x + 1} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 + x = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases} $
1. Решим уравнение $ x^2 + x = 0 $:
$ x(x + 1) = 0 $
Возможные корни: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = -1 $.
2. Найдем ОДЗ из условия $ x + 1 \neq 0 $:
$ x \neq -1 $
3. Сравним корни числителя с ОДЗ.
Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет условию $ x \neq -1 $.
Корень $ x_2 = -1 $ не удовлетворяет условию $ x \neq -1 $, значит, это посторонний корень.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $0$.

г) Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 3x - 18}{x + 3} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - 3x - 18 = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} $
1. Решим квадратное уравнение $ x^2 - 3x - 18 = 0 $.
По теореме Виета: сумма корней равна $3$, а произведение равно $-18$.
Подбором находим корни: $ x_1 = 6 $ и $ x_2 = -3 $.
2. Найдем ОДЗ из условия $ x + 3 \neq 0 $:
$ x \neq -3 $
3. Сравним корни числителя с ОДЗ.
Корень $ x_1 = 6 $ удовлетворяет условию $ x \neq -3 $.
Корень $ x_2 = -3 $ не удовлетворяет условию $ x \neq -3 $, это посторонний корень.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $6$.

д) Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 4x}{x + 4} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - 4x = 0 \\ x + 4 \neq 0 \end{cases} $
1. Решим уравнение $ x^2 - 4x = 0 $:
$ x(x - 4) = 0 $
Возможные корни: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 4 $.
2. Найдем ОДЗ из условия $ x + 4 \neq 0 $:
$ x \neq -4 $
3. Проверим корни.
Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет условию $ x \neq -4 $.
Корень $ x_2 = 4 $ удовлетворяет условию $ x \neq -4 $.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $0; 4$.

е) Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 8x + 12} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 + 5x + 6 = 0 \\ x^2 + 8x + 12 \neq 0 \end{cases} $
1. Решим уравнение числителя $ x^2 + 5x + 6 = 0 $.
По теореме Виета: $ x_1 + x_2 = -5 $, $ x_1 \cdot x_2 = 6 $. Корни: $ x_1 = -2 $, $ x_2 = -3 $.
2. Найдем значения $ x $, при которых знаменатель равен нулю: $ x^2 + 8x + 12 = 0 $.
По теореме Виета: $ x'_1 + x'_2 = -8 $, $ x'_1 \cdot x'_2 = 12 $. Корни: $ x'_1 = -2 $, $ x'_2 = -6 $.
Следовательно, ОДЗ: $ x \neq -2 $ и $ x \neq -6 $.
3. Сравним корни числителя с ОДЗ.
Корень $ x_1 = -2 $ не входит в ОДЗ, является посторонним.
Корень $ x_2 = -3 $ входит в ОДЗ.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $-3$.

ж) Дано уравнение: $ \frac{x(x + 1) - (x + 1)}{x(x - 9) - (x - 9)} = 0 $.
1. Упростим числитель и знаменатель, вынося общие множители за скобки:
Числитель: $ x(x + 1) - 1 \cdot (x + 1) = (x + 1)(x - 1) $.
Знаменатель: $ x(x - 9) - 1 \cdot (x - 9) = (x - 9)(x - 1) $.
Уравнение принимает вид: $ \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 9)(x - 1)} = 0 $.
2. Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} (x + 1)(x - 1) = 0 \\ (x - 9)(x - 1) \neq 0 \end{cases} $
3. Из первого уравнения находим возможные корни: $ x_1 = -1 $, $ x_2 = 1 $.
4. Из второго условия находим ОДЗ: $ x \neq 9 $ и $ x \neq 1 $.
5. Сравниваем корни с ОДЗ.
Корень $ x_1 = -1 $ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $ x_2 = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $-1$.

з) Дано уравнение: $ \frac{5(x + 5) - x(x + 5)}{x(x - 2)} = 0 $.
1. Упростим числитель, вынеся общий множитель $ (x + 5) $ за скобки:
$ 5(x + 5) - x(x + 5) = (5 - x)(x + 5) $.
Уравнение принимает вид: $ \frac{(5 - x)(x + 5)}{x(x - 2)} = 0 $.
2. Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} (5 - x)(x + 5) = 0 \\ x(x - 2) \neq 0 \end{cases} $
3. Из первого уравнения находим возможные корни:
$ 5 - x = 0 \implies x_1 = 5 $
$ x + 5 = 0 \implies x_2 = -5 $
4. Из второго условия находим ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x \neq 2 $.
5. Проверяем корни.
Корень $ x_1 = 5 $ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $ x_2 = -5 $ удовлетворяет ОДЗ.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $-5; 5$.