Страница 168 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

406 a) $\frac{6}{x} + \frac{x+3}{x+2} = \frac{4x+6}{x^2+2x}$

б) $\frac{6}{x-2} + \frac{2}{x} = \frac{x-3}{x^2-2x}$

В) $\frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = \frac{6}{6x-x^2}$

Г) $\frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{x-20}{5x-x^2}$

а) Запишем уравнение: $\frac{6}{x} + \frac{x+3}{x+2} = \frac{4x+6}{x^2+2x}$. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, что знаменатели не равны нулю: $x \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -2$. Знаменатель в правой части $x^2+2x = x(x+2)$, что не добавляет новых ограничений. Итак, ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq -2$. Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+2)$: $\frac{6(x+2)}{x(x+2)} + \frac{x(x+3)}{x(x+2)} = \frac{4x+6}{x(x+2)}$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $x(x+2)$, при условии, что он не равен нулю (что учтено в ОДЗ): $6(x+2) + x(x+3) = 4x+6$. Раскроем скобки: $6x + 12 + x^2 + 3x = 4x+6$. Приведем подобные слагаемые: $x^2 + 9x + 12 = 4x+6$. Перенесем все члены в левую часть: $x^2 + 9x - 4x + 12 - 6 = 0$. $x^2 + 5x + 6 = 0$. Это квадратное уравнение. Найдем его корни, например, по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -5$ $x_1 \cdot x_2 = 6$ Отсюда $x_1 = -2$ и $x_2 = -3$. Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = -2$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq -2$), поэтому является посторонним. Корень $x_2 = -3$ удовлетворяет ОДЗ. Следовательно, уравнение имеет один корень.
Ответ: -3.

б) Запишем уравнение: $\frac{6}{x-2} + \frac{2}{x} = \frac{x-3}{x^2-2x}$. ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$ и $x \neq 0$. Знаменатель $x^2-2x = x(x-2)$ не добавляет новых ограничений. ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 2$. Общий знаменатель: $x(x-2)$. Умножим уравнение на $x(x-2)$: $6x + 2(x-2) = x-3$. Раскроем скобки и решим полученное линейное уравнение: $6x + 2x - 4 = x-3$. $8x - 4 = x-3$. $8x - x = 4-3$. $7x = 1$. $x = \frac{1}{7}$. Полученный корень $x = \frac{1}{7}$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $\frac{1}{7}$.

в) Запишем уравнение: $\frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = \frac{6}{6x-x^2}$. Преобразуем знаменатель в правой части: $6x-x^2 = -x(x-6)$. Уравнение примет вид: $\frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = \frac{6}{-x(x-6)}$, или $\frac{x-1}{x} - \frac{1}{x-6} = -\frac{6}{x(x-6)}$. ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-6 \neq 0 \implies x \neq 6$. ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 6$. Общий знаменатель: $x(x-6)$. Умножим уравнение на $x(x-6)$: $(x-1)(x-6) - 1 \cdot x = -6$. Раскроем скобки: $x^2 - 6x - x + 6 - x = -6$. $x^2 - 8x + 6 = -6$. $x^2 - 8x + 12 = 0$. Найдем корни квадратного уравнения по теореме Виета: $x_1 + x_2 = 8$ $x_1 \cdot x_2 = 12$ Отсюда $x_1 = 2$ и $x_2 = 6$. Проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $x_1 = 2$ удовлетворяет ОДЗ. Корень $x_2 = 6$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 6$), поэтому является посторонним.
Ответ: 2.

г) Запишем уравнение: $\frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{x-20}{5x-x^2}$. Преобразуем знаменатель справа: $5x-x^2 = -x(x-5)$. Уравнение примет вид: $\frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{x-20}{-x(x-5)}$, или $\frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = -\frac{x-20}{x(x-5)}$. Удобнее записать так: $\frac{4}{x} + \frac{3}{x-5} = \frac{20-x}{x(x-5)}$. ОДЗ: $x \neq 0$ и $x-5 \neq 0 \implies x \neq 5$. ОДЗ: $x \neq 0$ и $x \neq 5$. Общий знаменатель: $x(x-5)$. Умножим уравнение на $x(x-5)$: $4(x-5) + 3x = 20-x$. Раскроем скобки и решим линейное уравнение: $4x - 20 + 3x = 20-x$. $7x - 20 = 20-x$. $7x + x = 20+20$. $8x = 40$. $x = 5$. Проверим корень на соответствие ОДЗ. Корень $x = 5$ не удовлетворяет ОДЗ ($x \neq 5$), следовательно, является посторонним. Других корней нет.
Ответ: корней нет.

407 a) $\frac{3}{x-2} - \frac{6}{x+4} = \frac{3}{x}$;

б) $\frac{4}{x-2} = \frac{7}{x-3} + \frac{2}{15}$;

В) $\frac{3}{4-x} - \frac{5}{x} = \frac{7}{3-x}$;

Г) $\frac{1}{x} - \frac{2}{x-1} = \frac{x+1}{x+2}$.

а) $ \frac{3}{x-2} - \frac{6}{x+4} = \frac{3}{x} $

Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не могут быть равны нулю, поэтому:

$x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$

$x+4 \neq 0 \implies x \neq -4$

$x \neq 0$

Общий знаменатель для дробей: $x(x-2)(x+4)$. Умножим обе части уравнения на него, чтобы избавиться от дробей, при условии, что $x$ удовлетворяет ОДЗ.

$3x(x+4) - 6x(x-2) = 3(x-2)(x+4)$

Раскроем скобки:

$3x^2 + 12x - 6x^2 + 12x = 3(x^2 + 4x - 2x - 8)$

Приведем подобные слагаемые в левой части и в скобках в правой части:

$-3x^2 + 24x = 3(x^2 + 2x - 8)$

$-3x^2 + 24x = 3x^2 + 6x - 24$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$3x^2 + 3x^2 + 6x - 24x - 24 = 0$

$6x^2 - 18x - 24 = 0$

Разделим обе части уравнения на 6:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета: сумма корней равна 3, а их произведение равно -4. Подбором находим корни:

$x_1 = 4$, $x_2 = -1$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($4 \neq 2, -4, 0$ и $-1 \neq 2, -4, 0$).

Ответ: -1; 4.

б) $ \frac{4}{x-2} = \frac{7}{x-3} + \frac{2}{15} $

ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$; $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$.

Перенесем дроби, содержащие переменную, в левую часть:

$\frac{4}{x-2} - \frac{7}{x-3} = \frac{2}{15}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(x-2)(x-3)$:

$\frac{4(x-3) - 7(x-2)}{(x-2)(x-3)} = \frac{2}{15}$

$\frac{4x - 12 - 7x + 14}{x^2 - 3x - 2x + 6} = \frac{2}{15}$

$\frac{-3x + 2}{x^2 - 5x + 6} = \frac{2}{15}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$15(-3x + 2) = 2(x^2 - 5x + 6)$

$-45x + 30 = 2x^2 - 10x + 12$

Перенесем все члены в правую часть:

$2x^2 - 10x + 45x + 12 - 30 = 0$

$2x^2 + 35x - 18 = 0$

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 35^2 - 4(2)(-18) = 1225 + 144 = 1369 = 37^2$

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-35 \pm 37}{4}$

$x_1 = \frac{-35 + 37}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

$x_2 = \frac{-35 - 37}{4} = \frac{-72}{4} = -18$

Оба корня ($0.5$ и $-18$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 2, x \neq 3$).

Ответ: -18; 0.5.

в) $ \frac{3}{4-x} - \frac{5}{x} = \frac{7}{3-x} $

ОДЗ: $4-x \neq 0 \implies x \neq 4$; $x \neq 0$; $3-x \neq 0 \implies x \neq 3$.

Для удобства вычислений изменим знаки в знаменателях $4-x$ и $3-x$:

$\frac{3}{-(x-4)} - \frac{5}{x} = \frac{7}{-(x-3)}$

$-\frac{3}{x-4} - \frac{5}{x} = -\frac{7}{x-3}$

Умножим все уравнение на -1:

$\frac{3}{x-4} + \frac{5}{x} = \frac{7}{x-3}$

Общий знаменатель: $x(x-4)(x-3)$. Умножим обе части уравнения на него:

$3x(x-3) + 5(x-4)(x-3) = 7x(x-4)$

Раскроем скобки:

$3x^2 - 9x + 5(x^2 - 3x - 4x + 12) = 7x^2 - 28x$

$3x^2 - 9x + 5(x^2 - 7x + 12) = 7x^2 - 28x$

$3x^2 - 9x + 5x^2 - 35x + 60 = 7x^2 - 28x$

Приведем подобные слагаемые:

$8x^2 - 44x + 60 = 7x^2 - 28x$

Перенесем все члены в левую часть:

$8x^2 - 7x^2 - 44x + 28x + 60 = 0$

$x^2 - 16x + 60 = 0$

По теореме Виета: сумма корней равна 16, произведение равно 60. Корни:

$x_1 = 10$, $x_2 = 6$.

Оба корня ($10$ и $6$) удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 4, 0, 3$).

Ответ: 6; 10.

г) $ \frac{1}{x} - \frac{2}{x-1} = \frac{x+1}{x+2} $

ОДЗ: $x \neq 0$; $x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$; $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$.

Сначала приведем к общему знаменателю левую часть уравнения:

$\frac{1(x-1) - 2x}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2}$

$\frac{x-1-2x}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2}$

$\frac{-x-1}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2}$

Вынесем минус за скобку в числителе левой дроби:

$\frac{-(x+1)}{x(x-1)} = \frac{x+1}{x+2}$

Перенесем все в одну сторону:

$\frac{x+1}{x+2} + \frac{x+1}{x(x-1)} = 0$

Вынесем общий множитель $(x+1)$ за скобки:

$(x+1) \left( \frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-1)} \right) = 0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю:

1) $x+1 = 0 \implies x = -1$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.

2) $\frac{1}{x+2} + \frac{1}{x(x-1)} = 0$.

$\frac{x(x-1) + (x+2)}{(x+2)x(x-1)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Знаменатель не равен нулю согласно ОДЗ.

$x^2 - x + x + 2 = 0$

$x^2 + 2 = 0$

$x^2 = -2$

Это уравнение не имеет действительных корней, так как квадрат любого действительного числа неотрицателен.

Таким образом, у исходного уравнения есть только один корень.

Ответ: -1.

Найдите корни уравнения (408–409).

408 а) $\frac{x^2 - 4}{(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 2x - 3)} = 0;$

б) $\frac{x^2 - 7x + 6}{x^3 - 2x^2 + 1} = 0;$

в) $\frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)(x^2 - 1)} = 0;$

г) $\frac{2x^2 - 2}{(x^2 - 2x + 2)^2} = 0.$

а)

Дано рациональное уравнение: $ \frac{x^2 - 4}{(x^2 - 3x + 2)(x^2 - 2x - 3)} = 0 $.

Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

1. Найдем корни числителя, решив уравнение: $ x^2 - 4 = 0 $
$ x^2 = 4 $
Отсюда получаем два корня: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -2 $.

2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), исключив значения $x$, при которых знаменатель обращается в ноль: $ (x^2 - 3x + 2)(x^2 - 2x - 3) \ne 0 $
Это условие выполняется, если оба множителя не равны нулю:

• $ x^2 - 3x + 2 \ne 0 $. Решив уравнение $ x^2 - 3x + 2 = 0 $ (по теореме Виета, сумма корней 3, произведение 2), находим корни $ x = 1 $ и $ x = 2 $.
• $ x^2 - 2x - 3 \ne 0 $. Решив уравнение $ x^2 - 2x - 3 = 0 $ (по теореме Виета, сумма корней 2, произведение -3), находим корни $ x = 3 $ и $ x = -1 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \ne 1 $, $ x \ne 2 $, $ x \ne 3 $, $ x \ne -1 $.

3. Сравним корни числителя с ОДЗ. Корень $ x = 2 $ не входит в ОДЗ, поэтому он является посторонним. Корень $ x = -2 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ -2 $.

б)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 7x + 6}{x^3 - 2x^2 + 1} = 0 $.

1. Найдем корни числителя: $ x^2 - 7x + 6 = 0 $
По теореме Виета, сумма корней равна 7, а произведение равно 6. Корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = 6 $.

2. Проверим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю: $ x^3 - 2x^2 + 1 \ne 0 $
Заметим, что $ x = 1 $ является корнем многочлена в знаменателе, так как $ 1^3 - 2(1)^2 + 1 = 0 $. Разложим многочлен на множители: $ x^3 - x^2 - x^2 + 1 = x^2(x-1) - (x^2-1) = x^2(x-1) - (x-1)(x+1) = (x-1)(x^2 - x - 1) $. Знаменатель равен нулю при $ x - 1 = 0 $ (то есть $ x = 1 $) и при $ x^2 - x - 1 = 0 $. Корни второго уравнения: $ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(-1)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $. Таким образом, ОДЗ: $ x \ne 1 $ и $ x \ne \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2} $.

3. Сравним корни числителя ($1$ и $6$) с ОДЗ. Корень $ x = 1 $ не входит в ОДЗ. Корень $ x = 6 $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ 6 $.

в)

Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2 + 1)(x^2 - 1)} = 0 $.

1. Найдем корни числителя: $ x^2 + 2x + 1 = 0 $
Это формула полного квадрата: $ (x + 1)^2 = 0 $. Единственный корень: $ x = -1 $.

2. Проверим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю: $ (x^2 + 1)(x^2 - 1) \ne 0 $

• Множитель $ x^2 + 1 $ всегда больше нуля при любом действительном $ x $.
• Множитель $ x^2 - 1 \ne 0 $, что означает $ x^2 \ne 1 $, то есть $ x \ne 1 $ и $ x \ne -1 $.

Таким образом, ОДЗ: $ x \ne 1 $ и $ x \ne -1 $.

3. Корень числителя $ x = -1 $ не входит в область допустимых значений, так как при этом значении знаменатель обращается в ноль. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

г)

Дано уравнение: $ \frac{2x^2 - 2}{(x^2 - 2x + 2)^2} = 0 $.

1. Найдем корни числителя: $ 2x^2 - 2 = 0 $
$ 2(x^2 - 1) = 0 $
$ x^2 = 1 $
Корни: $ x_1 = 1 $, $ x_2 = -1 $.

2. Проверим ОДЗ. Знаменатель не должен быть равен нулю: $ (x^2 - 2x + 2)^2 \ne 0 $, что равносильно $ x^2 - 2x + 2 \ne 0 $. Найдем дискриминант квадратного трехчлена $ x^2 - 2x + 2 $: $ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4 $. Поскольку дискриминант отрицателен ($D < 0$), уравнение $ x^2 - 2x + 2 = 0 $ не имеет действительных корней. Это означает, что знаменатель никогда не равен нулю.

3. Так как знаменатель не обращается в ноль ни при каких действительных значениях $ x $, область допустимых значений — все действительные числа. Следовательно, оба корня числителя являются решениями уравнения.

Ответ: $ 1; -1 $.

409 a) $\frac{x^2}{x+4} = \frac{x}{x+1};$

б) $\frac{x^3+3}{x} = 3x+1;$

В) $\frac{x^2}{x^2+4} - \frac{1}{x^2-2} = 0;$

Г) $\frac{x}{x-2} + \frac{x^2}{2x-9} = 0.$

а)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2}{x+4} = \frac{x}{x+1} $

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не должны равняться нулю:

$x+4 \neq 0 \Rightarrow x \neq -4$

$x+1 \neq 0 \Rightarrow x \neq -1$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -4) \cup (-4; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Перенесем все члены уравнения в одну сторону и приведем к общему знаменателю:

$ \frac{x^2}{x+4} - \frac{x}{x+1} = 0 $

$ \frac{x^2(x+1) - x(x+4)}{(x+4)(x+1)} = 0 $

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Условие на знаменатель мы уже учли в ОДЗ. Приравниваем числитель к нулю:

$ x^2(x+1) - x(x+4) = 0 $

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ x(x(x+1) - (x+4)) = 0 $

$ x(x^2 + x - x - 4) = 0 $

$ x(x^2 - 4) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x = 0$

2) $x^2 - 4 = 0 \Rightarrow x^2 = 4 \Rightarrow x = 2$ или $x = -2$.

Получили три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 2$, $x_3 = -2$. Все найденные корни принадлежат области допустимых значений.

Ответ: -2, 0, 2.

б)

Исходное уравнение: $ \frac{x^3+3}{x} = 3x+1 $

Область допустимых значений (ОДЗ): знаменатель не должен быть равен нулю, то есть $x \neq 0$.

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от дроби, так как $x \neq 0$:

$ x^3+3 = x(3x+1) $

$ x^3+3 = 3x^2+x $

Перенесем все члены в левую часть:

$ x^3 - 3x^2 - x + 3 = 0 $

Сгруппируем слагаемые для разложения на множители:

$ (x^3 - 3x^2) - (x - 3) = 0 $

Вынесем общие множители из каждой группы:

$ x^2(x - 3) - 1(x - 3) = 0 $

Вынесем общий множитель $(x - 3)$:

$ (x - 3)(x^2 - 1) = 0 $

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

1) $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

2) $x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = 1$ или $x = -1$.

Получили три корня: $x_1 = 3$, $x_2 = 1$, $x_3 = -1$. Все найденные корни удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -1, 1, 3.

в)

Исходное уравнение: $ \frac{x^2}{x^2+4} - \frac{1}{x^2-2} = 0 $

Определим ОДЗ. Знаменатели не равны нулю:

1) $x^2+4 \neq 0$. Так как $x^2 \geq 0$ для любого действительного $x$, то $x^2+4 \geq 4$. Это выражение никогда не равно нулю.

2) $x^2-2 \neq 0 \Rightarrow x^2 \neq 2 \Rightarrow x \neq \sqrt{2}$ и $x \neq -\sqrt{2}$.

Перенесем вторую дробь в правую часть:

$ \frac{x^2}{x^2+4} = \frac{1}{x^2-2} $

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$ x^2(x^2-2) = 1(x^2+4) $

$ x^4 - 2x^2 = x^2 + 4 $

Перенесем все в левую часть, чтобы получить биквадратное уравнение:

$ x^4 - 3x^2 - 4 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $t = x^2$. Так как $x^2 \geq 0$, то и $t \geq 0$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$ t^2 - 3t - 4 = 0 $

Решим его. По теореме Виета, корни $t_1 = 4$ и $t_2 = -1$.

Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t \geq 0$, поэтому отбрасываем его.

Остается $t_1 = 4$. Вернемся к исходной переменной $x$:

$ x^2 = 4 $

$ x = 2$ или $x = -2$.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: -2, 2.

г)

Исходное уравнение: $ \frac{x}{x-2} + \frac{x^2}{2x-9} = 0 $

Область допустимых значений (ОДЗ):

$x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2$

$2x-9 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq 9 \Rightarrow x \neq 4.5$

Приведем дроби к общему знаменателю $(x-2)(2x-9)$:

$ \frac{x(2x-9) + x^2(x-2)}{(x-2)(2x-9)} = 0 $

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен.

$ x(2x-9) + x^2(x-2) = 0 $

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ x((2x-9) + x(x-2)) = 0 $

Раскроем скобки внутри и приведем подобные слагаемые:

$ x(2x - 9 + x^2 - 2x) = 0 $

$ x(x^2 - 9) = 0 $

Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю:

1) $x = 0$

2) $x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow x = 3$ или $x = -3$.

Получили три корня: $x_1 = 0$, $x_2 = 3$, $x_3 = -3$. Все корни входят в ОДЗ.

Ответ: -3, 0, 3.

РАССУЖДАЕМ (410–411)

410 На рисунке 3.7, а–в изображены гиперболы (пунктиром проведены асимптоты — прямые, к которым гипербола неограниченно приближается, но не пересекает их) и указаны соответствующие формулы. Определите координаты точек A, B и C.

a) $y = \frac{2x - 1}{x - 2}$

б) $y = \frac{2x + 6}{x - 1}$

в) $y = - \frac{0,5x + 2}{x + 2}$

Рис. 3.7

а)

Для функции $y = \frac{2x - 1}{x - 2}$ определим координаты точек A, B и C, исходя из их расположения на графике. Для этого сначала найдем асимптоты гиперболы и точки ее пересечения с осями координат.

1. Асимптоты.
Вертикальная асимптота соответствует значению $x$, при котором знаменатель дроби обращается в ноль:
$x - 2 = 0 \implies x = 2$.
Горизонтальная асимптота для функции вида $y = \frac{ax+b}{cx+d}$ находится как отношение коэффициентов при $x$ в числителе и знаменателе:
$y = \frac{2}{1} = 2$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Для нахождения точки пересечения с осью Oy (y-перехват) подставим $x=0$ в уравнение функции:
$y = \frac{2(0) - 1}{0 - 2} = \frac{-1}{-2} = 0,5$.
Координаты точки пересечения с осью Oy: $(0; 0,5)$.
Для нахождения точки пересечения с осью Ox (x-перехват) приравняем $y$ к нулю:
$\frac{2x - 1}{x - 2} = 0 \implies 2x - 1 = 0 \implies x = 0,5$.
Координаты точки пересечения с осью Ox: $(0,5; 0)$.

3. Определение координат точек A, B, C.
Теперь сопоставим вычисленные значения с точками, отмеченными на рисунке а):
- Точка A — это точка пересечения горизонтальной асимптоты ($y=2$) с осью Oy. Следовательно, её координаты $A(0; 2)$.
- Точка B — это точка пересечения графика функции с осью Oy. Следовательно, её координаты $B(0; 0,5)$.
- Точка C — это точка пересечения вертикальной асимптоты ($x=2$) с осью Ox. Следовательно, её координаты $C(2; 0)$.

Ответ: A(0; 2), B(0; 0,5), C(2; 0).

б)

Для функции $y = \frac{2x + 6}{x - 1}$ выполним аналогичные действия.

1. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $x - 1 = 0 \implies x = 1$.
Горизонтальная асимптота: $y = \frac{2}{1} = 2$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$y = \frac{2(0) + 6}{0 - 1} = \frac{6}{-1} = -6$.
Координаты точки: $(0; -6)$.
Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$\frac{2x + 6}{x - 1} = 0 \implies 2x + 6 = 0 \implies x = -3$.
Координаты точки: $(-3; 0)$.

3. Определение координат точек A, B, C.
Сопоставим полученные данные с рисунком б):
- Точка A — это точка пересечения графика функции с осью Ox. Следовательно, её координаты $A(-3; 0)$.
- Точка B — это точка пересечения графика функции с осью Oy. Следовательно, её координаты $B(0; -6)$.
- Точка C — это точка пересечения вертикальной асимптоты ($x=1$) с осью Ox. Следовательно, её координаты $C(1; 0)$.

Ответ: A(-3; 0), B(0; -6), C(1; 0).

в)

Для функции $y = -\frac{0,5x + 2}{x + 2}$ преобразуем её для удобства: $y = \frac{-0,5x - 2}{x + 2}$.

1. Асимптоты.
Вертикальная асимптота: $x + 2 = 0 \implies x = -2$.
Горизонтальная асимптота: $y = \frac{-0,5}{1} = -0,5$.

2. Точки пересечения с осями координат.
Пересечение с осью Oy ($x=0$):
$y = \frac{-0,5(0) - 2}{0 + 2} = \frac{-2}{2} = -1$.
Координаты точки: $(0; -1)$.
Пересечение с осью Ox ($y=0$):
$\frac{-0,5x - 2}{x + 2} = 0 \implies -0,5x - 2 = 0 \implies -0,5x = 2 \implies x = -4$.
Координаты точки: $(-4; 0)$.

3. Определение координат точек A, B, C.
Сопоставим полученные данные с рисунком в):
- Точка A — это точка пересечения графика функции с осью Ox. Следовательно, её координаты $A(-4; 0)$.
- Точка B — это точка пересечения графика функции с осью Oy. Следовательно, её координаты $B(0; -1)$.
- Точка C — это точка пересечения вертикальной асимптоты ($x=-2$) с осью Ox. Следовательно, её координаты $C(-2; 0)$.

Ответ: A(-4; 0), B(0; -1), C(-2; 0).