Номер 403, страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 403, страница 167.

403 a) $\frac{x+9}{x+3} = x-1;$

б) $y = \frac{2y}{3y-1};$

В) $\frac{2}{2z+5} = z+1;$

Г) $\frac{5x-2}{x} = 3x.$

а)

Дано уравнение: $\frac{x+9}{x+3} = x-1$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.
Далее, умножим обе части уравнения на выражение $(x+3)$, чтобы избавиться от знаменателя:
$x+9 = (x-1)(x+3)$
Раскроем скобки в правой части уравнения, используя правило умножения многочленов:
$x+9 = x^2 + 3x - x - 3$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$x+9 = x^2 + 2x - 3$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 2x - 3 - x - 9 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -12$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -3$).
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию.
Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет условию.
Следовательно, оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 3$.

б)

Дано уравнение: $y = \frac{2y}{3y-1}$.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $3y-1 \neq 0$, откуда $y \neq \frac{1}{3}$.
Умножим обе части на $(3y-1)$:
$y(3y-1) = 2y$
Раскроем скобки и перенесем все члены уравнения в левую часть:
$3y^2 - y = 2y$
$3y^2 - y - 2y = 0$
$3y^2 - 3y = 0$
Вынесем за скобки общий множитель $3y$:
$3y(y-1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$3y=0$ или $y-1=0$
Отсюда получаем два корня:
$y_1 = 0$
$y_2 = 1$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq \frac{1}{3}$).

Ответ: $y_1 = 0, y_2 = 1$.

в)

Дано уравнение: $\frac{2}{2z+5} = z+1$.
ОДЗ: $2z+5 \neq 0$, откуда $2z \neq -5$, то есть $z \neq -\frac{5}{2}$ или $z \neq -2.5$.
Умножим обе части уравнения на $(2z+5)$:
$2 = (z+1)(2z+5)$
Раскроем скобки в правой части:
$2 = 2z^2 + 5z + 2z + 5$
$2 = 2z^2 + 7z + 5$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2z^2 + 7z + 5 - 2 = 0$
$2z^2 + 7z + 3 = 0$
Решим это уравнение с помощью формулы корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 5}{4}$
$z_1 = \frac{-7+5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$z_2 = \frac{-7-5}{4} = \frac{-12}{4} = -3$
Оба корня ($-\frac{1}{2}$ и $-3$) не равны $-\frac{5}{2}$, поэтому оба удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $z_1 = -3, z_2 = -\frac{1}{2}$.

г)

Дано уравнение: $\frac{5x-2}{x} = 3x$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$:
$5x-2 = 3x \cdot x$
$5x-2 = 3x^2$
Перепишем уравнение в стандартном виде:
$3x^2 - 5x + 2 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$
$x_1 = \frac{5+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Оба корня ($1$ и $\frac{2}{3}$) не равны нулю и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = \frac{2}{3}$.