Номер 410, страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

3.3. Дробные уравнения. Глава 3. Уравнения и системы уравнений - номер 410, страница 168.

РАССУЖДАЕМ (410–411)

410 На рисунке 3.7, а–в изображены гиперболы (пунктиром проведены асимптоты — прямые, к которым гипербола неограниченно приближается, но не пересекает их) и указаны соответствующие формулы. Определите координаты точек A, B и C.

a) $y = \frac{2x - 1}{x - 2}$

б) $y = \frac{2x + 6}{x - 1}$

в) $y = - \frac{0,5x + 2}{x + 2}$

Рис. 3.7

а)

Для функции $y = \frac{2x - 1}{x - 2}$ определим координаты точек A, B и C, исходя из их расположения на графике. Для этого сначала найдем асимптоты гиперболы и точки ее пересечения с осями координат.

1. Асимптоты.
Вертикальная асимптота соответствует значению $x$, при котором знаменатель дроби обращается в ноль:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Горизонтальная асимптота для функции вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ находится как отношение коэффициентов при $x$ в числителе и знаменателе:
$y = \frac{2}{1} = 2$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Для нахождения точки пересечения с осью Oy (y-перехват) подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y = \frac{2(0) - 1}{0 - 2} = \frac{-1}{-2} = 0,5$.
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0; 0,5)$.
Для нахождения точки пересечения с осью Ox (x-перехват) приравняем $y$ к нулю:
$\frac{2x - 1}{x - 2} = 0 \implies 2x - 1 = 0 \implies x = 0,5$.
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(0,5; 0)$.

3. Определение координат точек A, B, C.
Теперь сопоставим вычисленные значения с точками, отмеченными на рисунке а):
- Точка A — это точка пересечения горизонтальной асимптоты ($y=2$) с осью Oy. Следовательно, её координаты $A(0; 2)$.
- Точка B — это точка пересечения графика функции с осью Oy. Следовательно, её координаты $B(0; 0,5)$.
- Точка C — это точка пересечения вертикальной асимптоты ($x=2$) с осью Ox. Следовательно, её координаты $C(2; 0)$.

Ответ: A(0; 2), B(0; 0,5), C(2; 0).

б)

Для функции $y = \frac{2x + 6}{x - 1}$ выполним аналогичные действия.

1. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
Горизонтальная асимптота: $y = \frac{2}{1} = 2$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$y = \frac{2(0) + 6}{0 - 1} = \frac{6}{-1} = -6$.
Координаты точки: $(0; -6)$.
Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$\frac{2x + 6}{x - 1} = 0 \implies 2x + 6 = 0 \implies x = -3$.
Координаты точки: $(-3; 0)$.

3. Определение координат точек A, B, C.
Сопоставим полученные данные с рисунком б):
- Точка A — это точка пересечения графика функции с осью Ox. Следовательно, её координаты $A(-3; 0)$.
- Точка B — это точка пересечения графика функции с осью Oy. Следовательно, её координаты $B(0; -6)$.
- Точка C — это точка пересечения вертикальной асимптоты ($x=1$) с осью Ox. Следовательно, её координаты $C(1; 0)$.

Ответ: A(-3; 0), B(0; -6), C(1; 0).

в)

Для функции $y = -\frac{0,5x + 2}{x + 2}$ преобразуем её для удобства: $y = \frac{-0,5x - 2}{x + 2}$.

1. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
Горизонтальная асимптота: $y = \frac{-0,5}{1} = -0,5$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$y = \frac{-0,5(0) - 2}{0 + 2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Координаты точки: $(0; -1)$.
Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$\frac{-0,5x - 2}{x + 2} = 0 \implies -0,5x - 2 = 0 \implies -0,5x = 2 \implies x = -4$.
Координаты точки: $(-4; 0)$.

3. Определение координат точек A, B, C.
Сопоставим полученные данные с рисунком в):
- Точка A — это точка пересечения графика функции с осью Ox. Следовательно, её координаты $A(-4; 0)$.
- Точка B — это точка пересечения графика функции с осью Oy. Следовательно, её координаты $B(0; -1)$.
- Точка C — это точка пересечения вертикальной асимптоты ($x=-2$) с осью Ox. Следовательно, её координаты $C(-2; 0)$.

Ответ: A(-4; 0), B(0; -1), C(-2; 0).