Страница 167 - гдз по алгебре 9 класс учебник Дорофеев, Суворова

Найдите корни уравнения (401—403).

401 a) $ \frac{x^2 - 2x}{3x + 6} = 0 $;

б) $ \frac{x^2 - 1}{4x^2 - x - 3} = 0 $;

в) $ \frac{x^2 + x}{x + 1} = 0 $;

г) $ \frac{x^2 - 3x - 18}{x + 3} = 0 $;

д) $ \frac{x^2 - 4x}{x + 4} = 0 $;

е) $ \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 8x + 12} = 0 $;

ж) $ \frac{x(x + 1) - (x + 1)}{x(x - 9) - (x - 9)} = 0 $;

з) $ \frac{5(x + 5) - x(x + 5)}{x(x - 2)} = 0 $.

а) Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 2x}{3x + 6} = 0 $.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Запишем это в виде системы:
$ \begin{cases} x^2 - 2x = 0 \\ 3x + 6 \neq 0 \end{cases} $
1. Решим уравнение $ x^2 - 2x = 0 $:
Вынесем $ x $ за скобки: $ x(x - 2) = 0 $.
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два возможных корня:
$ x_1 = 0 $
$ x_2 = 2 $
2. Найдем область допустимых значений (ОДЗ), решив условие $ 3x + 6 \neq 0 $:
$ 3x \neq -6 $
$ x \neq -2 $
3. Проверим, принадлежат ли найденные корни ОДЗ.
Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет условию $ x \neq -2 $.
Корень $ x_2 = 2 $ удовлетворяет условию $ x \neq -2 $.
Оба корня являются решениями уравнения.
Ответ: $0; 2$.

б) Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 1}{4x^2 - x - 3} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - 1 = 0 \\ 4x^2 - x - 3 \neq 0 \end{cases} $
1. Решим уравнение $ x^2 - 1 = 0 $:
$ (x - 1)(x + 1) = 0 $
Возможные корни: $ x_1 = 1 $ и $ x_2 = -1 $.
2. Найдем значения $ x $, при которых знаменатель обращается в ноль: $ 4x^2 - x - 3 = 0 $.
Это квадратное уравнение. Найдем дискриминант: $ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 1 + 48 = 49 = 7^2 $.
Корни знаменателя: $ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm 7}{8} $.
$ x'_1 = \frac{1 + 7}{8} = 1 $
$ x'_2 = \frac{1 - 7}{8} = -\frac{6}{8} = -\frac{3}{4} $
Следовательно, ОДЗ: $ x \neq 1 $ и $ x \neq -\frac{3}{4} $.
3. Сравним корни числителя с ОДЗ.
Корень $ x_1 = 1 $ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель равен нулю. Этот корень является посторонним.
Корень $ x_2 = -1 $ входит в ОДЗ.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $-1$.

в) Дано уравнение: $ \frac{x^2 + x}{x + 1} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 + x = 0 \\ x + 1 \neq 0 \end{cases} $
1. Решим уравнение $ x^2 + x = 0 $:
$ x(x + 1) = 0 $
Возможные корни: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = -1 $.
2. Найдем ОДЗ из условия $ x + 1 \neq 0 $:
$ x \neq -1 $
3. Сравним корни числителя с ОДЗ.
Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет условию $ x \neq -1 $.
Корень $ x_2 = -1 $ не удовлетворяет условию $ x \neq -1 $, значит, это посторонний корень.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $0$.

г) Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 3x - 18}{x + 3} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - 3x - 18 = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} $
1. Решим квадратное уравнение $ x^2 - 3x - 18 = 0 $.
По теореме Виета: сумма корней равна $3$, а произведение равно $-18$.
Подбором находим корни: $ x_1 = 6 $ и $ x_2 = -3 $.
2. Найдем ОДЗ из условия $ x + 3 \neq 0 $:
$ x \neq -3 $
3. Сравним корни числителя с ОДЗ.
Корень $ x_1 = 6 $ удовлетворяет условию $ x \neq -3 $.
Корень $ x_2 = -3 $ не удовлетворяет условию $ x \neq -3 $, это посторонний корень.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $6$.

д) Дано уравнение: $ \frac{x^2 - 4x}{x + 4} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - 4x = 0 \\ x + 4 \neq 0 \end{cases} $
1. Решим уравнение $ x^2 - 4x = 0 $:
$ x(x - 4) = 0 $
Возможные корни: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 4 $.
2. Найдем ОДЗ из условия $ x + 4 \neq 0 $:
$ x \neq -4 $
3. Проверим корни.
Корень $ x_1 = 0 $ удовлетворяет условию $ x \neq -4 $.
Корень $ x_2 = 4 $ удовлетворяет условию $ x \neq -4 $.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $0; 4$.

е) Дано уравнение: $ \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 + 8x + 12} = 0 $.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 + 5x + 6 = 0 \\ x^2 + 8x + 12 \neq 0 \end{cases} $
1. Решим уравнение числителя $ x^2 + 5x + 6 = 0 $.
По теореме Виета: $ x_1 + x_2 = -5 $, $ x_1 \cdot x_2 = 6 $. Корни: $ x_1 = -2 $, $ x_2 = -3 $.
2. Найдем значения $ x $, при которых знаменатель равен нулю: $ x^2 + 8x + 12 = 0 $.
По теореме Виета: $ x'_1 + x'_2 = -8 $, $ x'_1 \cdot x'_2 = 12 $. Корни: $ x'_1 = -2 $, $ x'_2 = -6 $.
Следовательно, ОДЗ: $ x \neq -2 $ и $ x \neq -6 $.
3. Сравним корни числителя с ОДЗ.
Корень $ x_1 = -2 $ не входит в ОДЗ, является посторонним.
Корень $ x_2 = -3 $ входит в ОДЗ.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $-3$.

ж) Дано уравнение: $ \frac{x(x + 1) - (x + 1)}{x(x - 9) - (x - 9)} = 0 $.
1. Упростим числитель и знаменатель, вынося общие множители за скобки:
Числитель: $ x(x + 1) - 1 \cdot (x + 1) = (x + 1)(x - 1) $.
Знаменатель: $ x(x - 9) - 1 \cdot (x - 9) = (x - 9)(x - 1) $.
Уравнение принимает вид: $ \frac{(x + 1)(x - 1)}{(x - 9)(x - 1)} = 0 $.
2. Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} (x + 1)(x - 1) = 0 \\ (x - 9)(x - 1) \neq 0 \end{cases} $
3. Из первого уравнения находим возможные корни: $ x_1 = -1 $, $ x_2 = 1 $.
4. Из второго условия находим ОДЗ: $ x \neq 9 $ и $ x \neq 1 $.
5. Сравниваем корни с ОДЗ.
Корень $ x_1 = -1 $ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $ x_2 = 1 $ не удовлетворяет ОДЗ, является посторонним.
Уравнение имеет один корень.
Ответ: $-1$.

з) Дано уравнение: $ \frac{5(x + 5) - x(x + 5)}{x(x - 2)} = 0 $.
1. Упростим числитель, вынеся общий множитель $ (x + 5) $ за скобки:
$ 5(x + 5) - x(x + 5) = (5 - x)(x + 5) $.
Уравнение принимает вид: $ \frac{(5 - x)(x + 5)}{x(x - 2)} = 0 $.
2. Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} (5 - x)(x + 5) = 0 \\ x(x - 2) \neq 0 \end{cases} $
3. Из первого уравнения находим возможные корни:
$ 5 - x = 0 \implies x_1 = 5 $
$ x + 5 = 0 \implies x_2 = -5 $
4. Из второго условия находим ОДЗ: $ x \neq 0 $ и $ x \neq 2 $.
5. Проверяем корни.
Корень $ x_1 = 5 $ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $ x_2 = -5 $ удовлетворяет ОДЗ.
Оба корня являются решениями.
Ответ: $-5; 5$.

402 a) $\frac{4}{x+7} = \frac{2}{5}$;

б) $\frac{y-5}{y+5} = \frac{1}{3}$;

В) $\frac{15}{8-z} - \frac{1}{z} = 0$;

Г) $\frac{3}{x-4} = \frac{4}{x-3}$;

Д) $\frac{t}{2t-3} - \frac{3}{t} = 0$;

е) $\frac{2-z}{3-z} = \frac{z}{z+4}$;

Ж) $\frac{2y-1}{y} = \frac{y+7}{y+3}$;

З) $\frac{3(x-1)}{x(x+1)} - \frac{1}{2} = 0$.

а) Исходное уравнение: $ \frac{4}{x+7} = \frac{2}{5} $
Это пропорция. Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ x+7 \neq 0 $, откуда $ x \neq -7 $.
Используем основное свойство пропорции (перекрестное умножение):
$ 4 \cdot 5 = 2 \cdot (x+7) $
$ 20 = 2x + 14 $
Перенесем 14 в левую часть:
$ 20 - 14 = 2x $
$ 6 = 2x $
$ x = \frac{6}{2} $
$ x = 3 $
Корень $ x=3 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 3 \neq -7 $).
Ответ: 3.

б) Исходное уравнение: $ \frac{y-5}{y+5} = \frac{1}{3} $
Это пропорция. ОДЗ: $ y+5 \neq 0 $, откуда $ y \neq -5 $.
Применим перекрестное умножение:
$ 3 \cdot (y-5) = 1 \cdot (y+5) $
$ 3y - 15 = y + 5 $
Перенесем слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую:
$ 3y - y = 5 + 15 $
$ 2y = 20 $
$ y = \frac{20}{2} $
$ y = 10 $
Корень $ y=10 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 10 \neq -5 $).
Ответ: 10.

в) Исходное уравнение: $ \frac{15}{8-z} - \frac{1}{z} = 0 $
ОДЗ: $ 8-z \neq 0 $ и $ z \neq 0 $, то есть $ z \neq 8 $ и $ z \neq 0 $.
Перенесем вторую дробь в правую часть уравнения:
$ \frac{15}{8-z} = \frac{1}{z} $
Получили пропорцию. Применим перекрестное умножение:
$ 15 \cdot z = 1 \cdot (8-z) $
$ 15z = 8 - z $
$ 15z + z = 8 $
$ 16z = 8 $
$ z = \frac{8}{16} $
$ z = \frac{1}{2} $
Корень $ z = \frac{1}{2} $ удовлетворяет ОДЗ ($ \frac{1}{2} \neq 8 $ и $ \frac{1}{2} \neq 0 $).
Ответ: $ \frac{1}{2} $.

г) Исходное уравнение: $ \frac{3}{x-4} = \frac{4}{x-3} $
Это пропорция. ОДЗ: $ x-4 \neq 0 $ и $ x-3 \neq 0 $, то есть $ x \neq 4 $ и $ x \neq 3 $.
Применим перекрестное умножение:
$ 3 \cdot (x-3) = 4 \cdot (x-4) $
$ 3x - 9 = 4x - 16 $
Перенесем слагаемые с переменной в правую часть, а числа — в левую:
$ 16 - 9 = 4x - 3x $
$ 7 = x $
Корень $ x=7 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 7 \neq 4 $ и $ 7 \neq 3 $).
Ответ: 7.

д) Исходное уравнение: $ \frac{t}{2t-3} - \frac{3}{t} = 0 $
ОДЗ: $ 2t-3 \neq 0 $ и $ t \neq 0 $, то есть $ t \neq \frac{3}{2} $ и $ t \neq 0 $.
Перенесем вторую дробь в правую часть:
$ \frac{t}{2t-3} = \frac{3}{t} $
Применим перекрестное умножение:
$ t \cdot t = 3 \cdot (2t-3) $
$ t^2 = 6t - 9 $
Перенесем все в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$ t^2 - 6t + 9 = 0 $
Это формула квадрата разности: $ (t-3)^2 = 0 $
$ t - 3 = 0 $
$ t = 3 $
Корень $ t=3 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 3 \neq \frac{3}{2} $ и $ 3 \neq 0 $).
Ответ: 3.

е) Исходное уравнение: $ \frac{2-z}{3-z} = \frac{z}{z+4} $
Это пропорция. ОДЗ: $ 3-z \neq 0 $ и $ z+4 \neq 0 $, то есть $ z \neq 3 $ и $ z \neq -4 $.
Применим перекрестное умножение:
$ (2-z)(z+4) = z(3-z) $
Раскроем скобки:
$ 2z + 8 - z^2 - 4z = 3z - z^2 $
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$ -z^2 - 2z + 8 = 3z - z^2 $
Прибавим $ z^2 $ к обеим частям уравнения:
$ -2z + 8 = 3z $
$ 8 = 3z + 2z $
$ 8 = 5z $
$ z = \frac{8}{5} = 1.6 $
Корень $ z = 1.6 $ удовлетворяет ОДЗ ($ 1.6 \neq 3 $ и $ 1.6 \neq -4 $).
Ответ: 1,6.

ж) Исходное уравнение: $ \frac{2y-1}{y} = \frac{y+7}{y+3} $
Это пропорция. ОДЗ: $ y \neq 0 $ и $ y+3 \neq 0 $, то есть $ y \neq 0 $ и $ y \neq -3 $.
Применим перекрестное умножение:
$ (2y-1)(y+3) = y(y+7) $
Раскроем скобки:
$ 2y^2 + 6y - y - 3 = y^2 + 7y $
$ 2y^2 + 5y - 3 = y^2 + 7y $
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$ 2y^2 - y^2 + 5y - 7y - 3 = 0 $
$ y^2 - 2y - 3 = 0 $
Это приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
$ y_1 + y_2 = 2 $
$ y_1 \cdot y_2 = -3 $
Подбором находим корни: $ y_1 = 3 $ и $ y_2 = -1 $.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ 3 \neq 0, 3 \neq -3 $ и $ -1 \neq 0, -1 \neq -3 $).
Ответ: -1; 3.

з) Исходное уравнение: $ \frac{3(x-1)}{x(x+1)} - \frac{1}{2} = 0 $
ОДЗ: $ x(x+1) \neq 0 $, откуда $ x \neq 0 $ и $ x+1 \neq 0 $, то есть $ x \neq 0 $ и $ x \neq -1 $.
Перенесем $ \frac{1}{2} $ в правую часть:
$ \frac{3(x-1)}{x(x+1)} = \frac{1}{2} $
Применим перекрестное умножение:
$ 2 \cdot 3(x-1) = 1 \cdot x(x+1) $
$ 6(x-1) = x^2 + x $
$ 6x - 6 = x^2 + x $
Перенесем все слагаемые в правую часть:
$ 0 = x^2 + x - 6x + 6 $
$ x^2 - 5x + 6 = 0 $
Это приведенное квадратное уравнение. Решим его по теореме Виета:
$ x_1 + x_2 = 5 $
$ x_1 \cdot x_2 = 6 $
Подбором находим корни: $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = 3 $.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($ 2 \neq 0, 2 \neq -1 $ и $ 3 \neq 0, 3 \neq -1 $).
Ответ: 2; 3.

403 a) $\frac{x+9}{x+3} = x-1;$

б) $y = \frac{2y}{3y-1};$

В) $\frac{2}{2z+5} = z+1;$

Г) $\frac{5x-2}{x} = 3x.$

а)

Дано уравнение: $\frac{x+9}{x+3} = x-1$.
Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю: $x+3 \neq 0$, следовательно, $x \neq -3$.
Далее, умножим обе части уравнения на выражение $(x+3)$, чтобы избавиться от знаменателя:
$x+9 = (x-1)(x+3)$
Раскроем скобки в правой части уравнения, используя правило умножения многочленов:
$x+9 = x^2 + 3x - x - 3$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$x+9 = x^2 + 2x - 3$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение в стандартном виде $ax^2+bx+c=0$:
$x^2 + 2x - 3 - x - 9 = 0$
$x^2 + x - 12 = 0$
Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней $x_1 + x_2 = -1$, а их произведение $x_1 \cdot x_2 = -12$. Методом подбора находим корни: $x_1 = 3$ и $x_2 = -4$.
Проверим, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ ($x \neq -3$).
Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию.
Корень $x_2 = -4$ удовлетворяет условию.
Следовательно, оба корня являются решениями исходного уравнения.

Ответ: $x_1 = -4, x_2 = 3$.

б)

Дано уравнение: $y = \frac{2y}{3y-1}$.
ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $3y-1 \neq 0$, откуда $y \neq \frac{1}{3}$.
Умножим обе части на $(3y-1)$:
$y(3y-1) = 2y$
Раскроем скобки и перенесем все члены уравнения в левую часть:
$3y^2 - y = 2y$
$3y^2 - y - 2y = 0$
$3y^2 - 3y = 0$
Вынесем за скобки общий множитель $3y$:
$3y(y-1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю:
$3y=0$ или $y-1=0$
Отсюда получаем два корня:
$y_1 = 0$
$y_2 = 1$
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($y \neq \frac{1}{3}$).

Ответ: $y_1 = 0, y_2 = 1$.

в)

Дано уравнение: $\frac{2}{2z+5} = z+1$.
ОДЗ: $2z+5 \neq 0$, откуда $2z \neq -5$, то есть $z \neq -\frac{5}{2}$ или $z \neq -2.5$.
Умножим обе части уравнения на $(2z+5)$:
$2 = (z+1)(2z+5)$
Раскроем скобки в правой части:
$2 = 2z^2 + 5z + 2z + 5$
$2 = 2z^2 + 7z + 5$
Приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$2z^2 + 7z + 5 - 2 = 0$
$2z^2 + 7z + 3 = 0$
Решим это уравнение с помощью формулы корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3 = 49 - 24 = 25$
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных корня:
$z = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 \pm 5}{4}$
$z_1 = \frac{-7+5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$
$z_2 = \frac{-7-5}{4} = \frac{-12}{4} = -3$
Оба корня ($-\frac{1}{2}$ и $-3$) не равны $-\frac{5}{2}$, поэтому оба удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $z_1 = -3, z_2 = -\frac{1}{2}$.

г)

Дано уравнение: $\frac{5x-2}{x} = 3x$.
ОДЗ: $x \neq 0$.
Умножим обе части уравнения на $x$:
$5x-2 = 3x \cdot x$
$5x-2 = 3x^2$
Перепишем уравнение в стандартном виде:
$3x^2 - 5x + 2 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 - 24 = 1$
$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 1}{6}$
$x_1 = \frac{5+1}{6} = \frac{6}{6} = 1$
$x_2 = \frac{5-1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
Оба корня ($1$ и $\frac{2}{3}$) не равны нулю и удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $x_1 = 1, x_2 = \frac{2}{3}$.

404 ПРИМЕНЯЕМ АЛГЕБРУ Даны две дроби $\frac{a+2}{a-1}$ и $\frac{a-1}{a+2}$. Найдите значения переменной $a$, при которых:

а) значение первой дроби равно 10;

б) значение второй дроби равно 10;

в) значения этих дробей равны;

г) разность первой и второй дробей равна их произведению.

а) Чтобы найти значение переменной a, при котором значение первой дроби $\frac{a+2}{a-1}$ равно 10, составим и решим уравнение.
$\frac{a+2}{a-1} = 10$
Область допустимых значений (ОДЗ) для этой дроби: $a-1 \neq 0$, то есть $a \neq 1$.
Умножим обе части уравнения на $(a-1)$, чтобы избавиться от знаменателя:
$a+2 = 10(a-1)$
$a+2 = 10a - 10$
Перенесем слагаемые с переменной a в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$2+10 = 10a - a$
$12 = 9a$
$a = \frac{12}{9}$
Сократим дробь:
$a = \frac{4}{3}$
Полученное значение $a = \frac{4}{3}$ не противоречит ОДЗ.
Ответ: $a = \frac{4}{3}$.

б) Чтобы найти значение переменной a, при котором значение второй дроби $\frac{a-1}{a+2}$ равно 10, составим и решим уравнение.
$\frac{a-1}{a+2} = 10$
ОДЗ для этой дроби: $a+2 \neq 0$, то есть $a \neq -2$.
Умножим обе части уравнения на $(a+2)$:
$a-1 = 10(a+2)$
$a-1 = 10a + 20$
$-1-20 = 10a - a$
$-21 = 9a$
$a = -\frac{21}{9}$
Сократим дробь:
$a = -\frac{7}{3}$
Полученное значение $a = -\frac{7}{3}$ не противоречит ОДЗ.
Ответ: $a = -\frac{7}{3}$.

в) Чтобы найти значения переменной a, при которых значения этих дробей равны, приравняем их друг к другу.
$\frac{a+2}{a-1} = \frac{a-1}{a+2}$
ОДЗ: $a \neq 1$ и $a \neq -2$.
Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):
$(a+2)(a+2) = (a-1)(a-1)$
$(a+2)^2 = (a-1)^2$
Раскроем скобки, используя формулы квадрата суммы и квадрата разности:
$a^2 + 4a + 4 = a^2 - 2a + 1$
Вычтем $a^2$ из обеих частей уравнения:
$4a + 4 = -2a + 1$
$4a + 2a = 1 - 4$
$6a = -3$
$a = -\frac{3}{6}$
Сократим дробь:
$a = -\frac{1}{2}$
Полученное значение $a = -\frac{1}{2}$ не противоречит ОДЗ.
Ответ: $a = -\frac{1}{2}$.

г) Чтобы найти значения переменной a, при которых разность первой и второй дробей равна их произведению, составим уравнение.
$\frac{a+2}{a-1} - \frac{a-1}{a+2} = \left(\frac{a+2}{a-1}\right) \cdot \left(\frac{a-1}{a+2}\right)$
ОДЗ: $a \neq 1$ и $a \neq -2$.
Упростим правую часть уравнения. Так как $a \neq 1$ и $a \neq -2$, мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе:
$\left(\frac{a+2}{a-1}\right) \cdot \left(\frac{a-1}{a+2}\right) = 1$
Теперь уравнение имеет вид:
$\frac{a+2}{a-1} - \frac{a-1}{a+2} = 1$
Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(a-1)(a+2)$:
$\frac{(a+2)^2 - (a-1)^2}{(a-1)(a+2)} = 1$
Упростим числитель, используя формулу разности квадратов $x^2-y^2=(x-y)(x+y)$:
$(a+2)^2 - (a-1)^2 = ((a+2)-(a-1))((a+2)+(a-1)) = (a+2-a+1)(a+2+a-1) = (3)(2a+1) = 6a+3$.
Упростим знаменатель: $(a-1)(a+2) = a^2+2a-a-2 = a^2+a-2$.
Подставим упрощенные выражения в уравнение:
$\frac{6a+3}{a^2+a-2} = 1$
Умножим обе части на знаменатель:
$6a+3 = a^2+a-2$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$a^2 + a - 6a - 2 - 3 = 0$
$a^2 - 5a - 5 = 0$
Решим это уравнение с помощью формулы для корней квадратного уравнения $a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$:
$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(1)(-5) = 25 + 20 = 45$
$a = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2(1)} = \frac{5 \pm \sqrt{9 \cdot 5}}{2} = \frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2}$
Мы получили два корня: $a_1 = \frac{5+3\sqrt{5}}{2}$ и $a_2 = \frac{5-3\sqrt{5}}{2}$. Оба корня не противоречат ОДЗ.
Ответ: $a = \frac{5+3\sqrt{5}}{2}, a = \frac{5-3\sqrt{5}}{2}$.

ДЕЙСТВУЕМ ПО АЛГОРИТМУ (405-407) Решите уравнение.

405 а) $\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-1} = \frac{4}{x^2-1}$;

б) $\frac{4-x}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = \frac{x^2}{x^2-4}$;

в) $\frac{2x}{x+3} - \frac{x}{3-x} = \frac{9}{4x^2-36}$;

г) $\frac{5}{x^2-4} + \frac{x}{2-x} = \frac{2x}{x+2}$.

а)

Исходное уравнение: $\frac{x+2}{x+1} + \frac{x+3}{x-1} = \frac{4}{x^2-1}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели дробей не могут быть равны нулю.
$x+1 \neq 0 \implies x \neq -1$
$x-1 \neq 0 \implies x \neq 1$
$x^2-1 = (x-1)(x+1) \neq 0$, что уже учтено.
Таким образом, ОДЗ: $x \neq \pm 1$.

2. Приведем все дроби к общему знаменателю $x^2-1 = (x-1)(x+1)$. Для этого умножим числитель и знаменатель первой дроби на $(x-1)$, а второй — на $(x+1)$.

$\frac{(x+2)(x-1)}{(x+1)(x-1)} + \frac{(x+3)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{4}{x^2-1}$

3. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель $(x-1)(x+1)$, чтобы избавиться от него, учитывая ОДЗ.

$(x+2)(x-1) + (x+3)(x+1) = 4$

4. Раскроем скобки и упростим выражение.

$(x^2 - x + 2x - 2) + (x^2 + x + 3x + 3) = 4$
$(x^2 + x - 2) + (x^2 + 4x + 3) = 4$
$2x^2 + 5x + 1 = 4$

5. Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$.

$2x^2 + 5x - 3 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$.

$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 + \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5+7}{4} = \frac{2}{4} = 0.5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 - \sqrt{49}}{2 \cdot 2} = \frac{-5-7}{4} = \frac{-12}{4} = -3$

7. Проверим, принадлежат ли корни ОДЗ. Оба корня $0.5$ и $-3$ не равны $1$ или $-1$, следовательно, являются решениями уравнения.

Ответ: -3; 0,5.

б)

Исходное уравнение: $\frac{4-x}{x+2} + \frac{x-1}{x-2} = \frac{x^2}{x^2-4}$.

1. ОДЗ: $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$; $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$. Итак, $x \neq \pm 2$.

2. Общий знаменатель $x^2-4 = (x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на общий знаменатель.

$(4-x)(x-2) + (x-1)(x+2) = x^2$

3. Раскроем скобки.

$(4x - 8 - x^2 + 2x) + (x^2 + 2x - x - 2) = x^2$
$(-x^2 + 6x - 8) + (x^2 + x - 2) = x^2$

4. Приведем подобные слагаемые.

$7x - 10 = x^2$

5. Приведем к стандартному квадратному виду.

$x^2 - 7x + 10 = 0$

6. Решим уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 7, а их произведение 10. Отсюда $x_1=5$, $x_2=2$.
Либо через дискриминант: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 49 - 40 = 9$.
$x_1 = \frac{7+\sqrt{9}}{2} = \frac{7+3}{2} = 5$
$x_2 = \frac{7-\sqrt{9}}{2} = \frac{7-3}{2} = 2$

7. Проверим корни по ОДЗ. Корень $x=5$ удовлетворяет условию $x \neq \pm 2$. Корень $x=2$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при этом значении знаменатели обращаются в ноль. Следовательно, $x=2$ — посторонний корень.

Ответ: 5.

в)

Исходное уравнение: $\frac{2x}{x+3} - \frac{x}{3-x} = \frac{9}{4x^2-36}$.

1. Преобразуем знаменатели для нахождения общего: $3-x = -(x-3)$ и $4x^2-36 = 4(x^2-9) = 4(x-3)(x+3)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{2x}{x+3} + \frac{x}{x-3} = \frac{9}{4(x-3)(x+3)}$

2. ОДЗ: $x+3 \neq 0 \implies x \neq -3$; $x-3 \neq 0 \implies x \neq 3$. Итак, $x \neq \pm 3$.

3. Общий знаменатель $4(x-3)(x+3)$. Умножим обе части уравнения на него.

$2x \cdot 4(x-3) + x \cdot 4(x+3) = 9$

4. Раскроем скобки и упростим.

$8x(x-3) + 4x(x+3) = 9$
$8x^2 - 24x + 4x^2 + 12x = 9$
$12x^2 - 12x - 9 = 0$

5. Упростим уравнение, разделив все его члены на 3.

$4x^2 - 4x - 3 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. $D = (-4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$.

$x_1 = \frac{4+\sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4+8}{8} = \frac{12}{8} = \frac{3}{2} = 1.5$

$x_2 = \frac{4-\sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{4-8}{8} = \frac{-4}{8} = -\frac{1}{2} = -0.5$

7. Оба корня $1.5$ и $-0.5$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 3$).

Ответ: -0,5; 1,5.

г)

Исходное уравнение: $\frac{5}{x^2-4} + \frac{x}{2-x} = \frac{2x}{x+2}$.

1. Преобразуем знаменатели: $x^2-4 = (x-2)(x+2)$ и $2-x = -(x-2)$.

Перепишем уравнение:

$\frac{5}{(x-2)(x+2)} - \frac{x}{x-2} = \frac{2x}{x+2}$

2. ОДЗ: $x-2 \neq 0 \implies x \neq 2$; $x+2 \neq 0 \implies x \neq -2$. Итак, $x \neq \pm 2$.

3. Общий знаменатель $(x-2)(x+2)$. Умножим обе части уравнения на него.

$5 - x(x+2) = 2x(x-2)$

4. Раскроем скобки.

$5 - x^2 - 2x = 2x^2 - 4x$

5. Перенесем все члены в одну сторону и приведем подобные.

$2x^2 - 4x + x^2 + 2x - 5 = 0$
$3x^2 - 2x - 5 = 0$

6. Решим квадратное уравнение. $D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 4 + 60 = 64$.

$x_1 = \frac{2+\sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{2+8}{6} = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$

$x_2 = \frac{2-\sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{2-8}{6} = \frac{-6}{6} = -1$

7. Оба корня $\frac{5}{3}$ и $-1$ удовлетворяют ОДЗ ($x \neq \pm 2$).

Ответ: -1; $\frac{5}{3}$.